Table Of ContentLecture Notes ni
Mathematics
Edited yb .A Dold, Heidelberg dna .B Eckmann, Zi3rich
Series: Forschungsinstitut for Mathematik, HTE ZUrich
983
treblA-xaM sunK
eloc~I Polytechnique F6d6rale, Z0rich/Suisse
leunaM nerugnajO
Battelle Institute, Advanced Studies Center,
Carouge-Geneve/Suisse
eiroehT ed al Descente te
Algebres 'd ayamuzA
Springer-Verlag
Berlin. Heidelberg (cid:12)9 New York 1974
AMS Subject Classifications (19?0): 13 A20, 13 B05, 16A16
I,SBN 3-540-06791-4 Springer-Verlag Berlin (cid:12)9 Heidelberg (cid:12)9 New York
ISBN 0-38"7-06791-4 Springer-Verlag New York (cid:12)9 Heidelberg (cid:12)9 Berlin
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(cid:14)9 by Springer-Verlag Berlin - Heidelberg 1974. Library of Congress
Catalog Card Number 74-?909. Printed in Germany.
Offsetdruck: Julius Beltz, Hemsbach/Bergstr.
INTRODUCTION
Ces notes sont bas6s en partie sur un s6minaire donn6 ~ l'6cole
polytechnique f6d6rale de Zurich en 1970-71 et 1971-72. Le but de ee
s6minaire 6tait l'6tude des expos6s de Grothendieek au s6minaire
Bourbaki sur la descente I (expos6 190) et sur le groupe de Brauer I
(expos6 290).
Le premier chapitre rappelle des notions d'alg6bre commutative et
donne aussi quelques r6sultats qui seront utilis6s ensuite syst6matique-
ment.
Le second chapitre est un expos6 d6taill6 de la th6orie de la
descente dans le cadre des anneaux. Apr6s la descente fid61ement
plate, nous examinons diff6rents cas particuliers (descente fid61ement
projective, galoisienne, radicielle).
Le troisi~me chapitre donne la th6orie des alg6bres s6parables
puis des alg6bres d' Azumaya. Ce chapitre se termine par la carac-
t6risation des alg6bres d'Azumaya eomme formes tordues d'alg6bres de
matrices, caract6risation qui permet en fait de retrouver presque
imm6diatement toutes les propri6t6s des alg6bres d'Azumaya par descente.
Dans le chapitre IV, nous appliquons la th~orie de la descente
aux alg~bres d~Azumaya. Nous obtenons en particulier un r~sultat sur
les automorphismes des alg~bres d'Azumaya et une d~monstration ~l~-
mentaire et non-cohomologique de la torsion du groupe de Brauer.
Finalement, nous introduisons la cohomologie d'Amitsur, qui est li6e
la th6orie de la descente, et donnons quelques applications au groupe
de Brauer en caract6ristique p .
Nous avons essay~ de grouper les sources darts le chapitre VI,
mais sans esp6rer ~tre complets. La bibliographie ne donne que des
-IV-
des titres cit6s dans le texte. On trouvera une bibliographie d6taill6e
sur les alg~bres d'Azumaya dans DI.
Nous remercions l'Institut Battelle de son soutien pendant ia pr6pa-
ration de ces notes. Nous f61icitons E. Russo d'avoir su garder sa
bonne humeur pendant qu'elle tapait ces notes (~ la machine).
Nous remercions 6galement le Fonds national Suisse de l'aide accord6e
l'un des auteurs.
TABLE DES MATIERES
I. PRELIMINAIRES
w Modules projectifs 3
w Modules de type fini et de presentation finie 4
w Platitude i0
w Quelques identit~s 15
w Topologies, recouvrements et faisceaux 18
w Rang et Pic 22
w La th4orie de Morita 26
II. THEORIES DE LA DESCENTE
w Introduction 28
w La descente fid~lement plate des ~l~ments et
des homomorphismes 30
w Descente fid&lement plate des modules et
des alg&bres 34
w La descente fid&lement projective 40
w La descente galoisienne 44
w Descente radicielle de hauteur un 49
w Une autre caract~risation des extensions
radicielles finies de hauteur un 53
w Formes tordues 61
w Formes tordues et cohomologie galoisienne 65
w Formes tordues pour les extensions radicielles 67
III. ALGEBRES SEPARABLES
w D~finition et premi&res propri~t~s 71
w Extension et restriction des scalaires 77
w Alg&bres s~parables sur un corps 82
w Alg&bres s~parables commutatives 85
w Alg&bres d'Azumaya 92
w Alg&bres neutralisantes 97
-2-
IV. AUTOMORPHISMES DES ALGEBRES D'AZUMAYA
w La suite exacte de Rosenberg-Zelinsky 106
w Construction du polyn6me caract~ristique 108
w Automorphismes iii
w Le "switch" et la trace r&duite 112
w Le th~or~me de Skolem-Noether 113
w La torsion du groupe de Brauer 114
V. LA COHOMOLOGIE D'AMITSUR
w D~finition et examples 119
w Interpretation de HI(S/R,U) pour i=0,i,2 125
w Sur la p-torsion du groupe de Brauer 133
w La longue suite exacte de Rosenberg-Zelinsky 136
w Le th~or~me de Berkson 142
w Une g~n~ralisation d'un th6or~me de Hochschild 146
VI. REMARQUES ET SOURCES 151
REFERENCES 154
INDEX 160
I. PRELIMINAIRES
$oit R un anneau. Un R-module M est appel6 projectif s'il
v6rifie les conditions 6quivalentes du lemme suivant:
Lemme i.i
.
(a) M est isomorphe ~ un facteur direct d'un R-module libre.
(b) Toute suite exacte de R-modules
0 --~ L --~ N ~--~ M --~0
est scind6e, c'est-~-dire qu'il existe un homomorphisme de
R-module p : M --~N tel que ~p = i , i 6tant l'identit6
m m
de M .
(c) Pour toute application surjective ~ : N --~ N' , l'application
induite Hom(l,~) : Hom(M,N) --~ Hom(M,N') est surjective.
(d) Ii existe (m i) m.e M et (~i) ' ~i6 M* = HomR(M,R)
is ' l iel
tels que:
I) pour tout me M , r = 0 pour presque tout is I
2) pour tout me M , r i = m .
is
D6monstration : L'6quivalence de (a), (b) et (c) est facile et bien
connue. Montrons que (a)< >(d) : Si M est facteur direct d'un
module libre R I , il existe deux homomorphismes de R-modules
: M--~ R I et ~ : R I-~ M tels que ~ = i m Soient {ei,ie I}
une base de R I et {fi,is I} ' fl (cid:12)9 c Hom(RI,R) , la base duale , e'est-
~-dire telle que fj(e i) = 6ij Posons m i = ~(e i) et ~i = fi G '
i s I . On a 6videmment ~i(m) = 0 pour presque tout i6 I et
- 4 -
Z~.(m)m. = Ef.(r = ~(Zf.(~(m))e i) = ~r = m . Invers6ment,
1 1 1 1 1
on d6finit r et ~ ~ l'aide de (d) par (~(m)) i = ~i(m) et
~(x) : ~ x.m. si x = (x.) e R I
i~l 1 l i iel
1.2 Exemples
(I) Un module libre est 6videmment projectif.
(2) Si M est un R-module projectif et S une R-alg6bre, alors
S | M est projectif sur S .
(3) Une somme directe (cid:12)9 M. est projective si et seulement sl
ieJ i
chaque facteur M. est projeetif.
1
Soit R un anneau. Un R-module M est appel6 de type fini s'il
existe une suite exacte
F -~ M --~ 0
0
de R-modules, o~ F ~ est libre de rang fini et de pr6sentation finie
s'il existe une suite exacte
F I --~ F ~ --~ M --~ 0
o~ F I et F ~ sont des R-modules libres de rang fini.
Exemples
(i) Tout module de pr6sentation finie est de type fini.
(2) Un module projectif est de type fini s'il existe des m. et
l
r avee un ensemble d'indices I fini ayant les propri6t6s
de l.l.(d). On dira alors que les m i et r forment une
base duale de M .
5 -
(3) Tout module projectif de type fini est de pr6sentation finie.
Lemme 2.1 . Soit 0 --~M' ~ M B_~ M" --~ 0 une suite exacte de
R-modules. Alors,
(a) Si M est de type fini, M" est de type fini. Si M' et
M" sont de type fini, M est de type fini.
(b) Si M est de type fini et M" de pr6sentation finie, M'
est de type fini.
D6monstration . (a) Si l'ensemble {m i} engendre M , son image
engendre M" . Invers6ment, soient M' et M" de type fini. Soient
,'m -I .... ,m n- les images dans M d'un ensemble de g6n6rateurs de
M',mi .... ,m 'n . Soient m~', .... ,m"r des repr6sentants dans M d'un
ensemble de g6n6rateurs de M" L'ensemble {m -' i,mj " } engendre M .
En effet, si x est l'image dans M" d'un 616ment xs , on peut
6crire x = Zr.m" et x - zr.m" c Ker(M--~ M") = M'
(b) Soit F I ~ F ~ ~-~ M '' --~ 0 une pr6sentation
finie de M" ; Comme F est libre, il existe un homomorphisme
o
n : F ~ --~ M tel que
r n_. M
o
81
M"
commute. Puisque, dans le diagramme commutatif,
r I ~-- r ~ ~-. M',-. o
t
0 --~M' --~ M -~ M"--~ 0
o n o ~ = 0 et que la seeonde ligne est exacte, il existe
p : F I --~ M' tel que d o p -- n o % . Le diagramme du serpent
- 6 -
(Bourbaki B2 p. 19) donne alors une suite exacte
0 = Ker(iM.) --~ Coker(p) --~ Coker(n) --~ Coker(iM, ) = 0
Elle montre que Coker(p) ~ Coker(n) = M/n(F 0) est de type fini.
Finalement, la suite exacte
0 --~ p(F I) --~ M' --~ Coker(p) --~ 0
o~ p(F I) et Coker(p) sont de type fini, montre d'aprhs (a), que
M' est aussi de type fini.
Bien que ce ne soit pas toujours n6cessaire, nous supposerons
darts la suite que R est commutatif.
Lemm~ 2.2 Soient M un R-module de type fini et I un id6al de
R tel que IM = M . Ii existe alors un 616ment a e R de la forme
a = i + x , x e I , tel que aM = 0
D6monstration . Soient ml, .... ,m n des g6n6rateurs de M . Le
r6sultat se d6montre par induction sur le nombre de g6n6rateurs n
Pour n = 0 , on prend x = 0 Soit M' = M/Rm Par induction
n
il existe xel tel que (l+x)M' = 0 , c'est-~-dire que (l+x)MCRm
n
Puisque M = IM , on a aussi (l+x)M = l(l+x)Mc Im ; on peut donc
n
~crire (l+x)m n = ym n avec ys I Mais alors (l+x-y)(l+x)M = 0 et
(l+x-y)(l+x) ~ i mod I .
Soit Rad(R) , le radical de R , c'est-~-dire l'intersection de
tou% les id6aux maximaux de R .
Corollaire 2.3 (Lemme de Nakayama) Soit I un id6al de R . Les
propri6t6s suivantes sont 6quivalentes.
i) I eRad(R)
2) 1 + I est un sous-groupe des unit6s R* de R
De plus, pour tout R-module de type fini M et tout sous-module N de M,
