Willmore Surfaces in Sn: Transforms and Vanishing Theorems

98 Pages·2005·0.46 MB·English

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Willmore Surfaces in S :
Transforms and
Vanishing Theorems
vorgelegt von
Bachelor of Science
Xiang Ma
aus Changsha, V. R. China
Fakult¨at II – Mathematik und Naturwissenschaften
der Technischen Universita¨t Berlin
zur Erlangung des akademischen Grades
Doktor der Naturwissenschaften
– Dr. rer. nat. –
Genehmigte Dissertation
Promotionsausschuss:
Vorsitzender: Prof. Dr. Ruedi Seiler
1. Berichter: Prof. Dr. Ulrich Pinkall
2. Berichter: Prof. Dr. Franz Pedit
Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 12. Juli 2005
Berlin 2005
D 83
2
Dedicated to Min
for your love and faith
2
Contents
Contents 3
Zusammenfassung i
Abstract iii
Introduction v
1 Surface theory in M¨obius differential geometry 1
1.1 The surface theory by moving frames . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 The light-cone model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Frames and structure equations . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Hopf differential and Schwarzian . . . . . . . . . . . . 3
1.1.4 Conformal Gauss map and Willmore functional . . . . 4
1.2 Special surface classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Willmore surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Isothermic surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Pair of conformally immersed surfaces 11
2.1 General theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Pairs of surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Pairs of contact elements . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3 Touch and co-touch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Blaschke’s Problem and its solutions . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Reformulation of the problem . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.2 Three cases of the solutions . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.3 Further remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Adjoint transforms of Willmore surfaces 23
3.1 The notion of adjoint transform . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.2 Existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.3 Global aspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 The property of adjoint transforms . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 CONTENTS
3.2.1 Duality theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.2 Characterization by conformal harmonic maps . . . . 32
4 Willmore 2-spheres: motivation from a special case 37
4.1 The unique adjoint transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Vanishing results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 Not-vanishing results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5 Willmore 2-spheres: m-isotropic case 47
5.1 Isotropic conditions and vanishing theorem . . . . . . . . . . 47
5.2 Orthogonal frames and isotropic subspaces . . . . . . . . . . . 51
5.3 Derived Willmore surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
A Touch and co-touch: an interpretation by quaternions 61
B Technical lemmas on singularities 67
Bibliography 71
Index 77
Zusammenfassung
Das Hauptinteresse des Autors gilt der Konstruktion neuer Transformatio-
nen von Willmore߬achen und dem Studium ihrer globalen Eigenschaften
fu¨r geschlossene Fl¨achen. Insbesondere sollen die Konstruktion von dualen
Willmorefl¨achen und die bekannten Klassifikationsresultate fu¨r Willmore 2-
Sph¨aren verallgemeinert werden auf den Fall beliebiger Kodimension.
Bei den untersuchten Fragen handelt es sich um Fragen der M¨obius-
geometrie. Fu¨r deren Untersuchungen wird das Lichtkegelmodell benutzt
und eine Theorie von Paaren konform immersierter Fl¨achen entwickelt. Als
Anwendung dieser wird eine L¨osung des Blaschke-Problems im n–dim Raum
gegeben, welches Darboux Paare von Isotherm߬achen und duale Willmore-
fl¨achen charakterisiert. Diese Diskussion fu¨hrt in natu¨rlicher Weise auf
die Begriffe ”beru¨hren” und ”ko–beru¨hren”, welche wiederum die Defini-
tion der adjungierten Transformation von Willmore߬achen motivieren. Ob-
wohl diese Transformationen im Allgemeinen nicht eindeutig sind, bleibt
die Eigenschaft eine duale Willmore߬ache zu sein in einem gewissen Sinne
erhalten. Insbesondere gibt es gute Verallgemeinerungen der existierenden
Dualit¨atssa¨tze. Ein zentrales Ergebnis der Theorie ist, dass adjungierte Will-
morefl¨achen charakterisiert werden k¨onnen mittels konformer harmonischer
Abbildungen.
Sehr starke globale Resultate k¨onnen erhalten werden f”ur den Fall,
dass die zugrundeliegende Fl¨achen eine Sph¨are ist. Wie u¨blich muss man
dabei im Wesentlichen zwei F¨alle unterscheiden: den streng m–isotropen
Fall und den total isotropen Fall. In dieser Arbeit wird haupts¨achlich der
erste Fall diskutiert und es wird gezeigt, dass fu¨r solche Willmorefl¨achen
eine kanonische adjungierte Transformation konstruiert werden kann, welche
wieder eine verzweigte immersierte Willmore 2–Sph¨are und außerdem streng
(m+1)–isotrop ist. Dieses Resultat wird bewiesen u¨ber die Konstruktion
isotroper Unterbu¨ndel und holomorpher Formen und folgt aus algebraisch–
geometrischer Verschwindungssa¨tzen. Interessanterweise spielt hier auch
ein nicht–Verschwindungsresultat eine wichtige Rolle. Dieses Resultat ist
m¨oglicherweise ein Ansatz fu¨r die Klassifikation aller Willmore 2–Sp¨ahren.
ii Zusammenfassung
Abstract
In this work, the main concern of the author is the construction of
new transforms of some given Willmore surface and their global effect
when the underlying surface is closed. Especially, we want to generalize
the construction of dual Willmore surface and the known classification
results on Willmore 2-spheres to arbitrary co-dimensional spaces.
Since these objects are M¨obius invariant, we adopt the light-cone
model, and establish a theory on pairs of conformally immersed sur-
faces. As an application, Blaschke’s Problem in n-space is solved, which
characterizes Darboux pairs of isothermic surfaces and dual Willmore
surfaces. The notion touch and co-touch arise naturally from this dis-
cussion. This further inspires the definition of adjoint transforms of
a given Willmore surface. Although such transforms are not unique
in general, they are also Willmore and dual to the original surface in
certain sense. So they are good generalizations of the existing duality
theorems. Finally adjoint Willmore surfaces are characterized in terms
of conformal harmonic maps, which seems to be the central result in
our general theory.
When the underlying surface is assumed to be a 2-sphere, very
strong global results are obtained. As usual, the discussion should
be divided into two cases: the strict m-isotropic case and the totally
isotropic case. We concentrate on the first case and show, for such
a Willmore surface, one can construct a canonical adjoint transform,
which is again a branched conformally immersed Willmore 2-sphere,
yet is strict (m+1)-isotropic. This Ascending Theorem is obtained
by constructing isotropic sub-bundles and holomorphic forms, then in-
voking the vanishing theorem. Interestingly not-vanishing result also
plays a crucial role at here. This points out a possible way to classify
all Willmore 2-spheres.
iv Abstract