Un libro de Análisis Funcional

302 Pages·2015·1.1 MB·Spanish

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PROYECTO DOCENTE
Ana´lisis Funcional
Gin´es L´opez P´erez.
Granada, 1.998
Contenido.
I ESPACIOS NORMADOS 1
I.1 Espacios normados y espacios de Banach. Ejemplos . . . 2
I.2 Continuidad de aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . . 10
I.3 Espacios normados de dimensio´n finita . . . . . . . . . . 15
II EL TEOREMA DE HAHN-BANACH 21
II.1 Versi´on anal´ıtica del Teorema de Hahn-Banach . . . . . . 22
II.2 Ma´s teoremas de Hahn-Banach. Aplicaciones . . . . . . . 30
IIIINTRODUCCION A LA TEORIA DE DUALIDAD 49
III.1 Topolog´ıas d´ebiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
III.2 El teorema del bipolar en espacios normados . . . . . . 54
III.3 Los teoremas de Goldstine y Banach-Alaoglu´ . . . . . . . 57
IVLOS TEOREMAS DE LA APLICACION ABIERTA Y
BANACH-STEINHAUSS 65
IV.1 La categor´ıa. El teorema de Baire . . . . . . . . . . . . . 66
IV.2 El teorema de la aplicaci´on abierta . . . . . . . . . . . . 69
IV.3 Consecuencias: el teorema de Banach-Steinhauss . . . . . 75
IV.4 Bases de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
IV.5 El principio de selecci´on de Bessaga-Pelczynski . . . . . . 87
V ESPACIOS DE HILBERT 91
V.1 Los teoremas de la proyecci´on ortogonal y Riesz-Fr´echet 92
V.2 Bases ortonormales y espacios de Hilbert “tipo” . . . . . 100
V.3 Operadores en espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . 111
i
ii
V.4 El teorema espectral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
VIESPACIOS VECTORIALES TOPOLOGICOS 133
VI.1 Topolog´ıas vectoriales. Bases de entornos de cero . . . . 134
VI.2 EVT de dimensio´n finita. Acotacio´n y precompacidad . . 142
VI.3 Clases especiales de EVT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
VIILOS TRES PRINCIPIOS DEL ANALISIS FUNCIONAL
161
VII.1El teorema de la aplicaci´on abierta en EVT . . . . . . . 162
VII.2El teorema de Banach-Steinhauss en EVT . . . . . . . . 169
VII.3Ma´s teoremas de separaci´on. El teorema de Krein-Milman 173
VIIDIUALIDAD EN EVT 183
VIII.1Pares duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
VIII.2El teorema de Alaoglu´-Bourbaki . . . . . . . . . . . . . . 195
VIII.3Topolog´ıas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
VIII.4Los teoremas de Grothendieck y Krein-Smulian . . . . . 204
IXINTRODUCCION A LAS DISTRIBUCIONES 215
IX.1 Funciones test y distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . 216
IX.2 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
X INTRODUCCION A LAS ALGEBRAS DE BANACH 233
X.1 Elementos inversibles de un a´lgebra . . . . . . . . . . . . 234
X.2 Espectro. Teorema de Gelfand-Mazur . . . . . . . . . . . 241
X.3 El Teorema de Gelfand-Naimark conmutativo . . . . . . 244
X.4 La Teor´ıa de Riesz-Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . 255
A REDES Y FILTROS 265
B TEORIA DE LA MEDIDA 275
Introduccio´n.
Antes de comentar el contenido de esta memoria, procuraremos ex-
presar nuestra idea de lo que debe ser un curso de An´alisis Funcional,
materia a la que se dedica en el actual plan de estudios de la Universidad
de Granada la asignatura de Ana´lisis V. Suscribimos la idea del libro de
Conway: es posible que dos investigadores de An´alisis Funcional, tengan
serias dificultades para comunicarse sus respectivos descubrimientos. Es
decir, lo que se entiende por An´alisis Funcional es, hoy en d´ıa, algo tan
amplioqueesimposibledeabarcar. Noobstante,esposibledefinirlosob-
jetos abstractos que estudia el Ana´lsis Funcional, como dice Dieudonn´e:
los espacios vectoriales topol´ogicos y las aplicaciones entre ellos, con cier-
tas propiedades algebraicas y topol´ogicas. Podemos an˜adir que, adem´as,
no se pueden perder de vista las aplicaciones, que el estudio abstracto de
dichas estructuras trae consigo.
En el actual plan de estudios, el An´alisis Funcional se imparte en el
u´ltimo curso de la licenciatura en Matem´aticas, dentro de la asignatura
anual An´alisis Matem´atico V, que es obligatoria en tres de las especiali-
dades, y optativa en otra. Como, en breve, estara´ vigente el nuevo plan
de estudios, que tendra´ una estructura cuatrimestral, hemos elaborado
un proyecto docente adecuado con la situacio´n entrante, que creemos
adema´s apropiado para el poco tiempo que se mantenga la situaci´on ac-
tual. Al final de esta introduccio´n, se dara´ una idea de c´omo adaptar
este programa en cualesquiera de las dos situaciones.
Los requisitos previos para este programa son dos cursos de Algebra
iii
iv Introducci´on.
Lineal y Topolog´ıa, que se imparten en los dos primeros cursos de la
licenciatura y que, en cualquier caso, creemos que un nuevo plan de estu-
dios cuatrimestral esta´ obligado a impartirlos en los primeros cursos de
la carrera. Por otro lado, hemos incluido algunas aplicaciones en nuestro
programa que requieren conocimientos de Variable compleja y de Teor´ıa
de la Medida. La primera se imparte actualmente en el cuarto curso de
la licenciatura, aunque para nuestras aplicaciones bastar´ıa con un cuatri-
mestre. Respecto a la segunda, que se imparte en el u´ltimo curso, hemos
cre´ıdo conveniente no utilizar ma´s que la integral de Lebesgue, que s´ı
debe ser conocida por el alumno, hasta mediado el curso, para tener de
esta manera cubiertos los conocimientos necesarios para nuestras aplica-
ciones.
Pasamos ya a describir el contenido de nuestro programa, que se
dedicara´ exclusivamente de los espacios normados en los primeros cinco
cap´ıtulos, para pasar al estudio de los espacios vectoriales topolo´gicos en
el resto.
Nos parece conveniente comenzar con un primer cap´ıtulo dedicado a
las propiedades ba´sicas de los espacios normados, puesto que el conoci-
miento de ´estos var´ıa mucho de una promocio´n a otra. Pi´ensese que el
conocimiento del alumno de los espacios normados, antes de llegar a este
curso, se imparte en un an˜o junto con el ca´lculo diferencial en varias
variables y la integral de Lebesgue.
Empezamos, ya dentro de nuestro primer cap´ıtulo, definiendo la es-
tructura de espacio normado y exponiendo una larga lista de ejemplos,
para familiarizar al alumno con los conceptos ba´sicos, y posibilitando
una primera toma de contacto mediante la comprobaci´on de detalles que
se dejan al alumno en la lista de ejemplos. En el segundo tema, pre-
sentamos las formas posibles que puede adoptar la continuidad de una
aplicacio´n lineal entre espacios normados y definimos el espacio de opera-
dores, dando entrada al espacio dual. El u´ltimo tema se dedica al estudio
Introducci´on. v
de los espacios normados de dimensio´n finita, destacando el teorema de
Tihonov, que nos garantiza la equivalencia entre dos cualesquiera nor-
mas en un espacio vectorial de dimensi´on finita, y el teorema de Riesz,
que caracteriza la dimensio´n finita de un espacio normado a trav´es de
su compacidad local, poniendo de manifiesto la “escasez” de conjuntos
compactos en dimensi´on infinita.
Nuestro segundo cap´ıtulo est´a dedicado al teorema de Hahn-Banach,
que motivamos con el problema deextensi´onde funcionalescontinuos. El
primer tema de este cap´ıtulo esta´ dedicado a la versi´on anal´ıtica del teo-
rema, que nos asegura la no trivialidad del dual de un espacio normado.
Esto nos permite ya tener un primer contacto con la teor´ıa de dualidad.
En nuestro segundo tema nos dedicamos a las aplicaciones, para poner
de manifiesto la gran versatilidad del teorema de Hahn-Banach, uno de
los ma´s importantes principios del Ana´lisis Funcional. Destacamos la
existencia de medias invariantes en todo semigrupo abeliano, como con-
secuencia de una reformulacio´n equivalente a la versi´on anal´ıtica del teo-
rema de Hahn-Banach, el cla´sico problema de los momentos y el teorema
de Markov-Kakutani, un resultado de punto fijo que deducimos de la
versio´n geom´etrica del teorema que nos ocupa. Por u´ltimo, obtenemos
la versio´n geom´etrica, dejando patente su equivalencia con la anal´ıtica,
y dando entrada a los teoremas de separacio´n.
Nuestro tercer cap´ıtulo est´a dedicado a la teor´ıa de dualidad en es-
pacios normados, que puede ser considerada como una prolongacio´n del
teorema de Hahn-Banach. Comenzamos en el primer tema definiendo la
topolog´ıa d´ebil de un espacio normado y la d´ebil-* de su dual, estudiando
sus propiedades m´as importantes. La motivaci´on para ello es la carencia
de subconjuntos compactos para la topolog´ıa de la norma.
El segundo tema se dedica al teorema del bipolar en espacios norma-
dos, que se presenta so´lo para subespacios. Se echar´a en falta el resultado
general para subconjuntos, sin embargo ello no dificulta la presentaci´on
vi Introducci´on.
de los teoremas de Goldstine y Banach-Alaoglu´ en nuestro tercer tema,
mostrando la “abundancia” de compactos para la topolog´ıa d´ebil, en es-
pacios reflexivos y para la topolog´ıa d´ebil-*, en espacios duales. Como
aplicaciones destacamos el teorema de Milman-Pettis (convexidad uni-
forme implica reflexividad), el teorema de Mazur que muestra la univer-
salidad del espacio de las funciones continuas en [0,1], entre la clase de
los espacios de Banach separables, la complementacio´n de c en cualquier
0
espacio de Banach separable y la complementacio´n de (cid:96) en cualquier
∞
espacio de Banach.
Como ya hemos comentado, se echara´ en falta un enunciado general
del teorema del bipolar y tambi´en entre las aplicaciones, las que precisan
del teorema de Krein-Milman. No obstante, la teor´ıa de dualidad encon-
trara´ su ambiente ma´s general con los pares duales a desarrollar en el
octavo cap´ıtulo, que encontrara´ su motivaci´on en el presente.
Nos dedicamos en el cuarto cap´ıtulo a presentar otros dos principios
del Ana´lisis Funcional: los teoremas de la aplicacio´n abierta y Banach-
Steinhauss. Comenzamos presentando una herramienta imprescindible
en un curso de An´alisis Funcional, el teorema de Baire. En nuestro
segundo tema se demuestra el teorema de la aplicaci´on abierta, junto
con sus formulaciones equivalentes: teoremas de la gra´fica cerrada e iso-
morfismos de Banach. Aparte de las aplicaciones al mundo del Ana´lisis
Funcional, presentamos otra en el mundo de las ecuaciones diferenciales,
mostrando la dependencia continua respecto de los datos y valores ini-
ciales de cualquier sistema de ecuaciones lineales. El tercer tema se de-
dica al teorema de Banach-Steinhauss, que deducimos del teorema de la
gra´fica cerrada, si bien la herramienta principal vuelve a ser el teorema
de Baire, del que se desprende un resultado m´as profundo de naturaleza
estrictamente topol´ogica: el principio de acotacio´n uniforme. Entre las
aplicaciones destacan la abundancia de funciones continuas cuya serie de
Fourier asociada no converge puntualmente y la caracterizaci´on de las
Introducci´on. vii
matrices conservativas mediante las llamadas condiciones de Siverman-
Toeplitz.
Dedicamos el cuarto tema al apasionante mundo de las bases de
Schauder en espacios de Banach, mostrando el teorema de la base de
Banach-Schauder, una caracterizaci´on intr´ınseca de las bases, que es otra
brillante aplicacio´n del teorema de la aplicaci´on abierta. El concepto
de bases equivalentes nos sirve de excusa para motivar el teorema de
Bessaga-Pelczynski, que presentamos en el u´ltimo tema tras el principio
de selecci´on. Como aplicaciones, destacan el teorema de Orlicz-Pettis y
el hecho de que todo operador de c en un espacio de Banach que no
0
contenga subespacios isomorfos a c , se pueda aproximar por operadores
0
de rango finito, es decir dicho operador es compacto.
Nuestroquintocap´ıtulosededicaalestudiodelosespaciosdeHilbert.
Varios resultados b´asicos muestran el gran parecido geom´etrico con los
espacios eucl´ıdeos. Tras una visio´n del Ana´lisis Funcional en el mundo
de los espacios normados nos parece adecuado terminar con los espacios
de Hilbert, que poseen la ma´s rica estructura.
Los principales resultados del primer tema son los teoremas de la
aproximacio´n ´optima, proyecci´on ortogonal y Riesz-Fr´echet. Tambi´en
hemos incluido una consecuencia de ´este u´ltimo, el teorema de Lax-
Milgram, que resulta de utilidad en ecuaciones diferenciales.
En el segundo tema abordamos la descripcio´n de los espacios de
Hilbert, como los del tipo (cid:96) (Γ). Tras el concepto de familia sumable, se
2
daentradaalasbasesortonormalesenespaciosdeHilbert, motivadaspor
el hecho de que con la base de (cid:96) , se puede reconstruir toda la estructura
2
del espacio.
Nuestro tercer tema pretende ser una introduccio´n a la teor´ıa de ope-
radores en espacios de Hilbert. Se prueba la densidad de los operadores
de rango finito, en el espacio de los operadores compactos, y se pre-
sentan algunos ejemplos interesantes, algunos de ellos relacionados con
viii Introducci´on.
ecuaciones integrales. Dedicamos nuestro u´ltimo tema al teorema espec-
tral, para operadores compactos normales, que se da en sus diferentes
versiones.
Los cinco u´ltimos cap´ıtulos de nuestro proyecto est´an dedicados a los
espacios vectoriales topolo´gicos y una introduccio´n a las ´algebras de Ba-
nach, en el u´ltimo de ellos. Cada uno de estos cap´ıtulos encontrar´a su
antecedente en alguno de los cinco primeros, y esto conllevar´a ventajas
e inconvenientes. Respecto a las ventajas, conviene decir que empezare-
mos cada uno de los cap´ıtulos con una motivaci´on previa, ya estudiada
en el ambiente de los espacios normados, lo que har´a que muchos de
los resultados que tengamos que presentar sean meros ejercicios para el
alumno, que tendra´ que resolver con un m´ınimo de indicaciones por parte
del profesor. Adema´s, el alumno agradecera´ sin duda que el paso a la
abstraccio´n sea gradual, con referentes en ambientes anteriores. Repecto
a los inconvenientes, es inevitable la repeticio´n de argumentos en dos am-
bientes diferentes. No obstante, estamos seguros de que la reincursi´on en
cuestiones consideradas previamente, en situaciones ma´s privilegiadas,
permite arrojar nueva luz sobre ellas. Por otro lado, si logramos des-
pertar en el alumno el instinto matem´atico, es probable que ´este mismo
sea quien sugiera eliminar los privilegios del ambiente, en determinados
temas.
Nuestro sexto cap´ıtulo se dedica a la presentacio´n de las nociones
ba´sicas del mundo de los espacios vectoriales topolo´gicos (EVT). Comen-
zamos definiendo tales espacios, y caracterizamos algebraicamente las fa-
milias de subconjuntos que pueden ser bases de entornos de cero, para
una topolog´ıa vectorial. La tarea ejemplificadora se facilita ahora intro-
duciendociertasfuncionesenunespaciovectorial,quecompartenalgunas
propiedades con una norma: casinorma y pseudonorma, cuyas topolog´ıas
asociadas son siempre vectoriales. El segundo tema se dedica al estudio
de los EVT de dimensio´n finita, que a estas alturas debe ser un mero