Turunan-Turunan Dari Fungsi-Fungsi Analitik ABSTRAK PENDAHULUAN

111 Pages·2012·1.39 MB·English

by  Unregistered Retail Customer

Turunan‐Turunan Dari Fungsi‐Fungsi Analitik 

Budiono 
Prodi Statistika Terapan Fakultas MIPA 
Universitas Gajayana Malang 

ABSTRAK 

Pada tulisan ini akan ditunjukkan bahwa bila fungsi f analitik pada suatu titik, maka semua 
turunan − turunan dari f pada titik tersebut ada dan analitik. Suatu fungsi dikatakan analitik 
pada  suatu  titik  ,  bila  turunan  dari  fungsi  tersebut  ada  pada  titik  tersebut  dan  pada 
lingkungannya. 

DERIVATIVES OF ANALYTIC FUNCTIONS 

ABSTRACT 
We are new ready to prove that if a function is analytic at a point, its derivations of all orders 
exist at that point and are themselves analytic there. A function  f  of  the complex variable  z  
is analytic at a point zo  if its derivative exists not only at  zo    but  also at each point  z  in some 
neighborhood of  zo    .  

PENDAHULUAN  definisi  R,  karena  titik  tadi 

mempunyai lingkungan. Jadi biasanya 
Suatu  fungsi  kompleks  f(z) 
fungsi  f  terdefinisi  pada  suatu 
dikatakan  analitik  pada  z ,  bila 
0
domain,  sehingga  bila  suatu  fungsi 
turunan dari f ada pada z  dan juga 
0
terdefinisi  pada  suatu  cakram 
pada  lengkungan  dari  z .  Jadi  bila  f 
0
tertutup, ⏐z⏐≤ 1 misalnya, maka yang 
analitik pada z , maka f analitik pada 
0
dimaksud  disini  adalah  bahwa  f 
setiap  titik  dalam  lengkungan  tadi. 
analitik  pada  suatu  domain  yang 
Suatu fungsi dikatakan analitik pada 
mengandung cakram tersebut (Snider, 
daerah R, bila f analitik  pada setiap 
2002). 
titik dalam R, kadang kadang disebut 
Pada  bagian  ini  akan 
holomorphic (Churchill,1984). 
ditunjukkan  bahwa  bila  fungsi  f 
Bila z analitik pada daerah R, 
analitik pada suatu titik, maka semua 
maka  setiap  titik  z  dalam  R  harus 
turunan‐turunan  dari  f  pada  titik 
merupakan  titik  dalam  dari  domain 

Dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2006 dengan tema “
Trend Penelitian dan Pembelajaran Matematika di Era ICT “ yang diselenggarakan pada tanggal
24 Nopember 2006
Budiono
tersebut  ada  dan  analitik.  Misal  f  ⎡ 1 1 ⎤
∫ - f(s)ds
⎢ ⎥
⎣(s− z−Δz)(s− z) (s-z)2⎦
analitik dalam dan pada  kontour C  c  
f(s)ds
=Δz ∫
yang  sederhana  dan  tertutup  dan  z 
(s−z−Δz)(s−z)2
titik  didalam  C.  Misal  S  titik  −  titik 
Misalkan  M  adalah  nilai  maksimum 
pada  C  dan  dengan  menggunakan 
dari ⏐f(s)⏐ pada c dan L panjang dari 
rumus integral cauchy didapat : 
C. Karena ⏐s‐z⏐≥ d dan ⏐s‐z‐Δz⏐ ≥ ⏐s‐
1 f(s) ds
f(z)= ∫   ........(1)
z⏐−⏐Δz⏐≥d−⏐Δz⏐,  dapat 
2πi s−z ⏐ Δz⏐ ML
c
Akan dibuktikan bahwa turunan dari  f(s) ds (d-⏐ Δz⏐ d2
Δz∫ ⏐ <
f pada z ada dan bentuk integralnya:  (s-z-Δz)(s−z)2
c
1 f(s) ds
f'(z) = ∫   ........(2)  dan bentuk terakhir ini akan menuju 
2πi (s−z)2
c
Disini  (2)  didapat  dengan  0, bila Δz →0. Jadi 
f(z+Δz) - f(z) 1 f(s)ds
lim = ∫
menggunakan  integral  dari  (1)    Δz→o Δz 2Πi (s−z)2
c
terhadap z. Hal ini dapat dibuktikan  dan (2) terbukti. Bila digunakan cara 
sebagai berikut:  yang sama pada (2), maka didapat : 
 f(z+Δz) - f(z) = 1 ∫ ⎜⎛ 1 − 1 ⎟⎞  f''(z) = 1 ∫ f(s)ds ............(3)
Δz 2Πic ⎝s−z−Δz s−z⎠ Πi (s−z)3
    c
f(s)
ds
 Δz Lebih tepatnya bila 0<⏐Δz ⏐<d 
1 f(s)ds
  = ∫ f1(z+Δz) - f1(z)
2Πi (s−z−Δz)(s−z) =
c
Δz
bila 0<⏐Δz⏐<d, d adalah jarak terdekat   
1
∫ ⎡ 1 1 ⎤f(s)
− ds
dari z pada titik s pada c. Untuk itu  2Πi ⎢ ⎥
c ⎣(s−z−Δz)2 (s−z)2⎦ Δz
digunakan sifat f adalah kontinu pada   
1 2(s−z)−Δz
= ∫ f(s)ds
c  untuk  menunjukkan  bahwa  nilai    2Πi (s−z−Δ  z)2 (s-z)2
c
integral dikarenakan  menuju ke  dan karena f kontinu pada c, nilai dari 
1 f(s)
∫ dz, bila Δz →0  integral  
2Πi (s−z)2

Hal ini ditunjukkan sebagai berikut:  ⎡ 2(s−z)−Δz 2 ⎤
∫ − f(s)ds
  ⎢ ⎥
⎣(s−z−Δz)2(s−z)2 (s−z)2⎦
c
  3(s−z)Δz 2(Δz)2
= ∫ f(s)ds
(s−z−Δz)2(s−z)3
  c
252 SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2006
M – 9 : Turunan-Turunan dari Fungsi-Fungsi Periodik
akan menuju 0, bila Δz menuju 0  Bila  f  analitik  pada  D,  maka 
Persamaan  (3)  menunjukkan  adanya  turunan  parsial  yang  pertamanya 
turunan kedua dari f pada setiap titik  akan  memenuhi  persamaan  Conechs 
z didalam c. Jadi bila f analitik pada  Riemann : 
suatu titik, maka f1 juga analitik para  U =V   U  = ‐ V  ……………. (2) 
x y y x
titik tersebut. Misal  w= f(z) = (1+z)(1‐ Bila  kedua  persamaan  diturunkan 
z)‐1  , maka f’(z) = [(1‐z)(1)‐(1+z)(‐1)](1‐ terhadap variabel x, didapat : 
z)‐2 = 2(1‐z)‐2, fungsi tersebut analitik  U =V     U =‐V  ………. (3) 
xx yx yx xx
dimana‐mana kecuali di z=1, dimana  Demikian  pula  penurunan  terhadap 
turunan  tersebut  tidak  ada  ;  yakni  variabel y memberikan  
fungsi tersebut tidak analitik di z=1.  U  = V     U  = ‐ V
xy yy yy xy
Didalam aerodinamika dan mekanika  Menurut  teorema‐teorema  pada 
fluida,  fungsi  U(x,y)  dan  V(x,y)  kalkulus  lanjutan,  bila  turunan‐
didalam f(z)=U(x,y) + iV(x,y) , dimana  turunan parsial kontinu, maka hal ini 
f(z)  analitik  ,  berturut  –turut  akan menjamin U  = U  dan V =V . 
yx xy yx xy
dinamakan  potensial  kecepatan  dan  Jadi  dari  persamaan  (3)  dan  (4)   
fungsi arus.  didapat : 
Fungsi  analitik  lain  adalah  fungsi  U (x,y)+U (x,y)=0 dan  
xx yy
harmonik  .Suatu  fungsi  riil  h(x,y)  V (x,y) + V (x,y) =0 
xx yy
disebut harmonik pada domain pada  Jadi  bila  fungsi  f(z)=U(x,y)+  i  V(x,y) 
bidang xy, bila pada setiap titik (x,y)  analitik pada domain D, fungsi‐fungsi 
pada domain tersebut h mempunyai  komponen U dan V adalah harmonik 
turunan  parsial  yang  kontinu  untuk  pada D (Kaplan, 1984) 
tingkat  pertama  dan  kedua  serta   
memenuhi  persamaan  deferensial   
parsial Laplace.   
H (x,y) + h (x,y) = 0 ………. (1)   
xx yy
Matematika 253
Budiono
TEOREMA‐ TEOREMA  seperti pada saat (2) bentuk menjadi 
  (3) dan seterusnya. 
Teorema A. (Churchill, 1984)   
Bila fungsi f analitik pada suatu titik,  Teorema B. 
maka  semua  turunan  −  turunannya  Misal  C  adalah  kontour  sederhana 
untuk  tiap  tingkat  adalah  analitik  yang tertutup dan C (j=1,2,…n) adalah 
j
pada titik tersebut.  sejumlah  hingga  kontour‐kontour 
Bukti :  sederhana  tertutup  didalam  C, 
Bila  fungsi  f(z)  =  u(x,y)  +  i  ν(x,y)  sehingga  daerah‐daerah  didalam  C 
j
adalah  analitik  pada  titik  z=  (x,y),  masing‐masing  tidak  mempunyai 
maka  karena  f’  analitik,  maka  f’  titik‐titik yang sama. Misal R daerah 
kontinu pada titik tersebut.  tertentu  yang  terdiri  dari  titik‐titik 
Kemudian  karena  f’(z)  =  u   (xy)  +     d   a  l a  m   C. C – B adalah batas dari R 
x , j
iv (x,y) = v (x,y) – iu (x,y)  yang terdiri dari C dan setiap Contour 
x y y
Maka  didapat  turunan‐turunan  C,  sehingga  titik  dalam  R  terletak 
j
parsial dari u dan v untuk tiap tingkat  disebelah kiri R. Bila f analitik pada R, 
kontinu pada titik dimana f analitik.  maka ∫ f(z) dz = 0………. (5) 
c
fʺ(z)  =  u  (x,y)  +  i v (x,y)  =  
xx xx 
Bukti : 
 v   (x,y)  –  iu (x,y)   ,  dan 
yx yx                 
Misal  path  poligonal  L   terdiri  dari 
1
seterusnya. 
sejumlah  berhingga  segmen  garis 
Bila f (0) (z) adalah f(z) dan 0! = 1, maka 
yang  dihubungkan  ujung‐ujungnya 
dapat digunakan induksi matematika 
yang  menghubungkan  kontour  C 
untuk membuktikan rumus 
dengan kontour dalam C . Selain itu 
1
n f(s) ds
f (n)(z) = !∫ , (n =0,1,2,.(4)B
2ηi (s-z)n=1 misal  path  poligonal  L2 
c
menghubungkan  C   dengan  C   dan 
ila n = 0, maka didapat rumus Integral  1 2
seterusnya  terbukti  L   yang 
Conechs.  Bila  rumus  benar  untuk,  n+1
menghubungkan C  dengan C, maka 
bilangan  bulat  tidak  negatif  n=m,  n
dapat dibentuk dua kontour tertutup  
maka dapat dilanjutkan untuk n=m +1 
254 SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2006
M – 9 : Turunan-Turunan dari Fungsi-Fungsi Periodik
yang  sederhana  Γ ,  Γ   yang  masing‐ paling  sedikit  1  titik  dalam 
1 2
masing  mengandung  path  poligonal  lingkungan z      

L  serta  potongan‐potongan  dari  C     Ψ    ⏐f(z)⏐>⏐f(z ⏐ ………….. (7) 
j 0
dan  C  serta  masing‐masing  Misalkan  ⏐f(z)  ⏐mempunyai  nilai 
j
berorientasi sehingga titik‐titik dalam  maksimum  pada  titik  z   dalam  D, 
0
Γ   dan  Γ   berada  disebelah  kiri.  maka ⏐f(z) ⏐<⏐ f(z ) ⏐ untuk setiap z 
1 2 0
Karena integral pada L dilakukan dua  dalam  lingkungan  ⏐z‐z ⏐<  ε  yang 
j 0
kali  dalam  arah  berlawanan,  maka  termasuk  dalam  D.  Tetap  hal  ini 
jika dijumlahkan sama dengan 0.  bertentangan  dengan  (7),  karena  f 
Teorema C. (Churchill, 1984)   analitik  dan  tidak  konstan  dalam 
Bila f analitik dan tidak konstan pada  lingkungan tersebut. Jadi terbukti.Bila 
domain,  maka  ⏐  f(z)  ⏐  tidak  fungsi f analitik pada tiap titik dalam 
mempunyai  nilai  maksimum  dalam  suatu  daerah  yang  tertutup  dan 

domain  terseΨbut.  Jadi  tidak  ada  z   terbatas, maka f  kontunu  pada  R. 
0
dalam domain tersebut⏐f(z)⏐<⎥f(z ) ⏐,   Bila  modulus ⎥f(z)⎥mempunyai nilai 
0
z dalam domain……(6)  maksimum  dalam    R,  maka  ada 
Bukti :  bilangan  M≥0  sehingga  f(z)  ≤M  , 
Untuk  membuktikan  ini  diperlukan  untuk setiap z anggota R. Tetapi bila f 
dalil bantu yang berbunyi : Bila f tidak  kontinu pada daerah R yang tertutup  
konstan pada domain D, maka fungsi  dan terbatas  serta f analitik dalam R 
tersebut  tidak  konstan  pada  dan bukan kontanta, maka modulus⎥ 
lingkungan⏐z‐z ⏐< ∈ dalam D.  f(z)⎥  mencapai  nilai  maksimumnya 
0
Jika f konstan pada ⏐z‐z ⏐ < ∈ atau  pada  batas‐batas  R  dan  bukan  pada 
0
bila fungsi f analitik dan tidak konstan  titik dalamnya. 
pada  lingkungan  dari  z ,  maka  ada 
0
Matematika 255
Budiono
DAFTAR PUSTAKA⏐ 

Churchill. R.V., Brohen, J.W., 1984 Complex Variables and Applications, Mc 
Graw – Hill, Japan, 111−118. 
Koplan, W., 1984, Advanced Calculus, 3d ed, Addison – Wesley Publishing 
Company, Inc. 
Krezyg..J.G., 1971, Problem in Complex Variable Theory, american Elservier  
Publishing Company, Inc., New York. 
Saff,E.,Snider, A.D, 2002, Fundamentals of Complex Analysis, Third  Edition, 
Prentice Hall. 
256 SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2006
Dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2006 dengan tema “
Trend Penelitian dan Pembelajaran Matematika di Era ICT “ yang diselenggarakan pada tanggal
24 Nopember 2006
Indah EW, Robert W

258 SEMNAS Matamatika dan Pend. Matematika 2006
M – 10 : Fully Prime and Fully Coprime Modules

Matematika 259
Indah EW, Robert W

260 SEMNAS Matamatika dan Pend. Matematika 2006