Topological Amplitudes and the String Effective Action

216 Pages·2014·3.19 MB·French

Topological Amplitudes and the
String Effective Action
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Ahmad Zein Assi
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: Ph.D. Dissertation
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X Palaiseau, 2013
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a

Amplitudes Topologiques et l’Action Effective de la Th´eorie des Cordes
Th`ese de doctorat pr´epar´ee par
Ahmad Zein Assi ∗
en vue d’obtenir le grade de
Docteur De L’E´cole Polytechnique
Sp´ecialit´e : Physique Th´eorique
Soutenue le 11 D´ecembre 2013 devant la commission d’examen compos´ee de
Ignatios Antoniadis Directeur de th`ese
Emilian Dudas Pr´esident du jury
Albrecht Klemm Examinateur
Jose Francisco Morales Morera Examinateur
Kumar Shiv Narain Examinateur
Nikita Nekrasov Rapporteur
Boris Pioline Rapporteur
∗
Centre de Physique Th´eorique - UMR 7644 D´epartement de Physique - Division Th´eorie
Ecole Polytechnique CERN
Bat. 6, RDC, 91128 Palaiseau Cedex, France CH-1211 Gen`eve 23, Suisse
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Fax [phone] Fax [phone]
www.cpht.polytechnique.fr wwwth.cern.ch
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(cid:15)
(cid:9)
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(cid:10)
To my loved ones

Contents
. Remerciements xi
. R´esum´e xiii
. Abstract xv
. Summary xvii
I. Introduction 1
1. Elements of String Theory and Conformal Field Theory 3
1.1. The Bosonic String . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Superstring Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3. Compactification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4. Dualities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
II. N=2 Topological String Theory and Gauge Theory: an Overview 51
2. Topological Field Theories 55
2.1. Generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2. Chern-Simons Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3. Cohomological Field Theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3. Topological Sigma Models 61
3.1. = (2,2) Supersymmetric Sigma Models . . . . . . . . . . . . . . 61
N
3.2. Topological Twist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3. Type-A Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4. Type-B Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4. Topological String Theory 69
4.1. Coupling to Topological Gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2. Holomorphic Anomaly Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
vii
Contents
5. Topological Amplitudes and Higher Derivative Couplings 75
5.1. TST Partition Function from Type II Amplitudes . . . . . . . . . . 75
5.2. Effective Field Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.3. Heterotic Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6. N=2 Gauge Theory from String Theory 85
6.1. D-brane bound states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2. ADHM instantons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.3. String theory realisation of ADHM instantons . . . . . . . . . . . . 90
6.4. N=2 gauge theory in the Ω-background . . . . . . . . . . . . . . . . 101
III. Refined Amplitudes as Generalized F-terms 105
7. Generalised Supersymmetric Effective Couplings 111
8. Heterotic Realisation of the Refinement 113
8.1. Setup and Generating Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.2. Evaluation of the Couplings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.3. Field Theory Limit and the Nekrasov Partition Function . . . . . . 119
8.4. Radius Deformations and the Nekrasov-Okounkov Formula . . . . . 121
9. Type I Refined Amplitudes 123
9.1. Vertex Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.2. Amplitude and Spin-Structure Sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.3. Path Integral Evaluation of The Amplitudes . . . . . . . . . . . . . 131
10.Deformed ADHM Instantons and the Topological String 139
10.1.String Theory Setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
10.2.Refined Instanton Effective Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10.2.1. Vertex Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10.2.2. D D disc diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5 5
−
10.2.3. D D disc diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5 9
−
10.2.4. ADHM Action and Nekrasov Partition Function . . . . . . . 153
10.3.Channel Factorisation and Auxiliary Fields . . . . . . . . . . . . . . 154
10.4.Interpretation and the Refined Topological String . . . . . . . . . . 158
IV. Towards a Worldsheet Definition of the Refined Topological String 161
11.Concluding Remarks 163
Appendix A. Spinors, Gamma Matrices 169
viii
Contents
Appendix B. OPEs and CFT Correlators 171
Appendix C. Modular forms 173
C.1. Theta Functions and Prime Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
C.2. The Genus One Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
C.3. Application of Theta Function Identities . . . . . . . . . . . . . . . 178
Appendix D. On Regularisation of Functional Determinants 181
D.1. Zeta-Function Regularisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
D.2. Functional Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
D.2.1. Heterotic Functional Determinants and Poincar´e Series . . . 185
D.2.2. Type I Functional Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . 189
ix