Uniqueness of the translation-invariant Gibbs measure for Hard-Core models with four-states on the Cayley tree

0.19 MB·English

by  R. M. Khakimov

УДК 517.98
Единственность трансляционно-инвариантной меры Гиббса
для HC-моделей с четырьмя состояниями на дереве Кэли
1
Р.М.Хакимов
Аннотация
5
В этой работе рассмотрены плодородные Hard-Core (HC) модели с параметром ак-
1
0 тивности λ > 0 и четырьмя состояниями на дереве Кэли порядка два. Известно, что
2
существуют три типа таких моделей. В данной работе для каждой из этих моделей

n
доказана единственность трансляционно-инвариантноймеры Гиббса.
a
J
2 Ключевыеслова:деревоКэли,конфигурация,НС-модель,мераГиббса,трансляционно-
1
инвариантные меры.

]
h
p 1 Введение
-
h
t
a
m
Изучение предельных мер Гиббса играет важную роль во многих разнообразных обла-
[
стях науки. В частности, Hard-Core (жесткая сердцевина) модель возникает при изучении

1
v случай-ных независимых множеств графа ([1]), при изучении молекул газа на решетке ([2])
3
и при изучении задач телекоммуникации ([3]).
2
7 Hard-Core(жесткий диск, твердое ядро, жесткая сердцевина) модель на D-мерной ре-
7
шетке ZD была введена и изучена Мазелью и Суховым в работе [4].
0
2. Описание всех предельных мер Гиббса, в частности, трансляционно-инвариантных мер
0
Гиббса, для данного гамильтониана является одним из основных задач теории гиббсовских
5
1 мер.Определение мерыГиббсаипонятия,связанныесэтойтеорией,вводятся стандартным
:
v образом (см. например [5]-[7]).
i
X Вработе[8]изученаHC(HardCore)-модель сдвумясостоянияминадеревеКэлиидока-
r
зано, что транцляционно-инвариантная мера Гиббса для этой модели единственна. Кроме
a
того, при некоторых условиях на параметры НС-модели доказана неединственность пе-
риодических мер Гиббса с периодом два. В работе [9] изучены слабо периодические ме-
ры Гиббса для HC-модели с двумя состояниями для нормального делителя индекса два и
показана единственность (трансляционно-инвариантность) слабо периодической меры для
HC-модели.
В работах [12],[13] были изучены гиббсовские меры для (hard core) HC-модели с тремя
состояниями на дереве Кэли порядка k 1. В работе [11] выделены плодородные HC мо-
≥
дели, соответствующие графам "петля", "свисток", "жезл" и "ключ". В работе [12] были
изучены трансляционно-инвариантные ипериодические меры Гиббса для HC модели вслу-
чае "ключ" на дереве Кэли и была доказана единственность трансляционно-инвариантной
1Институтматематики, ул.Дурмон йули,29, Ташкент,100125, Узбекистан.
E-mail: [email protected]
1
меры Гиббса для любой положительной активности λ. В [13] были изучены трансляционно-
инвариантные и периодические меры Гиббса для HC модели в случаях "свисток", "жезл"
и "петля" и показано, что (случай "петля") из положительной активности не следует един-
ственность трансляционно-инвариантных мер.
В настоящей работе рассматриваются плодородные HC-модели с четырьмя состояни-
ями, соответствующие графам "палка"ключ"и "пистолетна однородном дереве Кэли по-
рядка два. В каждом случае доказана, что трансляционно-инвариантная HC-мера Гиббса
единственна.
2 Определения и известные факты
Дерево Кэли k порядка k 1 - бесконечное дерево, т.е. граф без циклов, из каждой
ℑ ≥
вершины которого выходит ровно k+1 ребер. Пусть k = (V,L,i), где V есть множество
ℑ
вершин k,L-егомножестворебериi-функцияинцидентности,сопоставляющаякаждому
ℑ
ребру l L его концевые точки x,y V. Если i(l) = x,y , то x и y называются ближай-
∈ ∈ { }
шими соседями вершины и обозначаются через l = x,y . Расстояние d(x,y),x,y V на
h i ∈
дереве Кэли определяется формулой
d(x,y) = min d x = x ,x ,...,x ,x = y V такой, что x ,x ,..., x ,x .
0 1 d 1 d 0 1 d 1 d
{ |∃ − ∈ h i h − i}
Для фиксированого x0 V обозначим W = x V d(x,x0) = n ,
n
∈ { ∈ | }
V = x V d(x,x0) n , L = l = x,y L x,y V .
n n n
{ ∈ | ≤ } { h i ∈ | ∈ }
Рассмотрим HC-модель ближайших соседей с четырмя состояниями на однородном дереве
Кэли. В этой модели каждой вершине x ставится в соответствие одно из значений σ(x)
∈
0,1,2,3 . Значения σ(x) = 1,2,3 означают, что вершина x ‘занята’, а значение σ(x) = 0
{ }
означает, что вершина x ‘вакантна’.
Конфигурация σ = σ(x), x V на дереве Кэли задается как функция из V в
{ ∈ }
0,1,2,3 . Множество всех конфигураций на V обозначается через Ω. Аналогичном об-
{ }
разом можно определить конфигурации в V (W ), и множество всех конфигураций в V
n n n
(W ) обозначается как Ω (Ω ).
n Vn Wn
Рассмотрим три типа плодородных (fertile) графов с четырмя вершинами 0,1,2,3 (на
множестве значений σ(x)), которые имеют следующие виды:
палка(stick) : 0,1 1,2 2,3 ;
{ }{ }{ }
ключ(key) : 0,1 0,2 1,2 2,3 ;
{ }{ }{ }{ }
пистолет(gun): 0,1 0,2 1,2 2,2 2,3 ;
{ }{ }{ }{ }{ }
Графы,которыенеявляютсяплодородными,называютсябесплодными(sterile)(см.[11]).
ПустьO = палка, ключ, пистолет , G O.КонфигурацияσназываетсяG-допустимой
{ } ∈
конфигурацией надереве Кэли(вV илиW ),если σ(x),σ(y) -ребро Gдля любойближай-
n n
{ }
шей пары соседей x,y из V (из V ). Обозначим множество G-допустимых конфигураций
n
через ΩG (ΩG ).
Vn
2
Множество активности [11] для графа G есть функция l : G R из множества G
+
→
во множество положительных действительных чисел. Значение l функции l в вершине
i
i 0,1,2,3 называется ее “активностью”.
∈ { }
Будем писать x < y, если путь от x0 до y проходит через x. Вершина y называется
прямымпотомкомx,еслиy > xиx, y являютсясоседями.ЧерезS(x)обозначиммножество
прямых потомков x. Заметим, что в k всякая вершина x = x0 имеет k прямых потомков,
ℑ 6
а вершина x0 имеет k+1 потомков.
Для σ ΩG положим
n ∈ Vn
#σ = 1(σ (x) 1)
n n
≥
xX∈Vn
число занятых вершин в σ .
n
Пусть z : x z = (z ,z ,z ,z ) R4 векторнозначная функция на V. Для
7→ x 0,x 1,x 2,x 3,x ∈ +
n = 1,2,... и l > 0 рассмотрим вероятностную меру µ(n) на ΩG , определяемую как
Vn
1
µ(n)(σ )= λ#σn z . (1)
n σ(x),x
Z
n
xY∈Wn
Здесь Z -нормирующий делитель:
n
Zn = λ#σen zσe(x),x.
σenX∈ΩGVn xY∈Wn
Говорят, что вероятностная мера µ(n) является согласованной, если n 1 и σ ΩG :
∀ ≥ n−1 ∈ Vn−1
µ(n)(σ ω )1(σ ω ΩG ) = µ(n 1)(σ ). (2)
n−1∨ n n−1∨ n ∈ Vn − n−1
ωnX∈ΩWn
В этом случае существует единственная мера µ на (ΩG,B) такая, что для всех n и σ ΩG
n ∈ Vn
µ( σ = σ ) = µ(n)(σ ),
{ |Vn n} n
где B σ-алгебра, порожденная цилиндрическими подмножествами ΩG.
−
Определение. Мераµ,определенная формулой (1)с условием (2),называется (G-)HC-
мерой Гиббса с λ > 0, соответствующей функции z : x V x0 z . Множество таких
x
∈ \{ } 7→
мер (для всевозможных z) обозначается через .
G
S
ПустьL(G)-множество реберграфаG,обозначимчерезA AG = a матрицу
≡ ij i,j=0,1,2,3
смежности G, т.е.
(cid:0) (cid:1)
1, если i,j L(G),
a aG = { } ∈
ij ij
≡ ( 0, если i,j / L(G).
{ } ∈
В следующей теореме сформулировано условие на z , гарантирующее согласованность
x
меры µ(n).
Теорема 1.[10] Вероятностные меры µ(n), n = 1,2,..., заданные формулой (1), согласо-
ванны тогда и только тогда, когда для любого x V имеют место следующие равенства:
∈
a +a z +a z +a z
10 11 1′,y 12 2′,y 13 3′,y
z = λ ,
0′,x a +a z +a z +a z
y S(x) 00 01 1′,y 02 2′,y 03 3′,y
∈Y
3
a +a z +a z +a z
20 21 1′,y 22 2′,y 23 3′,y
z = λ ,
1′,x a +a z +a z +a z
y S(x) 00 01 1′,y 02 2′,y 03 3′,y
∈Y
a +a z +a z +a z
30 31 1′,y 32 2′,y 33 3′,y
z = λ ,
2′,x a +a z +a z +a z
y S(x) 00 01 1′,y 02 2′,y 03 3′,y
∈Y
где z = λz /z , i = 0,1,2.
i′,x i,x 3,x
3 Трасляционно-инвариантные меры Гиббса
Мы полагаем, что z 1 и z = z > 0, i = 0,1,2. Тогда для любых функций
3,x ≡ i,x i′,x
x V z = (z ,z ,z ), удовлетворяющих равенству
x 0,x 1,x 2,x
∈ 7→
a +a z +a z +a z
i0 i1 1,y i2 2,y i3 3,y
z = λ , i = 0,1,2, (3)
i,x
a +a z +a z +a z
00 01 1,y 02 2,y 03 3,y
y S(x)
∈Y
существуетединственнаяG-HC-мераГиббсаµинаоборот.Начнемстрансляционно-инвариантных
решений, в которых z = z R3, x = x . В случаях G = палка, G = ключ и G = пистолет
x ∈ + 6 0
из (3) получим следующие системы уравнений:
k
z = λ z1 ,
0 z2
 (cid:16) (cid:17) k
 z1 = λ z0z+2z2 , (4)

 (cid:16) (cid:17)k
z = λ z1+1 ,
 2 z2

 (cid:16) (cid:17)

 k
z = λ z1+z2 ,
0 z2
 (cid:16) (cid:17)k
 z1 = λ z0z+2z2 , (5)

 (cid:16) (cid:17) k
z = λ z0+z1+1 ,
 2 z2

 (cid:16) k (cid:17)
z = λ z1+z2 ,
0 z2
 (cid:16) (cid:17)k
 z1 = λ z0z+2z2 , (6)

 (cid:16) (cid:17) k
z = λ z0+z1+z2+1 ,
 2 z2

соответственно.  (cid:16) (cid:17)


Лемма. В системах уравнений (5) и (6) z = z .
0 1
Доказательство непосредственно получается вычитанием из первого уравнения второго
в (5) и (6), соответственно.
Следующее утверждение дает оценки для произвольного решения системы уравнений
(4):
Утверждение 1. Если z = (z ,z ,z ) является решением (4), то
0 1 2
1. λk+1 < z < 2k2λk+1 ; 2. λ < z < 2kλ;
k+√1 λk(2kλ+1)k2 0 k+√1 λk(λ+1)k2 1
3. k+1 λ(λ+1)k < z < k+1 λ(2kλ+1)k.
2
p p
4
Доказательство. 1. Получается из первого уравнения (4), используя оценки для z и
1
z .
2
2. Из второго уравнения (4) получим, что z > λ. Разделив первое уравнение на третье,
1
будем иметь:
k
z z
0 1
= < 1.
z z +1
2 (cid:18) 1 (cid:19)
Используя последнее неравенство, из второго уравнения следует, что z < 2kλ.
1
3. Используя оценку для z , получается из третьего уравнения (4) z = k+1 λ(z +1)k.
1 2 1
Утверждение доказано.
p
3.1 Случай G = палка
В этом случае верна следующая
Теорема 2. При k = 2 и λ > 0 в случае G = палка существует только одна Hard-Core
трансляционно-инвариантная мера Гиббса.
Доказательство. Из третьего уравнения системы (4)при k = 2найдем z ,и подставим
2
в первое уравнение. Полученные выражения для z и z подставим во второе уравнение. В
2 0
результате получим уравнение
z2 2
z = λ 1 +1 = f(z ). (7)
1 · (z +1)2 1
(cid:18) 1 (cid:19)
Так как
z2 z
f (z )= 4λ 1 +1 1 > 0, (8)
′ 1 (z +1)2 (z +1)3
(cid:18) 1 (cid:19) 1
то функция f(z ) строго возрастает, отсюда она не имеет периодических точек
1
lim f(n)(z ) = z ,
1 1
n 6
→∞
т.е. все предельные точки неподвижные.
Далее, из уравнения (7) найдем λ и подставим в (8). Тогда будем иметь
4z2
f (z )= 1 .
′ 1 (z2+(z +1)2)(z +1)
1 1 1
Легко доказать, что f (z ) < 1 для любых z > 0. Из этого следует, что все неподвижные
′ 1 1
точки притягивающие. Из всего сказанного можно заключить, что уравнение z = f(z )
1 1
имеет единственное решение при λ > 0. Теорема доказана.
3.2 Случай G = ключ
В этом случае обозначая √k z = x > 0, √k z = y > 0,√k λ = a и используя лемму, из
1 2
системы уравнений (5) получим следующую систему уравнений:
5
x = a xk+yk = a x k +a,
· yk · y
(9)
 y = a 2xk+1 = 2a (cid:16) x(cid:17) k + a .
 · yk · y yk
(cid:16) (cid:17)
 k
Из первого уравнения (9) найдем x = x a и подставим на второе уравнение y = 2x
y −a −
2a+ a и получим (cid:16) (cid:17)
yk
y a
x = +a.
2 − 2yk
Используя последнее выражение для x, из второго уравнения (9) будем иметь
k
y a
yk+1 = a 2 +a +1 .
· 2 − 2yk
" #
(cid:18) (cid:19)
Это уравнение при k = 2 эквивалентно уравнению
f(y) = 2y7 ay6 4a2y5 (4a3 +2a)y4+2a2y3+4a3y2 a3 = 0,
− − − −
которое по известной теореме Декарта о количестве положительных корней многочлена
имеет не более трех положительных решения. Кроме того, f(0) = a3 < 0 и f(y) +
− → ∞
при y + , т.е. уравнение f(y)= 0 имеет по крайней мере одно положительное решение.
→ ∞
Итак, справедливо следующее
Утверждение 2. Система уравнений (9) при k = 2 имеет по крайней мере одно и не
более трех решений.
Покажем, что (9) имеет только одно решение при любых значениях a > 0. Легко по-
казать, что уравнение z = f(z ) имеет более одного решения тогда и только тогда, когда
1 1
уравнение z f (z ) = f(z ) имеет более одного решения. Воспользуемся этим свойством
1 ′ 1 1
дважды. Для этого из системы уравнений (5) при k = 2 можем получить уравнение
2 2
z + 3 λ(2z +1)2 z
1 1 1
z = λ = λ +1 = f(z ),
1 1
· 3 λp(2z1 +1)2 ! · 3 λ(2z1 +1)2 !
производная правой частpи которого равна p
z 2z +3
1 1
f (z ) = 2λ +1 .
′ 1
3 λ(2z1+1)2 ! 3 λ(2z1 +1)5
p p
Тогда из уравнения z f (z ) = f(z ) получим
1 ′ 1 1
3 λ(2z +1)5
1
z = = ϕ(z ).
1 1
2z +5
p 1
Вычисляя производную
4λ(2z +1)(2z +11)
1 1
ϕ(z )= ,
′ 1
3(2z +5)2 3 λ2(2z +1)
1 1
рассмотрим уравнение z1ϕ′(z1) = ϕ(z1). Оно эквиpвалентно следующему квадратному урав-
нению
4z2 8z +15 = 0,
1 − 1
6
которое не имеет вещественных решений. Значит, уравнение z = f(z ) имеет не более
1 1
одного решения. Отсюда, в силу утверждении 2, справедлива
Теорема3.Приk = 2иλ > 0вслучаеG= ключHard-Coreтрансляционно-инвариантная
мера Гиббса единственна.
3.3 Случай G = пистолет
Заметив, что z = z , из (6) получим следующую систему уравнений:
0 1
x = a xk+yk = a x k +a,
· yk · y
(10)
 y = a 2xk+yk+1 =(cid:16)2a(cid:17) x k + a +a,
 · yk · y yk
(cid:16) (cid:17)
где √k z1 =x > 0, √k z2 = y> 0,√k λ = a.
Ясно, что x > a. Аналогично предыдущему случаю, из (10) можем иметь
k
y a a
yk+1 = 2a + +ayk +a.
· 2 − 2yk 2
(cid:18) (cid:19)
Преобразуем это уравнение при k = 2:
f(y,a) = 2y7 3ay6 2a2y5 (a3+2)y4+2a2y3+2a3y2 a3 = 0.
− − − −
Анализируя последнее уравнение подобно предыдущему случаю, получим следующее
Утверждение 3. Система уравнений (10) при k = 2 имеет по крайней мере одно и не
более трех решений.
Покажем, что (10) при k = 2 имеет только одно решение при любых значениях a > 0.
Для этого в этом случае из (10) можно получить уравнение
x3 2
x = a +1 = f(x). (11)
· 2x3 ax2+x a
" #
(cid:18) − − (cid:19)
Производная функции f(x) равна
2ax5
f (x) = ( ax2+2x 3a). (12)
′
(2x3 ax2+x a)3 − −
− −
Преобразуя уравнение xf (x) = f(x), получим уравнение
′
2x6( ax2+2x 3a) = (x6+(2x3 ax2+x a)2)(2x3 ax2+x a),
− − − − − −
которое не имеет решений при a > 1 . Отсюда уравнение (11) в силу Утверждении 3 имеет
√3
только одно решение при a > 1 .
√3
Рассмотрим случай 0 < a 1 . Из (12) следует, что функция f(x) имеет критические
≤ √3
точкиx = 1 √1 3a2 иx = 1+√1 3a2 (a < x < x при0 < a 1 ),убываетприa < x < x ,
1 − a− 2 a− 1 2 ≤ √3 1
x > x и возрастает при x < x < x . Отсюда x = x и x = x . Заметим, что
2 1 2 1 min 2 max
значение функции f(x) в точке a лежит над биссектрисой y = x, т.к. f(a)= 2a > a. Кроме
7
того, значения функции f(x) в точках x и x лежат под биссектрисой y = x, т.к.
min max
f(x ) <x и f(x )< x при 0 < a 1 . (Рис.1 и Рис.2)
min min max max ≤ √3
Из всего сказанного следует
Теорема 4. При k = 2 и λ > 0 в случае G = пистолет Hard-Core трансляционно-
инвариантная мера Гиббса единственна.
Рис. 1. График функцииg(a)=f(xmin)−xmin при0<a≤ 1
√3
8
Рис. 2. График функцииg(a)=f(xmax)−xmax при0<a≤ 1
√3
Благодарность. Автор благодарит профессора У. А. Розикова за постановку задачи и
полезные советы.
Список литературы
[1] D. Galvin, J. Kahn. On phase transition in the hard-core model on Zd, Comb. Prob. Comp.
13 (2004), 137–164.
[2] R.J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics, Academic, London, 1982.
[3] F. Kelly. Loss networks, Ann. Appl. Probab. 1(3) (1991), 319–378.
[4] A.E.Mazel,Yu.M.Suhov, Random surfaces with two-sided constraints: an application of the
theory of dominant ground states, J. Statist. Phys. 64 (1991), 111–134.
[5] Х.-О. Георги. Гиббсовские меры и фазовые переходы. - М.: Мир, 1992.
[6] К. Престон. Гиббсовские состояния на счетных множествах. - М. : Мир, 1977.
[7] Я. Г. Синай. Теория фазовых переходов. Строгие результаты. - M.: Наука, 1980.
[8] Yu.M. Suhov, U.A. Rozikov, Queueing Systems, 46 (2004), 197–212.
[9] Р.М.Хакимов Математические заметки. 2013, т. 94, No 5, с.796-800.
9
[10] U.A. Rozikov. Gibbs measures on Cayley trees. World Scientific.-2013.
[11] Brightwell G., Winkler P., J.Combin. Theory Ser. B, 75 (1999), 221-262.
[12] Martin J.B, Rozikov U.A., Suhov Yu.M. Jour. Nonlinear Math. Phys 12(3) (2005), 432-448.
[13] У. А. Розиков, Ш.А. Шоюсупов, ТМФ, 156:3 (2008), 412–424.
10