Théorie élémentaire des feuilletages holomorphes singuliers

212 Pages·2013·12.677 MB·French

by  Felipe Cano, Dominique Cerveau, Julie Déserti

Felipe
Cano
Dominique
Cerveau
Julie
Déserti
Théorie élémentaire
des feui ll etages
holom.orphes
singuliers

Théorie élémentaire
des feuilletages
holomorphes
singuliers
Felipe
Cano
Dominique
Cerveau
Julie
Déserti
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Couverture: Dominique Cerveau, 11Ceci est une feuille11 (pastel), photo Stéphane Cerveau.
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Éditions Belin, ISSN ISBN
© 2013 1635-8414 978-2-7011-7484-6
À
Marco Brunella

TABLE DES MATIÈRES
Introduction 9
Chapitre 1 PRÉLIMINAIRES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1 Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.1 Variétés topologiques, revêtements .......................... 11
1.1.2 Le groupe de POINCARÉ ..................................... 12
1.1.3 Le principe de monodromie ................................. 13
1.2 Géométrie différentielle complexe................................... 14
1.2.1 Fonctions holomorphes...................................... 14
1.2.2 Variétés complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.3 Éclatements.. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.4 Revêtements complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.5 Surfaces de RIEMANN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Champs et formes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1 Uespace tangent............................................. 18
1.3.2 Champs de vecteurs......................................... 19
1.3.3 Formes différentielles.. . . . ................................... 21
1.3.4 Formes différentielles d'ordre supérieur . .................... 21
1.3.5 Germes................... ................................... 23
1.3.6 Les complétés formels.. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4 Géométrie analytique locale.. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . 25
1.4.1 Germes d'ensembles analytiques . ........................... 25
1.4.2 Composantes irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.3 Le théorème de PUISEUX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5 Prolongement.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5.1 Extension holomorphe à plusieurs variables de type HARTOGS 28
1.5.2 Une application : division de DE RHAM-SAITO
pour les 1-formes.. ...... .................................... 29
1.5.3 Prolongement d'ensembles analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5.4 Fonctions méromorphes.. ................................... 30
1.5.5 Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6 Cohomologie. Problèmes de COUSIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6.1 Cocycles et cobords sur un exemple......................... 31
1.6.2 Le premier groupe de cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.6.3 Le problème de COUSIN multiplicatif..................... . . . 34
1.6.4 Applications.. ............................................... 34
1. 7 Géométrie algébrique projective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1. 7 .1 Variétés projectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.7.2 Géométrie algébrique, géométrie analytique................. 35
6 TABLE DES MATIÈRES
Chapitre 2 NOTIONS DE BASE.............................................. 37
2.1 Rectification d'un champ de vecteurs . .............................. 37
2.2 Théorème de FROBENIUS. Codimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Feuilletages singuliers de codimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.1 Données locales ............................................. 40
2.3.2 Lieu singulier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.3 Pré-feuilletages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.4 Image réciproque, transformé strict.......................... 41
2.4 Feuilles . ............................................................ 41
2.4.1 Morceaux de feuille.......................................... 42
2.4.2 Feuilles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5 Avant-goût de l'holonomie........................................... 43
2.6 Intégrales premières, hypersurfaces intégrales... ..... . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6.1 Intégrales premières multiformes............................ 45
2.6.2 Germes d'intégrales premières.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6.3 Feuilles fermées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6.4 Hypersurfaces intégrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7
2. 7 Feuilletages projectifs et affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7
2.7.1 Degré........................................................ 49
2.7.2 Intégrales premières rationnelles ............................ 50
2.7.3 Feuilletages de l'espace affine en ............................ 51
2. 7.4 Feuilletages linéaires de C2 . . . 52
. . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . •
2.8 D'autres exemples.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.8.1 Feuilletages sur certaines variétés de H OPF.................. 52
2.8.2 Feuilletages sur les tores complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.8.3 Feuilletages sur les tores complexes (suite) .................. 56
2.9 Compléments : genèse du concept de feuilletage..................... 58
Chapitre 3 SINGULARITÉS SIMPLES EN DIMENSION 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1 Premières propriétés................................................ 61
3.2 Courbes intégrales .................................................. 63
3.3 Linéarisation. Point de vue élémentaire............................. 67
3.4 Jordanisation formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.5 Formes normales formelles.. ........................................ 75
3.6 Compléments .. ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Chapitre 4 RÉDUCTION DES SINGULARITÉS EN DIMENSION 2 . . . . . . . . . . . . . . 81
4.1 Énoncés de réduction des singularités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.1.1 Réduction aux singularités pré-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.1.2 Réduction aux singularités simples .......................... 84
4.1.3 Réduction «adaptée » des singularités ...................... 84
4.2 Invariants locaux et éclatements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.1 Cône tangent................................................ 85
4.2.2 Nombre de MILNOR.......................................... 86
4.2.3 Ordre résiduel adapté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2.4 Ordre restreint.............................................. 90
TABLE DES MATIÈRES 7
4.3 Réductiona ux singual rités pré-simples.............................. 90
4.3.1 Suites sta tionna ires .......................................... 90
4.3.2 Uinva rai nt de contrôle... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.4 Courbes intégra les et désingual risa tion.............................. 93
4.4.1 Projection pa r écal tement................................... 93
4.4.2 Courbes généra lisées .. . . .................................... 94
4.5 Construction de courbes intégra les.................................. 96
4.5.1 Uindice real tif à une courbe intégra le........................ 96
4.5.2 Ua lgorithme.. .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.6 Compléments ....................................................... 100
Chapitre 5 THÉORÈME DE FROBENIUS SINGULIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.1 Division de DE RHAM-SAITO ......... ................................ 103
5.2 Algorithme de GODBILLON-VEY ..................................... 105
5.3 Tra nsversa lité ....................................................... 106
5.4 Dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.4.1 Le ca s des singual rités simples ............................... 108
5.4.2 Le ca s généra l. .............................................. 109
5.5 Théorème de FROBENIUS singulier .................................. 110
5.5.1 Test de convergence ......................................... 111
5.5.2 Fin de al preuve ............................................. 111
5.6 Théorèmes d'extension .............................................. 112
5.7 Compléments ....................................................... 113
5.7.1 Singual rités : premiers frémissements ....................... 113
5.7.2 FROBENIUS singulier da' près MALGRANGE [77, 78] ........... 116
5.7.3 FROBENIUS singulier da' près MATTEI-MOUSSU [82] .......... 116
5. 7.4 Da' utres théorèmes de type FROBENIUS singulier . . . . . . . . . . . . 117
Chapitre 6 HOLONOMIE ................ .................................... 119
6.1 Feuilletages de codimension 1 tra nsverses à une fibra tion . . . . . . . . . . . 119
6.2 Exemples : Équa tions de RICCATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.3 Holonomie d'un feuilletage tra nsverse à une fibra tion . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.4 Quelquesa pplica tions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.4.1 Premier ca s ................. ................................. 125
6.4.2 Second ca s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.4.3 Troisième ca s ................................................ 125
6.5 Holonomie d'une hypersuraf ce intégra le ............................. 126
6.6 Ca lculs d'holonomie : formes norma les .............................. 128
6.6.1 Le ca s linéa risa ble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.6.2 Le ca s généra ln on dégénéré ................................. 130
6.6.3 Le ca s d'un nœ ud-col ........................................ 131
6.6.4 Holonomie des formes norma les résona ntes . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6. 7 Holonomie et réduction des singual rités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.8 Holonomie et topologie des feuilles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.9 Compléments ....................................................... 133
8 TABLE DES MATIÈRES
Chapitre 7 Sous-GROUPES DE Diff(C, 0) . . . 135
....... . .. ......................
7. 1 Difféomorphismes formels, difféomorphismes convergents . . . . . . .. . 135
.
7.2 Linéa risa tion . . . . . . . . . . 139
.. .... . .... ... . .. .................. ...... ... . .
7. 3 Théorème de SIEGEL . . . . . . .. 143
. . . ..... . ........ . .. ............... .... .
7.4 Difféomorphismes at ngents à li' dentité .. . 148
........ ....... ............
7.4.1 Le groupe formel à 1 pa ra mètre . .. . . . 148
.... .......... ... .. ... . .
7.4.2 Propriétés de commuta tion . . .. .. . 149
. .......... ...... ...... ....
7.4.3 Formes norma les formelles et centra lisa teurs . .. 151
........... . .
7.4.4 Un exemple nona na lytiquement norma lisa ble (4] . . 152
........ .
7.5 Groupesa béliens de difféomorphismes . . . . 152
.. .... .... ..... ...........
7.6 Groupes résolubles de difféomorphismes . .. . 155
.... ....... ........... ..
7. 7 Compléments .. . .. . . . . .. . . . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . . . .. . . .. . . . . .. . .. . 158
Chapitre 8 INTÉGRALES PREMIÈRES MULTIVALUÉES . .. 161
... ........ .........
8.1 Dimension 2 . . . . . . 162
. .... . .. ............ ..................... .........
8.2 Dimension supérieure à 2 . . . .. . . .. 168
. .. . ........... ............ .. . ... .
8.2.1 Ca s dicritique . .. . 168
.. ............ ..... ........................
8.2.2 Ca s non dicritique . .. .. . 170
.............. ...... .............. . ..
8.3 Compléments . . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . . . .. . . . .. . . .. 173
.
Chapitre 9 FEUILLETAGES DE L'ESPACE PROJECTIF. .. . . . .. . . . .. .. .. . . . .. . 175
.
9.1 L'espa ce des feuilletages . . .. . . .. 175
... . ......... . ........ ........ .... ...
9. 1.1 Feuilletages de degré donné .. .. .. . .. . .. .. .. .. .. ... .. . .. . . . 17 5
..
9 12 Structurea lgébrique de l'ensemble des feuilletages . .. . .. . . .. 177
. .
9.1.3 Équiva lence projective . . 178
........ .................... ........
9.2 Feuilletages de degré 1 sur le pal np rojectif. . . . . 179
...... .... ..... . .....
9.3 Tra nsversa lité globa le . .. . 182
............... ............... .......... ...
9.4 Feuilletages de degré 1 sur l'espa ce projectif IP'�, 3 184
n 2:: ..............
9.5 Degré des hypersurfaces intégra les . . . 187
............ ... . ...............
9.5l. Ordre résiduel généra lisé . . . .. 191
...................... ..... .. . .
9.5.2 Degré d'un feuilletage revisité. . 193
............ ..................
9.6 Feuilletages sa ns hypersuraf ces intégra les ........................... 195
9.7 Compléments . .. . . 196
.......... .... ... ........................ .........
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
.
Index 205
...... .................................................................
Index des notations . . . . . . . . 207
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .