Übungsbuch zur Linearen Algebra: Aufgaben und Lösungen

355 Pages·2017·2.5 MB·German

by  Hannes Stoppel

Grundkurs Mathematik
Hannes Stoppel
Birgit Griese
Übungsbuch
zur Linearen
Algebra
Aufgaben und Lösungen
. Auflage
Grundkurs Mathematik
Berater
Martin Aigner,
Peter Gritzmann,
Volker Mehrmann,
Gisbert Wüstholz
Die Reihe „Grundkurs Mathematik“ ist die bekannte Lehrbuchreihe
im handlichen kleinen Taschenbuch-Format passend zu den mathe-
matischen Grundvorlesungen, vorwiegend im ersten Studienjahr.
Die Bücher sind didaktisch gut aufbereitet, kompakt geschrieben
und enthalten viele Beispiele und Übungsaufgaben.
In der Reihe werden Lehr- und Übungsbücher veröffentlicht, die bei
der Klausurvorbereitung unterstützen. Zielgruppe sind Studieren-
de der Mathematik aller Studiengänge, Studierende der Informatik,
Naturwissenschaften und Technik, sowie interessierte Schülerinnen
und Schüler der Sekundarstufe II.
Die Reihe existiert seit 1975 und enthält die klassischen Bestseller
von Otto Forster und Gerd Fischer zur Analysis und Linearen Alge-
bra in aktualisierter Neuauflage.
Hannes Stoppel · Birgit Griese
Übungsbuch zur
Linearen Algebra
Aufgaben und Lösungen
9., erweiterte Auflage
Hannes Stoppel Birgit Griese
Westfälische Wilhelms-Universität Universität Paderborn
Münster, Deutschland Deutschland
Grundkurs Mathematik
ISBN 978-3-658-14521-7 ISBN 978-3-658-14522-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-658-14522-4
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Vorwort
SeitdiezehnteAuflagederLinearenAlgebravonGerdFischererschienenist,
diealsNeuerunggegenberdena¨lterenAuflagenvieleU¨bungsaufgabenentha¨lt,
sindbeimVerlagvieleAnfragennachdenLo¨sungendieserAufgabeneingegan-
gen. Auf Anregung von Frau Schmickler-Hirzebruch begann im Winter 96/97
dieArbeitandiesemLo¨sungsbuch.
DennochstehenwirderVero¨ffentlichungeinesBuches,dasnurausLo¨sungen
zuU¨bungsaufgabenbesteht,skeptischgegenu¨ber,dadieeigeneBescha¨ftigung
mitProblemenundvieleigenesNachdenkenfu¨rdasVersta¨ndnisvonMathema-
tikunverzichtbarsind.DasNachschlagenvonLo¨sungenineinemBuchmacht
nachdieserU¨berzeugungnurSinn,wennmansichvorherselbststa¨ndigundaus-
giebigmitderAufgabeauseinandergesetzthat.Wirhoffen,daßunsereLeserIn-
nendieseDisziplinbesitzen.UnterdiesenVoraussetzungenkanneinLo¨sungs-
buchdavorschu¨tzen,vielZeitohnevielNutzenmiteinereinzelnenAufgabezu
vertunundsohoffentlichFrustrationenverhindern.
Dieses Buch ist jedoch auch fu¨r geu¨bte MathematikerInnen von Interesse,
denn wir haben auf folgendes besonderen Wert gelegt: Viele der U¨bungsauf-
gabeninderzehntenundelftenAuflagederLinearenAlgebragewinnenimZu-
sammenhangmitAnwendungenausverschiedenenBereichenderMathematik
anBedeutung,vondeneneinEAnfa¨ngerInfreilichnochnichtswissenkann.Wir
habenunsbemu¨ht,sooftwiemo¨glichaufsolcheBezu¨gezuverweisen.Dassoll
zurMotivationbeitragen,dennesplatziertdielineareAlgebraalsTeilgebietder
MathematikindemGeflechtdervielenanderenTeildisziplinenaneinerzentra-
len Stelle. In diesem Zusammenhang sind wir stets fu¨r weitere Ansto¨ße offen
undfreuenunsu¨berAnregungenunsererLeserInnen,diewirineinerspa¨teren
Auflageberu¨cksichtigenko¨nnen.
DasvorliegendeArbeitsbuchentha¨ltdieAufgabenausderelftenAuflageder
Linearen Algebra von Gerd Fischer, einige Erga¨nzungsaufgaben sowie deren
Lo¨sungen.EskannauchmitderzehntenAuflagederLinearenAlgebrabenutzt
werden.Kapitel,diemiteinemSternversehensind,ko¨nnenbeimerstenDurch-
arbeitendesStoffesu¨bergangenwerden.Dasselbegiltfu¨rAufgabenmitStern.
Dankenwollenwiralldenen,dieunsbeiderHerstellungdiesesBuchesun-
terstu¨tzt haben. An erster Stelle stehen der Verlag Vieweg und insbesondere
FrauSchmickler-Hirzebruch,diediesesProjektermo¨glichtundunterstu¨tztha-
ben.ProfessorGerdFischergiltbesondererDankfu¨rdiezahlreichenGespra¨che
unddieHilfebeiDetails.StefanLachehatunsnichtnurdurchdasMathematik-
studiumalsKommilitoneunddanachalsFreundbegleitet,sondernauchfru¨here
VersionendiesesBuchessehrsorgfa¨ltigKorrekturgelesenundunsmitzahlrei-
VI
chen Verbesserungshinweisen unterstu¨tzt. Jens Piontkowski hat Teile des Ma-
nuskriptesgewissenhaftdurchgesehenundwertvolleTippsgegeben.VolkerSo-
linushatnachschierendlosenNo¨rgeleienvonunsererSeitedieBilderperfekt
erstellt.OhnediesePersonenwa¨redasganzeProjektsichernichtzueinemguten
Endegelangt.
Du¨sseldorf,imNovember1997 HannesStoppelundBirgitGriese
Vorwort zur 9. Auflage
WenigeZeitnachderachtenAuflagegibteswiedereineneueAuflage.DieZwi-
schenzeitwurdeumfangreichgenutzt.Esgibtnunbeinahe25neueAufgaben.
ManchesindzuThemenblo¨ckenzusammengefasst,wiebeispielsweisealgebrai-
scheKurven,Mo¨biusTransformationoderCodierungundKryptographie.
ImLaufederZeithabensichzudemvieleErga¨nzungsaufgabengesammelt,
zwischen denen in einigen Fa¨llen thematische Verbindungen existieren. Um
den U¨berblick zu behalten, wurde am Ende des Buches ein Verzeichnis der
Erga¨nzungsaufgabenmitdenbehandeltenThemeneingefu¨gt.
IndieserAuflagesinderstmaligsa¨mtlicheAufgabeninklusiveallihrerLo¨sun-
genkomplettenthalten.BisherigeAufgabenundLo¨sungenwurdenu¨berarbeitet
undggf.erga¨nzt,dasLiteraturverzeichniseingeschlossen.Hierfu¨rbedankenwir
unsauchbeiunserenLeserinnenundLesernfu¨rHinweise.
Bedanken mo¨chten wir uns insbesondere bei Dennis Jaschek, der Ideen fu¨r
neueAufgabenhatteundinvielenGespra¨chenneueBlickweisenaufalteAuf-
gabenermo¨glichthat.
Wirwu¨nschenvielErfolgundFreudemitU¨bungenderLinearenAlgebraund
hoffen,dasssiedieScho¨nheitderMathematiksichtbarmachen.
Gladbeck,imAugust2016 HannesStoppelundBirgitGriese
Inhaltsverzeichnis
I Aufgaben 1
0 LineareGleichungssysteme 3
0.3 EbenenundGeradenimStandardraumR3 . . . . . . . . . . . . 3
0.4 DasEliminationsverfahrenvonGAUSS. . . . . . . . . . . . . . 4
Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.5 GeradenundQuadratischeKurvenimR2 . . . . . . . . . . . . 7
1 Grundbegriffe 11
1.1 MengenundAbbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Erga¨nzungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Ringe,Ko¨rperundPolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Vektorra¨ume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Erga¨nzungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 BasisundDimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6 SummenvonVektorra¨umen∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Erga¨nzungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 LineareAbbildungen 26
2.1 BeispieleundDefinitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Bild,FasernundKern,Quotientenvektorra¨ume∗ . . . . . . . . . 27
Erga¨nzungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 LineareGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 LineareAbbildungenundMatrizen. . . . . . . . . . . . . . . . 30
Erga¨nzungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5 MultiplikationvonMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6 Koordinatentransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.7 ElementarmatrizenundMatrizenumformungen . . . . . . . . . 35
Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Determinanten 39
3.1 BeispieleundDefinitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 ExistenzundEindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
VIII
3.3 Minoren∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 DeterminanteeinesEndomorphismusundOrientierung∗ . . . . 46
Erga¨nzungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4 Eigenwerte 47
4.1 BeispieleundDefinitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Erga¨nzungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2 DascharakteristischePolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3 Diagonalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Erga¨nzungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4 Trigonalisierung∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.5 PotenzeneinesEndomorphismus∗ . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.6 DieJordanscheNormalform∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Erga¨nzungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5 Euklidischeundunita¨reVektorra¨ume 56
5.1 DaskanonischeSkalarproduktimRn. . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2 DasVektorproduktimR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.3 DaskanonischeSkalarproduktimCn. . . . . . . . . . . . . . . 61
5.4 BilinearformenundSesquilinearformen . . . . . . . . . . . . . 61
Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.5 Orthogonaleundunita¨reEndomorphismen. . . . . . . . . . . . 67
Erga¨nzungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.6 SelbstadjungierteEndomorphismen∗ . . . . . . . . . . . . . . . 68
Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.7 Hauptachsentransformation∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6 Dualita¨t∗ 72
6.1 Dualra¨ume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.2 Dualita¨tundSkalarprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.3 Tensorprodukte∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.4 MultilineareAlgebra∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
IX
II Lo¨sungen 83
0 LineareGleichungssysteme 85
0.3 EbenenundGeradenimStandardraumR3 . . . . . . . . . . . . 85
0.4 DasEliminationsverfahrenvonGAUSS. . . . . . . . . . . . . . 88
Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
0.5 GeradenundQuadratischeKurvenimR2 . . . . . . . . . . . . 92
1 Grundbegriffe 98
1.1 MengenundAbbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Erga¨nzungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
1.2 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
1.3 Ringe,Ko¨rperundPolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
1.4 Vektorra¨ume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Erga¨nzungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
1.5 BasisundDimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
1.6 SummenvonVektorra¨umen∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Erga¨nzungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
2 LineareAbbildungen 146
2.1 BeispieleundDefinitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
2.2 Bild,FasernundKern,Quotientenvektorra¨ume∗ . . . . . . . . . 149
Erga¨nzungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
2.3 LineareGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
2.4 LineareAbbildungenundMatrizen. . . . . . . . . . . . . . . . 157
Erga¨nzungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
2.5 MultiplikationvonMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
2.6 Koordinatentransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
2.7 ElementarmatrizenundMatrizenumformungen . . . . . . . . . 176
Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
3 Determinanten 184
3.1 BeispieleundDefinitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
3.2 ExistenzundEindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
3.3 Minoren∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Erga¨nzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215