Table Of ContentZur Theorie der homogenen
ichverteilung modulo 1
Von
Roman Schnabl
Aus den
Sitzungsberichten der Osterreichischen Akademie der Wissenschaften
Mathem .• naturw. Klasse. Abteilung II. 172. Bd .• 1. bis 4. Heft. 1963
Springer-Verlag Wien GmbH 1963
ISBN 978-3-662-22698-8 ISBN 978-3-662-24627-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-24627-6
Die in den Sitzungsberichten Abt. lund Abt. II der math.-nat. Klasse der Osterr. Akad. d. Wiss.
erscheinenden Abhandlungen werden auch einzeln abgegeben. Sie kilnnen durch jede Buchhandlung
oder dlrekt durch die Auslieferungsstelle der Osterreichischen Akademie der Wissenschaften (Wlen I,
Singerstra13e 12) bezogen werden.
N achfolgende Abhandlungen aus den Fachern Mat hem a t i k und Tee h n I k ·sind er.chienen:
1950 (1950) (8 II a, Bd. 159),
Hohenberg F.: .Zur Geometrie des FunkmeBbildes (mit 2 Abbildungen). 14 Seiten. S 12.40
Jarosch W.: Matrizenblinder, 14 Seiten. S 6.20
Schmid H.: Fehlertheorie der gegenseitigen Orientierung von Luftbildem und Zugrundelegung
elnes Orientierungspunktgitters (mit 13 Abbildungen), 31 Seiten. S 28.40
1~51 (8 II a, Bd. 160),
Hohen berg F.: Komplexe Erwelterullg der gewBhnlichen Schraubenllnie (mit 1 Abbildung),
14 Seiten. S 7.80
Huber A.: Das Verhalten der Inte~rale der Gibbs-Duhem-Margules'schen Gleichung fIlr binare
Gemische in der Umgebung ihrer festen singularen Stellen (mit 3 Abbildungen); 16' Seiten.
S 10.50
Krames J.: Zur Geometrie der ,gegenseitigen Einpassung von Luftaufnahmen (mit 4 Abblldnn
gen), 15 Seiten. S 7.--
Parkus fl.: Warmespannungen in RotationsBchalen mit drehsymmetrischer Temperatnrverteilung
(mit 1 Abbildung), 13 Seiten. S 7.50 .
StrOher W.: Znr projektlven Dlfferentialgeometrie ebener Knrven, 8 Selten. S 6.
Wunderlich "IV.: Zur Differenzengeometrie der Flachen konsta'nter negativer Krllmmung (mit
8 Abblldungen), 38 Seiten. S 16.-
1952 (8 II a, Bd. 161),
Fed erhofer K.: tJber die Eigenschwingungen der Kreiszylinderschale mit veranderlicber Wand
starke 16 Selten. S 14.80
1953 (8 II a, Bd. 162),
Nobauer W.: tJber Gruppen von Restklassep nach Restpolynomidealen. S 19.40
Vletorls L.: Der Rlchtungsfehler einer dnrch das Adamssche Interpolationsverfahren gewonnenen
Naherungsli:isnng einer Gielchung 1/' = I (x, 1/). S 8.80
Vietorls L.: 'Der Rlchtungsfehler einer durch das Adamssche Interpolstlonsverfahren gewon
nenen NilherungslOsung elnes Systems von Gleichungen 11' = I,. (a:, 111' 1/a .•• 11 .. ). S· 8.80
Wunderlich W.: tJber die ebenen Loxodromen (mit 2 Abbildungen). S 6.30
1954 (8 II, Bd. 163),
Fed e rho fer K.: Die durch pulsierende Axlalkrilfte gedrllckte Krelszyllnderschale. S 18_40
Raher W. und Selig F.: Die Verwendung der Motorsymbollk In der theoretlschen Mechanlk.
S 17.80
1955 (8 IIa, Bd. 164),
Federhofer K.: Zur Kinematik.des Schlei£lrurvengetrlebes (mit 5 Abbildun'gen). S 11.
Stroher W.: tJber elnen gewlssen Typus von Dilferentlallnvarlanten der llrojektlven und der
apollonischen Gruppe der Ebene. S 28.40
Wunderlich W.: Doppelloxodromen mit schneldendem Achsenpaar (mlt6Abblldungen). S 22.50
Zur Theorie der
homogenen Gleichverteilung modulo 1
Von
Roman Schnabl (Wien)
(Vorgelegt in der Sitzung am 31. Janner 1963)
Der Begriff "homogene Gleichverteilung modulo 1" wurde von
P. Erdos und G. G. Lorentz [1] eingefuhrt. Sie nennen eine Folge {xnl
von reellen Zahlen genau dann homogen gleichverteilt modulo 1, wenn
ld-
fur jede naturliche Zahl d die Folge 1 XndJ gleichverteilt modulo 1 ist.
Aufgabe der vorliegenden Arbeit ist es, diesen Begriff durch Ver
wendung bewichteter Mittel zu verallgemeinern und Folgen zu suchen,
die homogen gleichverteilt modulo 1 sind. Dies erfolgt in den Teilen I-V
der Arbeit. 1m Teil VI wird obige Begriffsbildung auf die Frage nach
der Wahrscheinlichkeit, daB (J (n) zu n relativ prim ist, angewendet.
I
>-
Es sei A = (ank) eine positive Toeplitz-Matrix, d. h. es sei ank 0
100:
fur aIle naturlichen Zahlen n und k und limes an k = 1. c (x, 8) sei
n-+oo k= 1
die charakteristische Funktion des Intervalls [0,8) langs der reellen
°« : «:
Achse mit der Periode 1 fortgesetzt, 8 1 und [xnl eine Folge
reeller Zahlen.
1st die Folge {c (xn, 8)1 A-limitierbar zum Wert 8 fur jedes 8 E
(0, 1), d. h. ist
100:
A-limes c (xn, 8) = limes ank C (Xk, 8) = 8,
n-+oo n~oo k=l
so nennt man die Folge {Xnl A-gleichverteilt modulo 1 [2].
44 R. Schnabl
Definition 1: Sei [xnl eine Folge reeller Zahlen. Sie heiBt genau
dann A-homogen gleichverteilt modulo 1, wenn fur jede naturliche Zahl d
die Folge [d-1 Xn d] A -gleichverteilt modulo 1 ist.
Satz 1: Die Folge reeller Zahlen [xn} ist genau dann A-homogen
+
gleichverteilt modulo 1, wenn fur jede auf (-00, (0) definierte,
reellwertige, auf (0,1) Riemann-integrierbare Funktion f (x) mit der
Periode 1 und fur jede natiirliche Zahl d
OCJ I1
A-limes f (d-1 Xnd) = limes !: ank f (d-1 Xkd) = f (x) dx
n-+oo n-+oo .1:=1 lJ
ist.
Beweis: Fur d = 1 ist obiger Satz ein bekanntes Kriterium fur
A-Gleichverteilung [2]. Daraus und aus der Definition 1 folgt unmittel
bar Satz 1. Ebenso folgt aus dem Weylschen Kriterium [2] und De
finition 1:
Sa tz 2: Die Folge reeller Zahlen 'xn] ist genau dann A-homogen
gleichverteil t modulo 1, wenn fur jedes geordnete Paar naturlicher
Zahlen (g, d)
A-limes e21Ciqd-lxnd = limes ~OCJ an.!: e21Ciqd-lx.l:d = 0
n-+oo n---+c.o 1'=1
ist.
Aus Satz 2 kann man durch geeignete Wahl von g unmittelbar
folgern:
Satz 3: 1st die Folge {xn} von reellen Zahlen A-homogen gleich
verteilt modulo 1, so ist auch fur jedes geordnete Tripel naturlicher
1
Zahlen (p, q, r), das der Bedingung q I r genugt, die Folge {p g-l Xrn
A-homogen gleichverteilt modulo 1.
1m folgenden wollen wir uns auf solche Summierungsverfahren
beschranken, die in bewichteter MittelbiIdung bestehen, d. h.: Es sei
n
eine Folge reeller Zahlen [An], An:> 0, Ln = !:Ak - 00, fur n ~ 00,
.1:=1
gegeben. Wir betrachten dann das Matrixverfahren A = (M, An), des
sen Matrix (ank) folgendermaBen definiert ist:
-<
(a ) = J Ak L~l fur k n
n k I 0 fur k > n.
Zur Theorie der homogenen Gleichverteilung modulo 1 45
Sat z 4: Die Folge {An] erfulle folgende Bedingungen:
>- >/ ... , 00
(A): Al 1.2 ~ An = 00.
n=l
(D): Die Limitierungsverfahren (M, And), d = 1,2, ... , sind gleich
stark. X (x, a, b) sei die charakteristische Funktion des 1ntervalls [a, b],
-<
a b reell. 1st dann {xn] eine Folge reeller Zahlen, die (M, An)-homogen
-<
gleichverteilt modulo 1 ist, so ist fur alle Paare reeller Zahlen a, b, a b,
(M, An)-limes X (xn, a, b) = O.
n ..... '"
Beweis: Es genugt offensichtlich, den Satz fur a = - K, b = K,
K > 0 zu zeigen. Aus der Bedingung (A) folgt:
N N
+
(i) ~ An = d ~ An 0 (d), N -+ 00.
n=l n=l
din
Sei nun zu einem festen K > 0 ein e > 0 vorgegeben. Wir wahlen
nun Do und danach Dl > Do so groB, daB
n
2 K ~00 d-2 < e und (1 - p-l) < z
d=D. D,:<=:p <: D,
ist, wo peine Primzahl bedeutet. Das ist moglich, da bekanntlich
'" n
~ d-2 < 00 und limes (1-p-l) = 0 ist.
d=l
Sei nun N > D1. B (Do, D1,- <N ) b-<e zeichne jene Teilmenge der natur
lichen Zahlen n, fur die Dl n N und die nicht durch eine Prim
-< -<
zahl p mit Do p Dl teilbar sind. Es gilt dann
N
neB(D.,D"N) n=l D. < p:O; D, n=l D,:<=:Pi<Pj<])' n~l
pin PiPjln
Aus (i) folgt nun
__ N
limes (~An)-l ~ An
N-oo N=l neB(D• • D,.N)
46 R. Schnabl
Da Xnd genau dann aus [-K, K] ist, wenn Xnd d-I aus [-K d-I, K d-I],
so ist, da die Folge lXnd d-I} (M, And)-gleichverteilt modulo 1 ist [nach
Definition 1 und Bedingung (D)],
-<
(M, And)-limes X (Xnd, - K, K) 2 K d-I.
Es gilt auch
[~]
N D,
+
~AnX(xn,-K,K);;;; ~ ~ AndX(Xnd,-K,K)
n~Do d~Do n~l neB(D •. D. . N)
N
Wir dividieren nun beide Seiten der letzten Ungleichung durch ~ An
n~l
und lassen dann N nach Unendlich streben. Da fur jedes Do
N N
(M, An)-limes X (xn, - K, K) = limes (~ An)-I ~ An X (xn, - K, K)
n-+oo n-7(Xj n=l n~D.
ist, folgt
(M, An)-limes X (xn, - K, K) ;;;;
[~]
N D,
+
;;;; limes (~ An)-l ~ ~ And X (Xnd, - K, K) e ;;;;
n-+oo
n~l n~D. n~l
D,
+
;;;; ~ d-1 (M, And)-limes X (Xnll, - K, K) e ;;;;
n-+oo
d~Do
D,
+
;;;; ~ 2 K d-2 e < 2 e. w. z. z. w.
d~D.
Aus Satz 4 folgt, daB die Folge lxn} im Satz 4 nicht beschrankt
sein kann. Das letztere gilt auch fur A-homogen gleichverteilte Folgen,
namlich
Satz 4a: 1st die Folge reeller Zahlen {xn} A-homogen gleichverteilt
modulo 1, so ist sie nicht beschrankt.
Beweis: Angenommen, die Folge [xn} ist beschrankt. Sei K eine
obere Schranke. Dann liegt fur ein d > 4 (K + 1) die Folge Id-I Xn Il}
!, !)
im Intervall (- und die Folge {d-Ixnd-[d-Ixnll]} in den
!), (!, 1).
Intervallen (0, Dann gilt aber
Zur Theorie der homogenen Gleichverteilung modulo 1 47
(d- (d-
A-limes c 1 xnd'~) = A-limes c 1 Xnd, 34),
n~~ 4 n~oo
im Widerspruch zur Voraussetzung.
Sa tz 5: Die Folge {An} von reellen Zahlen erfulle die Bedingungen
>- >- , ... 00
(A): Al A2 > 0, ~ An = 00.
n=l
-~}
(B): Fur jede naturliche Zahl kist die Folge {B (n, k) =
An+k
eine monoton abnehmende Funktion von n.
Sei {t (n)} eine Folge reeller Zahlen, Ih (n) = I (n + h) - I (n),
h = 1,2, ... 1st dann fur jede naturliche Zahl h die Folge {th (n)}
II
(M, An)-homogen gleichverteilt modulo 1, dann ist die Folge (n)}
(M, An)-homogen gleichverteilt modulo 1.
Beweis: Ersetzt man im Satz 5 "homogen gleichverteilt" durch
"gleichverteilt" , so erhiilt man einen bekannten Satz aus der Theorie
der Gleichverteilung [3], [4]. Diesen wenden wir nun an. Nach Voraus
setzung istl/h (n)} (M, An)-homogen gleichverteilt modulo 1, d. h. nach
Id- +
Definition 1, fur jede natiirliche Zahl d ist {d-1 Ih (n d)} = 1 I (nd h)
- d-1 I (n d)} (M, An)-gleichverteilt modulo 1. Das gilt fur h = 1, 2, ...
Ersetzt man h durch k d, k = 1,2, ... , so erhiilt man, die Folge
{d-1 I ((n + k) d) - d-1 I (n d)} ist (M, An)-gleichverteilt modulo 1.
Durch Anwendung des oben zitierten Satzes folgt, {d-1 I (n d)} ist
(M, An)-gleichverteilt modulo 1. Das gilt fur jede naturliche Zahl d.
Daher ist nach Definition 1 die Folge {I (n)l (M, An)-homogen gleich
verteilt modulo 1.
II
1m folgenden werden wir el111ge hinreichende Bedingungen fur
homogene Gleichverteilung modulo 1 angeben, die wir aus einem Satz
von J. G. van der Corput bzw. aus der von E. Hlawka gegebenen
Verallgemeinerung dieses Satzes herleiten.
Wir betrachten zuerst Polynome. Man nennt eine Funktion
I (x) A-(homogen) gleichverteilt modulo 1, wenn die Folge {t (n)} A-(ho
mogen) gleichverteilt ist. H. Weyl [5] zeigte in seiner grundlegenden
48 R. Schnobl
Arbeit iiber Gleichverteilung modulo 1, daB ein Polynom p (x) genau
dann (M, l)-gleichverteilt ist, wenn die Ableitung p' (x) einen irratio
nalen Koeffizienten enthalt. Hat das Polynom p (x) diese Eigenschaft,
so auch das Polynom d-I p (d x), wobei d eine beliebige natiirliche
Zahl ist. Daraus folgt:
Satz 6 [6]: Ein Polynom ist genau dann (M, l)-homogen gleich
verteilt modulo 1, wenn seine Ableitung einen irrationalen Koeffizienten
enthalt. Satz 6 liiBt sich folgendermaBen verallgemeinern:
Sat z 7: Sei {t (n)} eine Folge reeller Zahlen. Gibt es dann eine
t
natiirliche Zahl k, so daB die Folge {~k (n)} bei unbeschriinkt wach
sendem n nach einem festen, irrationalen Grenzwert strebt, so ist die
Folge {t (n)] (M, l)-homogen gleichverteilt modulo 1. (~k t (n) =
= ~ (~k-I t (n)), ~ t (n) = t (n + 1) - t (n)).
Beweis: Van der Corput [3] zeigte, daB unter obigen Vorausset
zungen die Folge {t (n)} (M, l)-gleichverteilt modulo 1 ist. Sei nun die
Voraussetzung des Satzes 7 fiir k = 1 erfiillt und d eine beliebige natiir
d-l
t t +
liche Zahl. Dann strebt ~ d-I ((n) d) = d-I ~ ~ (n d 8) bei unbe-
8~O
schrankt wachsendem n ebenfalls nach dem festen, irrationalen Grenz
wert. Also ist nach dem zitierten Satz von Van der Corput die Folge
t
{d-I (n d)) (M, l)-gleichverteilt modulo 1. Da d beliebig war, gilt,
{t (n)} ist (M, l)-homogen gleichverteilt modulo 1.
Sei nun Satz 7 fiir k = 8 - 1 als bewiesen angenommen. Sei die
h-l
Voraussetzungfiir k = 8 erfiillt. th (n) = t (n + h) - t (n) = ~ ~ t (n+i)
j~O
erfiillt dann die V oraussetzung fiir k = 8 - 1. Also ist die Folge
{th (n)] (M, l)-homogen gleichverteilt modulo 1, und daher ist nach
Satz 5 auch die Folge {t (n)] (M, l)-homogen gleichverteilt modulo 1.
Damit ist durch vollstiindige Induktion Satz 7 bewiesen.
Der im Beweis von Satz 7 zitierte Satz von Van der Corput wurde
von E. Hlawka durch Einfiihrung der Begriffe der gleichmaBig [7]
und der schwach gleichmaBig [8] gleichverteilten Folgen verallgemeinert.
Wir verallgemeinern nun diese Begriffe durch Verwendung bewichteter
Mittelbildung.
