Tutorium Mathe für Biologen: Von Studenten für Studenten

292 Pages·2014·5.539 MB·German

by  Lorenz Adlung, Christian Hopp, Alexandra Köthe, Niko Schnellbächer, Oskar Staufer (auth.)

Lorenz Adlung
Christian Hopp
Alexandra Köthe
Niko Schnellbächer
Oskar Staufer
Tutorium
Mathe
für Biologen
Von Studenten für Studenten
Tutorium Mathe für Biologen
Lorenz Adlung · Christian Hopp
Alexandra Köthe · Niko Schnellbächer
Oskar Staufer
Tutorium Mathe für
Biologen
Von Studenten für Studenten
Lorenz Adlung Oskar Staufer
Dossenheim, Deutschland Mannheim, Deutschland
Christian Hopp
Alexandra Köthe
Niko Schnellbächer
Heidelberg, Deutschland
ISBN 978-3-642-37785-3 ISBN 978-3-642-37786-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-37786-0
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Planung und Lektorat: Kaja Rosenbaum, Dr. Meike Barth
Redaktion: Dr. Birgit Jarosch
Einbandentwurf: deblik, Berlin
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Vorwort
Die modernen Biowissenschaften sind weit gefächert. Sie reichen von der klassischen
Biologie um die Artenwelt in Botanik und Zoologie bis hin zur synthetischen Biologie,
in der biologische Maschinen konstruiert werden. Mit dieser Vielfalt in der Forschungs-
landschaft entsteht auch eine immense Interdisziplinarität, die den Biowissenschaften
in all ihren hochspezialisierten Zweigen mittlerweile innewohnt. Viele Fachrichtungen
tummeln sich auf den Gebieten, wobei eine darunter ganz prominent vertreten ist: die
Mathematik. Aber warum ist das so? Wozu benötigen Biowissenschaftler die Mathema-
tik? Hat ein Biologe nicht mehr Spaß daran Gene auszuschalten, Proteine zum Leuchten
zu bringen oder ein Bakterium, das Krebszellen frisst, zu designen? Das sture Rumrech-
nen mit Buchstaben passt nun so gar nicht in das Klischee eines Otto Normalbiologen.
Und trotzdem: Die riesigen Datenmengen, die mithilfe moderner Methoden erzeugt
werden, wollen ausgewertet und analysiert werden. Nur durch Anstarren ist es schwie-
rig zu erkennen, ob die Unterschiede zwischen Messreihen zufällig oder signifikant sind.
Auch fällt es schwer, durch einfache Überlegungen vorherzusagen, welchen Einfluss ein
gewisses Protein auf einen Signalweg hat, erst recht, wenn es eins von mehreren Hundert
interagierenden Molekülen ist. Probleme wie diese lassen sich in Mathematik übersetzen
und dann systematisch lösen. Bereits der griechische Philosoph Pythagoras von Samos
(etwa 580 bis 500 v. Chr.) postulierte, dass der Natur und allen natürlichen Prozessen
mathematische Gesetzmäßigkeiten zugrunde liegen und wir deshalb viele Dinge in Zah-
len ausdrücken und beschreiben können. Deshalb ist die Mathematik ein integraler
Bestandteil der universitären Ausbildung – speziell bei den Biowissenschaftlern.
Dieses Buch ist von Studenten für Studenten geschrieben. Warum? Die einfache Ant-
wort ist, dass wir gerade erst erfahren (haben), was Biologen an Mathe wirklich brau-
chen. Wir wissen, dass das Bestehen der Klausur höchste Priorität genießt. Der Inhalt
dieses Buches deckt den Lehrplan für Mathematik I im Bachelor-Studium Biologie ab.
Eine einleitende „Motivation“ zu Beginn jedes Kapitels erklärt, welche Problemstel-
lungen im jeweiligen Kapitel behandelt werden und warum diese für Biologen relevant
sind. Dahinter folgt ein Abschnitt „Wichtiges in Kürze“, der wesentliche Definitionen,
Terme und Gleichungen zusammenfasst, die benötigt werden, um die Matheprüfung zu
bestehen. Zentrale Punkte werden dafür zudem in separaten blau eingefärbten Boxen
wiederholt und zusammengefasst oder im Textverlauf hervorgehoben. Die behandelten
V
VI Vorwort
Themen werden anhand aktueller, anwendungsbezogener Beispiele aus den modernen
Biowissenschaften eingeführt. Wir haben also bewusst auf die sonst sehr beliebte Fibo-
nacci-Folge verzichtet, die die Entwicklung einer Hasenpopulation modelliert. Wer nicht
ganz auf die Häschen verzichten mag, kann einen Blick in den Anhang werfen.
Da einige von uns selbst noch vor Kurzem Hörer einer „Mathe für Biologen“-Vor-
lesung waren, haben wir den Anspruch, euch möglichst einfach und anwendungsbezo-
gen die wichtigsten Aspekte der Mathe für Biologen näher zu bringen. Die theoretischen
Hintergründe sollen dabei zwar korrekt, allerdings auch so knapp wie möglich gehalten
werden. Außerdem wurde vor einiger Zeit ein ganz nützliches Werkzeug erfunden, des-
sen sich auch der Otto Normalbiologe bedienen kann: der Computer. Zwar sollte man
wissen, was Mittelwert und Median sind und in welcher Situation welcher davon zu
verwenden ist. Aber warum sollte man gefühlte Ewigkeiten auf einem Taschenrechner
herumtippen, wenn man die Berechnung auch einfach von seinem Computer ausführen
lassen kann? Dieses Buch behandelt einige aktuelle Forschungsarbeiten und bietet die
Möglichkeit, Originalquellen und Daten online einzusehen, sowie Aufgaben mit kom-
mentierten Skripten am Computer nachzurechnen.
Am Ende jedes Kapitels findet ihr zusätzlich Verständnis- und Anwendungs-
aufgaben oder Übungsbeispiele, deren Lösungen online unter www.springer.
com/978-3-642-37785-3 einsichtig sind. Dort findet ihr auch die Daten und Softwareh-
ilfen. Im Glossar am Ende des Buches finden sich Erklärungen mathematischer Begriffe.
Euch gefällt unser Buch? Dann bleibt auf dem Laufenden unter:
http://www.facebook.com/haeschenfreieMathe.
Auf diesem Weg möchten wir uns für all die Unterstützung bedanken, die dieses Pro-
jekt erst möglich gemacht hat. Da sei an erster Stelle Frau Kaja Rosenbaum-Feldbrügge
von SpringerSpektrum genannt, außerdem Frau Dr. Meike Barth, Merlet Behncke-
Braunbeck, Marika Ziesack und Willem van Dijk. Besonderer Dank gilt zudem Herrn
Dr. Andreas Rüdinger für seine Anmerkungen zum Manuskript, die immer pragmatisch,
konstruktiv und wohlbedacht waren. Nicht zuletzt möchten wir den zahlreichen studen-
tischen Testlesern für all ihre hilfreichen Kommentare und Fragen danken, sowie den
Fachschaften der Biologie an Universitäten in ganz Deutschland, die uns erst ermöglich-
ten, die Inhalte wirklich an die Bedürfnisse der Studierenden anzupassen.
Inhaltsverzeichnis
1 Funktionen, Differenziale und Integrale ................................. 1
1.1 Motivation ....................................................... 1
1.2 Funktionen ...................................................... 4
1.2.1 Stetigkeit .................................................. 8
1.2.2 Mathematisch relevante Bausteine ............................ 8
1.2.3 Biologisch relevante Funktionen ............................. 16
1.3 Folgen, Reihen und Konvergenz .................................... 24
1.3.1 Folgen und ihre Konvergenzkriterien ......................... 24
1.3.2 Reihen und ihre Konvergenzkriterien ......................... 26
1.4 Differenzialrechnung .............................................. 28
1.4.1 Wozu brauche ich denn den Anstieg einer Kurve? .............. 28
1.4.2 Der Weg zum Differenzial ................................... 29
1.4.3 Zweite Ableitung und Extrema ............................... 33
1.4.4 Ableitungsregeln ........................................... 34
1.5 Integralrechnung ................................................. 39
1.5.1 Wer braucht schon Flächen unter Kurven? .................... 39
1.5.2 Mit Rechtecken zum Integral ................................ 40
1.5.3 Der Fundamentalsatz der Analysis ............................ 41
1.5.4 Integrationsregeln .......................................... 46
1.6 Aufgaben ........................................................ 48
2 Beschreibende Statistik ................................................ 49
2.1 Motivation ....................................................... 49
2.1.1 Grundbegriffe ............................................. 50
2.2 Lage- und Streuungsmaße ......................................... 51
2.2.1 Lagemaße ................................................. 55
2.2.2 Streuungsmaße ............................................ 59
2.3 Kenngrößen für den Zusammenhang von Merkmalen ................. 63
2.3.1 Korrelation ................................................ 63
2.3.2 Lineare Regression ......................................... 67
2.4 Aufgaben ........................................................ 68
VII
VIII Inhaltsverzeichnis
3 Wahrscheinlichkeitsrechnung .......................................... 71
3.1 Motivation ....................................................... 71
3.2 Kombinatorik .................................................... 73
3.3 Ergebnisse und Ereignisse .......................................... 75
3.4 Erwartungswert einer Zufallsvariablen ............................... 78
3.4.1 Linearität des Erwartungswertes .............................. 80
3.5 Varianz und Standardabweichung .................................. 81
3.5.1 Eigenschaften der Varianz ................................... 82
3.6 Stochastische Unabhängigkeit ...................................... 83
3.7 Bedingte Wahrscheinlichkeiten ..................................... 83
3.8 Verteilungen ..................................................... 90
3.8.1 Diskrete Verteilungen ...................................... 91
3.8.2 Kontinuierliche Verteilungen ................................ 96
3.9 Zentraler Grenzwertsatz ........................................... 100
3.10 Aufgaben ....................................................... 101
4 Schließende Statistik .................................................. 103
4.1 Motivation ....................................................... 103
4.2 Realisierung von Zufallsvariablen ................................... 105
4.2.1 Diskrete Zufallsvariablen .................................... 106
4.2.2 Stetige Zufallsvariablen ..................................... 107
4.3 Schätzer ......................................................... 109
4.3.1 Schätzung des wahren Mittelwertes aus einer Stichprobe ........ 109
4.3.2 Schätzung der wahren Varianz aus einer Stichprobe ............ 111
4.4 Testen von Hypothesen ............................................ 112
4.4.1 Hypothesen ............................................... 113
4.4.2 p–Wert ................................................... 116
4.4.3 Konfidenzintervall ......................................... 118
4.5 Statistische Tests .................................................. 121
4.5.1 Ziel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.5.2 Ablauf .................................................... 121
4.5.3 Voraussetzungen ........................................... 122
4.5.4 Fehler .................................................... 123
4.5.5 t-Test ..................................................... 124
4.5.6 Z–Test .................................................... 126
2
4.5.7 χ –Test ................................................... 129
4.6 Aufgaben ........................................................ 130
5 Lineare Gleichungssysteme ............................................ 133
5.1 Motivation ....................................................... 134
5.2 Lineare Gleichungssysteme ........................................ 136
5.2.1 Konzentrationsbestimmung ................................. 136
5.2.2 Modellierung mit Rekursionsgleichungen ..................... 139
Inhaltsverzeichnis IX
5.3 Matrizen und Vektoren ............................................ 140
5.3.1 Vektoren .................................................. 141
5.3.2 Rechnen mit Vektoren ...................................... 142
5.3.3 Matrizen .................................................. 144
5.3.4 Rechnen mit Matrizen ...................................... 146
5.3.5 Vektor–Matrix–Multiplikation ............................... 147
5.3.6 Matrixmultiplikation ....................................... 148
5.4 Lösen von LGS ................................................... 150
5.4.1 Gaußverfahren ............................................ 152
5.4.2 Bestimmung von Inversen ................................... 156
5.4.3 LGS mit der inversen Matrix lösen ........................... 158
5.4.4 Determinanten ............................................ 159
2×2
5.4.5 Inverse einer –Matrix .................................. 161
5.4.6 Ausblick .................................................. 162
5.5 Lineare Abbildungen .............................................. 163
5.5.1 Vektorräume .............................................. 163
5.5.2 Matrizen als lineare Abbildungen ............................ 166
5.5.3 Eigenwerte und Eigenvektoren ............................... 167
5.6 Datenfitten von Polynomfunktionen ................................ 175
5.6.1 Minimierung der Fehlerquadrate ............................. 175
5.7 Aufgaben ........................................................ 178
6 Modellierung mit gewöhnlichen Differenzialgleichungen ................. 181
6.1 Motivation ....................................................... 182
6.2 Mathematische Modellierung in den Biowissenschaften ................ 186
6.2.1 Was ist ein Modell? ......................................... 186
6.2.2 Warum lohnt es sich, mathematische Modelle zu formulieren? ... 188
6.2.3 Modellierungsprozess. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.2.4 Wann kann man gewöhnliche Differenzialgleichungen
zum Modellieren verwenden? ................................ 190
6.3 Modellierung biochemischer Prozesse ............................... 193
6.3.1 Die Grundprinzipien für das Aufstellen einer gewöhnlichen
Differenzialgleichung ....................................... 193
6.3.2 Massenwirkungsgesetz ...................................... 198
6.3.3 Enzymkinetik .............................................. 200
6.3.4 Modellierung von Signalwegen ............................... 208
6.4 Einführung in die Theorie gewöhnlicher Differenzialgleichungen ....... 211
6.4.1 Lösbarkeit von Differenzialgleichungen ....................... 212
6.4.2 Separation der Variablen .................................... 214
6.4.3 Richtungsfeld .............................................. 220
6.4.4 Gleichgewichtspunkte ...................................... 222
6.4.5 Stabilität nichtlinearer Differenzialgleichungen ................. 226
6.4.6 Phasendiagramm .......................................... 228
X Inhaltsverzeichnis
6.5 Systeme gewöhnlicher Differenzialgleichungen ....................... 230
6.5.1 Lineare Systeme von gewöhnlichen Differenzialgleichungen ..... 232
6.5.2 Stabilität von Gleichgewichtspunkten bei linearen Systemen ..... 246
6.5.3 Nichtlineare Systeme von gewöhnlichen Differenzialgleichungen . 250
6.5.4 Phasendiagramme .......................................... 262
6.6 Aufgaben ........................................................ 273
Glossar .................................................................. 275
Anhang für Häschenfreunde .............................................. 279
Literaturverzeichnis ...................................................... 281
Sachverzeichnis .......................................................... 283