Zero-symmetric Graphs: Trivalent Graphical Regular Representations of Groups

167 Pages·1981·10.863 MB·English

by  H. S. M. Coxeter, Roberto Frucht, David L. Powers

ZZeerroo--SSyymmmmeetrtricic GGrraapphhss
TTrriivvaalleenntt GGrraapphhiiccaall
RReegguullaarr RReepprreesseennttaattiioonnss
ooff GGrroouuppss
HH.. SS.. MM.. CCOOXXEETTEERR
DDeeppaarrttmmeenntt ooff MMaatthheemmaattiiccss
UUnniivveerrssiittyy ooff TToorroonnttoo
TToorroonnttoo,, OOnnttaarriioo,, CCaannaaddaa
RROOBBEERRTTOO FFRRUUCCHHTT
FFaaccuullttaadd ddee CCiieennssiiaass
UUnniivveerrssiiddaadd TTeeccnniiccaa FFeeddeerriiccoo SSaannttaa MMaarrliaa
VVaallppaarraaiissoo,, CChhiillee
DDAAVVIIDD LL.. PPOOWWEERRSS
DDeeppaarrttmmeenntt ooff MMaatthheemmaattiiccss aanndd CCoommppuutteerr SScciieennccee
CCllaarrkkssoonn CCoolllleeggee ooff TTeecchhnnoollooggyy
PPoottssddaamm,, NNeeww YYoorrkk
AACCAADDEEMMIICC PPRREESSSS 11998811
AA SSuubbssiiddiiaarryy ooff HHaarrccoouurrtt BBrraaccee JJoovvaannoovviicchh,, PPuubblliisshheerrss
NNeeww YYoorrkk LLoonnddoonn TToorroonnttoo SSyyddnneeyy SSaann FFrraanncciissoo
CCOOPPYYRRIIGGHHTT ©© 11998811,, BBYY AACCAADDEEMMIICC PPRREESSSS, ,IINNCC. .
AALLLL RRIIGGHHTTSS RREESSEERRVVEEDD..
NNOO PPAARRTT OOFF TTHHIISS PPUUBBLLIICCAATTIIOONN MMAAYY BBEE RREEPPRROODDUUCCEEDD OORR
TTRRAANNSSMMIITTTTEEDD IINN AANNYY FFOORRMM OORR BBYY AANNYY MMEEAANNSS, ,EELLEECCTTRROONNIICC
OORR MMEECCHHAANNIICCAALL,, IINNCCLLUUDDIINNGG PPHHOOTTOOCCOOPPYY,, RREECCOORRDDIINNGG,, OORR AANNYY
IINNFFOORRMMAATTIIOONN SSTTOORRAAGGEE AANNDD RREETTRRIIEEVVAALL SSYYSSTTEEMM,, WWIITTHHOOUUTT
PPEERRMMIISSSSIIOONN IINN WWRRIITTIINNGG FFRROOMM TTHIlEE PPUUBBLLIISSHHEERR..
AACCAADDEEMMIICC PPRREESSSS, , IINNCC. .
111111 FFiifftthh AAvveennuuee, ,NNeeww YYoorrkk, ,NNeeww YYorokr k101000030 3
UUnniitteedd KKiinnggddoomm EEddiittiioonn ppuubblliisshheedd bbyy
AACCAADDEEMMIICC PPRREESSSS, ,IINNCC. .(L(LOONNDDOON)N )LLTTD.D .
2244//2288 OOvvaall RRooaadd, ,LLoonnddoonn NNWW1 I 77DDXX
LLiibbrraarryy ooff CCoonnggrreessss CCaattaallooggiinngg iinn PPuubblliiccaattiioonn DDaattaa
CCooxxeetteerr,, HH.. SS.. MM.. ((HHaarroolldd SSccootttt MMaaccddoonnaalldd)),, DDaattee
ZZeerroo--ssyymmmmetetrriicc ggrraapphhss..
IInncclluuddeess iinnddeexx..
11.. GGrraapphh tthheeoorryy.. 22.. RReepprreesseennttaattiioonnss ooff ggrroouuppss..
II.. FFrruucchhtt,, RRoobbeerrttoo.. IIII.. PPoowweerrss,, DDaavviidd LL.. IIIIII.. TTiittllee..
QQAA116666..CC6666 551111''..55 8811--44660044
IISSBBNN 00--1122--119944558800--44
PPRRIINNTTEEDD IINN TTHHEE UUNNIITTEEDD SSTTAATTEESS OOFF AAMMEERRIICCAA
8811 8822 8833 8844 99 88 77 66 55 44 33 22 11
DDeeddicicataetde d ttoo RRoonnaaldl d MM.. FoFsotseterr
PPrreeffaaccee
AAtt tthhee CCoonnffeerreennccee oonn GGrraapphh TThheeoorryy aanndd CCoommbbiinnaattoorriiaall AAnnaallyyssiiss hheelldd aatt tthhee
UUnniivveerrssiittyy ooff WWaatteerrlloooo iinn 11996666,, RRoonnaalldd FFoosstteerr pprreesseenntteedd aa CCeennssuuss oof fttrriivvaalleenntt
ssyymmmmeettrricicaal lggrraapphhss, , aa ddrraafftt ooff wwhhiicchh wwaass ddiissttrriibbuutteedd ttoo aa ddoozzeenn ccoolllleeaagguueess.. (("''SSyymm­
mmeettrriiccaall"" mmeeaannss eeddggee--ttrraannssiittiivvee aass wweellll aass vveerrtteexx--ttrraannssiittiivvee..)) IInn tthhee ssaammee yyeeaarr,, iinn aa
lleetttteerr ttoo tthhee ffirrrsstt aauutthhoorr ooff tthhiiss bbooookk,, FFoosstteerr ssuuggggeesstteedd tthhee ssttuuddyy ooff tthhoossee ffiinniittee
ttrriivvaalleenntt ggrraapphhss wwhhoossee aauuttoommoorrpphhiissmm ggrroouupp aaccttss rreegguullaarrllyy oonn tthhee vveerrttiicceess,, ccooiinniinngg
ffoorr tthheemm tthhee tteerrmm ""O0--ssyymmmmeettrriicc.."" LLoooosseellyy ssppeeaakkiinngg,, tthheessee aarree ttrriivvaalleenntt ggrraapphhss tthhaatt
aarree jjuusstt vveerrtteexx--ttrraannssiittiivvee,, iinn tthhee sseennssee tthhaatt tthheeyy hhaavvee nnoo ffuurrtthheerr ssyymmmmeettrryy..
IInn 11997755,, iinn NNootteess ddiissttrriibbuutteedd aaggaaiinn oonnllyy ttoo aa rreedduuccee dd 4nnuummbbeerr ooff ffrriieennddss,, hhee bbeeggaann
tthhee ssttuuddyy ooff tthheessee 0O--ssyymmmmeettrriicc ggrraapphhss aanndd aallssoo ooff tthhee "7t--ssyymmmmeettrriicc"" ggrraapphhss,, wwhhiicchh
rreepprreesseenntt aann iinntteerrmmeeddiiaattee ccllaassss bbeettwweeeenn tthhee 0O--ssyymmmmeettrriicc aanndd tthhee ssyymmmmeettrriiccaall.. IInn
ppaarrttiiccuullaarr,, hhee ssttuuddiieedd tthhee mmoosstt nnuummeerroouuss ffaammiillyy ooff 0O-s-syymmmmeetrtriicc ggrraapphhss,, tthhoossee
wwhhoossee aauuttoommoorrpphhiissmm ggrroouupp iiss iissoommoorrpphhiicc ttoo aa ddiihheeddrraall ggrroouupp.. IInn TTaabbllee 2222..11 wwee
lliisstt,, ffrroomm FFoosstteerr''ss wwoorrkk,, tthhee 335500 ggrraapphhss ooff tthhiiss ttyyppee hhaavviinngg nnoott mmoorree tthhaann 112200
vveerrttiicceess ((tthhee uuppppeerr lliimmiitt wwee hhaavvee ffiixxeedd,, ssoommeewwhhaatt aarrbbiittrraarriillyy,, ffoorr tthhiiss ssttuuddyy)).. FFoorr
tthheessee aanndd ootthheerr ccoonnttrriibbuuttiioonnss,, tthhee aauutthhoorrss ddeeddiiccaattee tthhiiss bbooookk ttoo hhiimm..
WWee aallssoo wwiisshh ttoo aacckknnoowwlleeddggee tthhee ccoonnttrriibbuuttiioonnss ooff MMaarrkk WWaattkkiinnss,, wwhhoo ffoouunndd tthhee
ffiirrsstt eexxaammpplleess ooff tthhee ggrraapphhss ssttuuddiieedd iinn SSeeccttiioonnss 2233 aanndd 2244..
FFrroomm tthhee pprreecceeddiinngg iitt sshhoouulldd aallrreeaaddyy bbee cclleeaarr ttoo tthhee rreeaaddeerr tthhaatt tthhee aaiimm ooff tthhiiss
bbooookk iiss ttoo ddeessccrriibbee aallll ooff tthhee 0O-s-syymmmmeetrtriicc ggrraapphhss wwiitthh nnoott mmoorree tthhaann 112200 vveerrttiicceess
tthhaatt wwee hhaavvee ffoouunndd dduurriinngg sseevveerraall yyeeaarrss ooff iinntteennssiivvee sseeaarrcchh.. IInn ssppiittee ooff oouurr iinntteenn­
ttiioonnss,, wwee vveerryy lliikkeellyy hhaavvee oovveerrllooookkeedd ssoommee 0O-s-ysymmmmetertricic ggrraapphhss oorr eerrrroonneeoouussllyy
iinncclluuddeedd ssoommee tthhaatt aarree nnoott 0O--ssyymmmmeettrriicc bbeeccaauussee ooff aa hhiiddddeenn ssyymmmmeettrryy.. WWee wwiillll bbee
mmoosstt ggrraatteeffuull iiff aa rreeaaddeerr ffiinnddiinngg aannyy oommiissssiioonn oorr eerrrroorr wwoouulldd ccoommmmuunniiccaattee tthhee ffaaccttss
ttoo aannyy oorr aallll ooff tthhee aauutthhoorrss..
TThhee wwoorrkk ooff tthhee ffiirrsstt aauutthhoorr wwaass ssuuppppoorrtteedd iinn ppaarrtt bbyy CCaannaaddaa''ss NNaattuurraall SScciieenncceess
aanndd EEnnggiinneeeerriinngg RReesseeaarrcchh CCoouunncciill,, GGrraanntt NNoo.. AA22333388.. TThhee wwoorrkk oof ftthhee tthhirirdd aauutthhoorr
wwaass ssuuppppoorrtteedd bbyy tthhee OOrrggaanniizzaattiioonn ooff AAmmeerriiccaann SSttaatteess, ,tthhrroouugghh FFeelllloowwsshhipip
BBEEGGEESS 6622556644,, dduurriinngg aa ssaabbbbaattiiccaall lleeaavvee aatt UUnniivveerrssiiddaadd SSaannttaa MMaarriiaa..
HH..SS..MM.C.C. . UUnniivveerrssitiyty ooff TToorroonnttoo
RR..FF.. UUnniivveerrssididaad d TTe&ccnniiccaa FF.. SSaannttaa MMaanriaa..
DD..LL..PP. . CCllaarrkkssoonn CCoolllleeggee ooff TeTcehchnnoolologgyy
iixx
11 INITNRTORDOUDUCCTTIOINON
TThhee ggrraapphhss ccoonnssiiddeerreedd iinn tthhiiss bbooookk aarree ffiinniittee,, ccoonnnneecctteedd,,
vveerrtteexx--ttrraannssiittiivvee aanndd ttrrivivaalleenntt.. IInn aa rraatthheerr nnaattuurraall wwaayy,,
ththeessee ggrraapphhss ccaann bbee ddiivviiddeedd iinnttoo tthhrreeee ccllaasssseess,, aaccccoorrddiinngg ttoo
ththee nnuummbbeerr ooff ""eesssseennttiiaallllyy ddiiffffeerreenntt"" eeddggeess iinncciiddeenntt aatt eeaacchh
vveerrtteexx.. TTwwoo aaddjjaacceenntt eeddggeess aarree eesssseennttiiaallllyy ddiiffffeerreenntt iiff tthheerree
iiss nnoo ggrraapphh aauuttoommoorrpphhiissmm ttaakkiinngg oonnee iinnttoo tthhee ootthheerr wwhhiillee ffiixx­-
iningg tthheeiirr ccoommmmoonn eennddppooiinntt.. IIff ssuucchh aann aauuttoommoorrpphhiissmm ddooeess
eexxiisstt,, tthhee ttwwoo eeddggeess aarree ccoonnssiiddeerreedd ttoo bbee ""aalliikkee"".. TThhee
tthhrreeee ccllaasssseess,, wwhhiicchh wwee ccaallll SS,, TT aanndd ZZ,, aarree ddeessccrriibbeedd bbeellooww..
CCllaassss SS.. AAllll tthhrreeee eeddggeess iinncciiddeenntt aatt aannyy vveerrtteexx aarree aalliikkee;;
tthhaatt iiss,, tthhee ggrraapphh iiss bbootthh eeddggee-- aanndd vveerrtteexx--ttrraannssiittiivvee..
FFoosstteerr ((11996666)) mmaaddee aa cceennssuuss ooff tthheessee ssyymmmmetertriiccaall ggrraapphhss wwiitthh
uupp ttoo 440 000 vveerrttiicceess.. SSyymmmmetertriiccaall ggrraapphhss ccaann bbee ffuurrtthheerr ssuubb­-
ddiivviiddeedd.. TThhee oorrddeerr ooff tthhee ssttaabbiilliizzeerr ooff aannyy vveerrtteexx ((tthhaatt iiss,,
ththee rraattiioo ooff tthhee oorrddeerr ooff tthhee aauuttoommoorrpphhiissmm ggrroouupp ttoo tthhee nnuummbbeerr
ooff vveerrttiicceess)) mmuusstt bbee ooff tthhee ffoorrmm 33-.22 ss--11, , wwitithh ss nnoot t ggrreeaatteer r
tthhaann 55 ((TTuuttttee,, 11994477)).. TThhiiss ffaacctt ggiivveess rriissee ttoo tthhee nnaammee ss--
rreegguullaarr ((oorr ss--uunniittrraannssiittiivvee** ((HHaarraarryy,, 11996699)»).. FFoorr eexxaammppllee,,
ssiinnccee wwee ddoo nnoott aaddmmiitt ""mmuullttiiggrraapphhss"",, tthhee ssmmalallleesstt ggrraapphh iinn
ccllaassss SS iiss tthhee ccoommpplelettee ggrraapphh oonn ffoouurr ppooiinnttss,, K.. SSiinnccee iittss
4
aauuttoommoorrpphhiissmm ggrroouupp iiss tthhee ssyymmmmetertiricc ggrroouupp SS^4,' ooff oorrddeerr 2244,,
tthhee ggrraapphh iiss 22--rreegguullaarr..
**OOtthheerr ddeevviiaattiioonnss ffrormom tthhee tteerrmmiinnoollooggyy ooff HHaarraarryy ((11996 699))
aarree tthhee tteermrmss vveerrttiicceess,, eeddggeess,, vvaalleennccyy,, ttrriivvaalleenntt aanndd
hhaammiillttoonniiaann cciirrccuuiitt iinnsstteeaadd ooff ppooiinnttss,, lliinneess,, ddeeggrreeee,, rreegguullaarr
ooff ddeeggrreeee 33,, aanndd hhaammiillttoonniiaann ccyyccllee..
33
4 Zero-Symmetric Graphs
4 Zero-SymmetricGraphs
Class T. There are two kinds of essentially different edges
Class T. There are two kinds of essentially different edges
aatt eeaacchh vveerrtteexx.. TThhuuss iiff vveerrtteexx vV iiss aaddjjaacceennt tttoo vv,,I ' vv0 aanndd
oo 12 2
v ' then there exists a graph automorphism leaving V fixed
v^3, then there exists a graph automorphism leaving V oq fixed
and interchanging, let us say, VI and v ' but none taking v
and interchanging, let us say, v^ and v^i2 but none taking v^ 3
into VI or v . It is easy to see that the stabilizer of any
into v1 or v22» It tfcis easy to see that the stabilizer of any
vertex has order 2 (t ~ 1), and the graphs of this class
vertex has order 2 (t >_ 1) , and the graphs of this class
will be called t-symmetric.
will be called t-symmetric.
The smallest graph in class T is the triangular prism.
The smallest graph in class T is the triangular prism.
(When the name or symbol for a polyhedron is used to designate
(When the name or symbol for a polyhedron is used to designate
a graph, we mean the "skeleton": just the vertices and edges,
a graph, we mean the "skeleton": just the vertices and edges,
ignoring the faces-though usually the faces are significant
ignoring the faces—though usually the faces are significant
as short circuits belonging to the graph.) At each vertex
as short circuits belonging to the graph.) At each vertex
there are two edges, each lying on one square and one tri-
there are two edges, each lying on one square and one tri­
angle, and one edge that lies on two squares. The automor-
angle, and one edge that lies on two squares. The automor­
phism group of the graph is the dihedral group D of order 12,
phism group of the graph is the dihedral group 6of order 12,
and the stabilizer of any vertex is the cyclic group C of
and the stabilizer of any vertex is the cyclic group C 22 of
order 2. Thus the graph is I-symmetric.
order 2. Thus the graph is 1-symmetric.
Class Z. There are three kinds of essentially different
Class Z. There are three kinds of essentially different
edges incident at each vertex. In this case, the stabilizer
edges incident at each vertex. In this case, the stabilizer
of any vertex is trivial—that is, contains only the identity.
of any vertex is trivial-that is, contains only the identity.
Since this corresponds formally to the limiting case t = 0
Since this corresponds formally to the limiting case t = 0
for the order of the stabilizer of a t-symmetric graph, we
for the order of the stabilizer of a t-symmetric graph, we
shall follow Foster (see the Preface) in calling these graphs
shall follow Foster (see the Preface) in calling these graphs
O-symmetric. Evidently, for each pair of vertices in the
O-symmetric. Evidently, for each pair of vertices in the
graph there is a unique automorphism which carries the first
graph there is a unique automorphism which carries the first
into the second.
into the second.
The smallest graph in class Z, shown in Fig. 1.1, has
The smallest graph in class Z, shown in Fig. 1.1, has
18 vertices. The O-symmetry of this graph is by no means
18 vertices. The O-symmetry of this graph is by no means
11 IInnutroodduuccttiioonn 55
oobbvviioouuss,, aalltthhoouugghh iitt ccaann bbee pprroovveedd bbyy mmeaeanns soof ftthheeoorreemms sggiivveenn
iinn SSeeccttiioonn 44..
TThhiiss bbooookk wwiillll bbee ddeevvootteedd ttoo tthhee ssttuuddyy oof fggrraapphhs soof fccllaasss s
zZ.. WWee ddeessccrriibbee aanndd uussee aa vvaarriieettyy ooff mmetehthoodds sffoor r oobbttaaiinniinngg
a0--ssyymmmmetertriicc ggrraapphhss,, iinn aann aatttteemmpptt ttoo ccoommpipliele aa cceennssuuss ooff
tthhoossee hhaavviinngg nnoott mmoorree tthhaann 1122 00 vveerrttiicceess..
FFiigg.. 11..11 TThhee ssmmalallleesstt zzeerroo--ssyymmmmetertircic ggrraapphh..
22 CCAAYYLLEEYY GGRRAAPPHHSS ((IINN GGEENNEERRAALL))
IItt iiss wweellll kknnoowwnn tthhaatt CCaayylleeyy ((11887788aa,, 1l887788bb)) ggaavvee tthhee
ffoolllloowwiinngg vviissuuaalliizzaattiioonn ooff tthhee mmulutlitipplliiccaattiioonn ttaabbllee ooff aa
ffiinniittee ggrroouupp HH bbyy wwhhaatt iiss ccaalllleedd ttooddaayy aa CCaayyleleyy ddiiaaggrraamm. . ((HHee
ccaalllleedd iitt aa ccoolloorr--ggrroouupp..)) TThhiiss iiss aa ddiiggrraapphh hhaavviinngg oonnee vveerrtteexx
ffoorr eeaacchh eelleemmeenntt ooff HH,, wwhheerree iitt iiss ccoonnvveenineientn tttoo uussee tthhee ssaamme e
ssyymmbbooll ffoorr aann eelleemmeenntt aanndd iittss ccoorrrreessppoonnddiinngg vveerrtteexx.. WWitihth eeaacchh
ggeenneerraattoorr RR^ ooff HH wwee aassssoocciiaattee aa cceerrttaaiinn sseet tooff ddiirreecctteedd aanndd
i
ccoolloorreedd eeddggeess,, tthhee ddiirreeccttiioonn iinnddiiccaatteedd bbyy aann aarrrrooww aanndd tthhee
1
th
ssuubbssccrriipptt ii ooff tthhee ggeenneerraattoorr bbyy uussiinngg tthhee ii*"* ccoolloorr.. TTwwoo
1
th
vveerrttiicceess,, PP aanndd QQ,, aarree jjooiinneedd bbyy aann eeddggee ooff tthhee i*i"* ccoolloorr aanndd
ddiirreecctteedd ffrroomm PP ttoo QQ,, wwhheenneevveerr
PPRRo± = QQ .. ((22..11))
1
IItt iiss eeaassyy ttoo sseeee tthhaatt iiff nn^ iiss tthhee ppeerriioodd ooff RR^, , tthhee
l l
eeddggeess sshhoowwiinngg tthhee ffiirrsstt ccoolloorr wwililll ffoorrmm ccyyclciliccaallllyy ddiirreecctteedd
nn1l~-ggoonnss ((aanndd ssiimmiillaarrllyy ffoorr tthhee ootthheerr ccoolloorrss)).. HHowoewveevre,r , ttoo
aavvooiidd 22--cciirrccuuiittss ccoonnssiissttiinngg ooff ttwwoo oopppposoistiteellyy ddiirreecctteedd eeddggeess
jjooiinniinngg tthhee ssaammee ttwwoo vveerrttiicceess,, wwee sshhaalll l aaggrreeee oonncce eaannd dffoor r
aallll ttoo uussee aa ssiinnggllee uunnddiirreecctteedd eeddggee wwhhenenevevere raa ggeennereartaotor riiss
iinnvvoolluuttoorryy ((ii..ee..,, ooff ppeerriioodd ttwwoo))..
IItt sshhoouulldd bbee ppooiinntteedd oouutt tthhaatt rreedduunnddaannt t ggeennerearatotorsrs aarree
aalllloowweedd;; iitt iiss oonnllyy ffoorrbbiiddddeenn ttoo iinncclluuddee tthhee iiddeenntitittyy EE ooff HH
iinn tthhee sseett ooff ggeenneerraattoorrss oorr ttoo uussee aa nnoonn--iinnvvooluluttoorryy eelleemmeennt t
ttooggeetthheerr wwiitthh iittss iinnvveerrssee aass ggeenneerraattoorrss.. SSoo,, ffoorr iinnssttaannccee, ,
x
tthhee ffoouurr--ggrroouupp DD22 ~^ CC22 x CC2 2 ((iinn tteerrmmss oof fttwwoo ggeenenreartaotorsr sA Aaannd d
BB)) aaddmmiittss aass CCaayylleeyy ddiiaaggrraamm aa ssqquuaarree EEAACCBB iinn wwhihcichh tthhee eeddggese s
EEAA,, AACC,, CCBB,, BBEE aarree aalltteerrnnaatteellyy ccoolloorreedd rreedd aanndd bblulue e ((ssaayy);) ;
bbuutt tthhee ddiiaaggoonnaallss EECC aanndd AABB,, wwitithh aa tthhiirrdd ccoololor,r ,mmigihgth tbbe e
66
22 CCaayylleeyy ggrraapphhss ((iinng geenneerraall)) 77
aaddddeedd,, ssiinnccee CC == AABB mmiigghhtt bbee uusseedd aass aa rreedduunnddaantn t ggeennerearatotor.r .
FFuurrtthheerr iinnssttaanncceess ooff CCaayylleeyy ddiiaaggrraammss aarree ttoo bbee ffoouunndd iinn
CCooxxeetteerr aanndd MMoosseerr ((11998800)),, FFiigg.. 33..33 oorr GGrroossssmmaann aanndd MMagagnnuus s
((11996644)),, FFiigg.. 1122..11;; sseeee aallssoo FFiiggss.. 33..11 aanndd 33..22 bbeellooww..
IItt iiss eeaassyy ttoo sseeee tthhaatt tthhee ppeerrmmutuatattiioonnss ooff tthhee vveerrttiicceess
wwhhiicchh pprreesseerrvvee tthhee ccoolloorrss ooff iinncciiddeennt t eeddggeess aarree tthhoossee ggiivveenn
bbyy tthhee ssoo--ccaalllleedd lleefftt rreegguullaarr rreepprreesseennttaattiioonn ooff tthhee ggrroouupp HH. .
MMoorree pprreecciisseellyy,, wwhheenn tthhee ggrroouupp aaccttss oonn tthhee ddiiaaggrraamm, , iittss
eelleemmeenntt Pp ttaakkeess tthhee vveerrtteexx PP ttoo EE,, nnoot tvviiccee vveersrsaa. . HHowoewveevre,r ,
oonnccee tthhee CCaayylleeyy ddiiaaggrraamm hhaass bbeeeenn ddrraawwnn, , tthhee nnaammese soof ftthhee
vveerrttiicceess hhaavvee nnoo mmoorree iimmppoortrtaannccee aanndd ccaann bbee ddrrooppppeed,d ,aannd dwwe e
ssttiillll hhaavvee aa ffaaiitthhffuull rreepprreesseennttaattiioonn ooff tthhee ggiivveenn ggrroouupp HH. .
SSuucchh aa ddiiaaggrraamm iiss,, ooff ccoouurrssee,, nnoot t aann oorrddiinnaarryy ggrraapphh iinn
tthhee sseennssee iinn wwhhiicchh tthhaatt tteerrmm iiss uusseedd bbyy HHaraararyry ((1199669)9 ),, ssiinnccee
tthhee eeddggeess aarree ccoolloorreedd aanndd ((iiff tthheerree aarree nnoonn-i-innvvooluluttoorryy ggeenneer­r
aattoorrss)) ddiirreecctteedd.. HHeennccee iinn oorrddeerr ttoo ttrraannssffoorrmm aa CCaayylleeyy
ddiiaaggrraamm ooff aa ggrroouupp HH iinnttoo aann oorrddiinnaarryy ggrraapphh GG, , wwe emmaya yddrroopp
tthhee ddiirreeccttiioonn aarrrroowwss aanndd oommiti t ccoolloorrss.. IInn aaccccoorrddaannccee wwitithh
ggeenneerraall uussaaggee tthhee ggrraapphh tthhuuss aarriissiinngg ffrroomm aa CCayalyeleyy ddiiaaggrraamm oof f
aa ggrroouupp HH wwiillll bbee ccaalllleedd aa CCaayylleeyy ggrraapphh ooff HH wwitihth rreessppeectc tttoo
tthhee ggeenneerraattoorrss uusseedd.. ((SSoo bbootthh tthhee ssqquuaarree {{44}} aanndd tthhee ccoomm­
pplleettee ggrraapphh K4 aarree CCaayylleeyy ggrraapphhss ffoorr DD22,, aass wwee hhaavvee sseeeenn
aabboovvee))..
SSiinnccee ssuucchh CCaayylleeyy ggrraapphhss aarree oobbvviioouussllyy aallwwaayyss vveerrtteexx-
ttrraannssiittiivvee ((aa pprrooooff iiss ggiivveenn bbyy BBiiggggss ((11997744),), PPrrooppoosisittiioonn
1166..22..11)) aanndd ssoommeettiimmeess aallssoo eeddggee-t-trraannssiittiivvee,, tthhiiss pprroocceedduurree
hhaass aallrreeaaddyy bbeeeenn uusseedd—-ffoorr iinnssttaannccee bbyy FFrruucchht t ((1199 5555)) aanndd mmoroere
rreecceennttllyy CCooxxeetteerr ((11997733))—-ttoo oobbttaaiinn iinntteerreessttiinngg vveerrtteexx-
ttrraannssiittiivvee ggrraapphhss.. IItt wwililll bbee uusseedd hheerree aass tthhee mmaiani nttooolo lffoor r
oobbttaaiinniinngg OO--ssyymmmmetertiricc ggrraapphhss..
88 ZZeerroo--SSyymmmmetertriicc GGrraapphhss
IItt sshhoouulldd hhoowweevveerr bbee ppooiinntteedd oouut t tthhaat t iinn ggeennerearla ltthhee
aauuttoommoorrpphhiissmm ggrroouupp rr((GG)) ooff aa CCaayylleeyy ggrraapphh GG ffoorr aa ggrroouupp HH iiss
ssttrriiccttllyy llaarrggeerr tthhaann HH iittsseellff,, ssoo tthhaatt GG ccaannnnoot tbbee ccoonnssiiddeerreedd
aass aa ffaaiitthhffuull rreepprreesseennttaattiioonn ooff HH.. FFoorr iinnssttaannccee,, iinn tthhee ccaassee
ccoonnssiiddeerreedd aabboovvee ooff tthhee ffoouurr--ggrroouupp D022 wwee hhaadd {{44}} aanndd K4 aass
CCaayylleeyy ggrraapphhss,, bbuutt rr(({{44}})) iiss tthhee ddiihheeddrraal lggrroouupp 04oor roordrdere r88, ,
=
aanndd rr((KK^4)) a~« 5S^4 ooff oorrddeerr 44!1 = 2244.. FFoorr aannootthheerr eexxaammplpele sseeee
BBiiggggss ((11997744)),, pp.. 110077..
S5o0 tthhee ggrroouuppss HH hhaavviinngg aa CCaayylleeyy ggrraapphh GG ssuucchh tthhaat trr((GG)) ^~ HH
sseeeemm ttoo bbee ooff ssppeecciiaall iinntteerreesst t aanndd hhaavvee aallrreeaaddyy bbeeeenn ccoonnsisiddeerreedd
bbyy WWaattkkiinnss aanndd ootthheerrss ((IImmrriicchh 11997755;; NNoowwitiztz aanndd WWataktiknins s 11997722a,a ,
11997722bb;; WWatatkkiinnss 11997711,, 11997744aa)) wwhhoo hhaavvee ccaalllleedd tthheemm ggrroouupps s
""aaddmmititttiinngg aa GGRRRR"" ((== ggrraapphhiiccaall rreegguullaarr rreepprreesseennttaattiioonn)).. FFoorr
iinnssttaannccee,, tthhee ddiihheeddrraall ggrroouuppss ooff oorrddeerr aatt lleeaasst t 1122 hhaavvee ssuucchh
aa ""GGRRRR"" ((bbuutt nnoott tthhoossee ooff lloowweerr oorrddeerr)).. IInn ggeenneeraral,l, hhoowweveevre,r,
tthhee ccoorrrreessppoonnddiinngg ggrraapphhss aarree nnoott ttrriivvaalleenntt—-tthhee oonnllyy ccaassee iinn
wwhhiicchh wwee aarree iinntteerreesstteedd iinn tthhee rreesstt ooff tthhiiss bbooookk. .