Théorie de Galois

228 Pages·1997·19.78 MB·French

by  Yvan Gozard

!ATHÉMATIQUES
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2E
MATHÉMATIQUES POUR LE CYCLE
Collection dirigée par Charles-Michel MARLE et Philippe PILIBOSSIAN
THÉORIE
DE
GALOIS
Ivan GOZARD
Ancien élève de l'E.N.S.E.T.
Agrégé de l'Université
Présentation de la collection Mathématiques pour le 2e cycle
--------
Cette collection se propose de mettre à la dispo.sition des étudiants de licence et de
maîtrise de mathématiques des ouvrages couvrant l'essentiel des programmes actuels
des universités françaises. Certains de ces ouvrages pourront être utiles aussi aux étu
diants qui préparent le CAPES ou l'agrégation, ainsi qu'aux élèves des grandes écoles.
Nous avons voulu rendre ces livres accessibles à tous : les sujets traités sont présen
tés de manière simple et progressive, tout en respectant scrupuleusement la rigueur
mathématique. Chaque volume comporte un exposé du cours avec des démonstrations
détaillées de tous les résultats essentiels, et de nombreux exercices.
Les auteurs de ces ouvrages ont tous une grande expérience de l'enseignement des
mathématiques au niveau supérieur.
Nous avons apporté le plus grand soin à la présentation et à la mise en page des
textes de ces livres ; le choix du logiciel TEX de Donald E. Knuth s'est imposé pour ce
travail.
Nous sommes heureux de présenter dans cette collection le livre de Monsieur Ivan
. Gozard qui a pour sujet la théorie de Galois. Cette théorie est une des plus belles
constructions de l'esprit humain. Elle illustre, de manière tout particulièrement frap
pante, la puissance des mathématiques : grâce à l'emploi de concepts algébriques abs
traits, elle a permis de répondre, de manière complète et définitive, à certaines questions
faciles à formuler en termes simples, posées depuis l'Antiquité grecque ou la
Renaissance. Par exemple : certaines constructions à la règle et au compas (quadrature
du cercle, trisection de l'angle, duplication du cube) sont-elles possibles '?Quelles sont
les équations algébriques résolubles par radicaux ?
Le livre de Monsieur Ivan Gozard donne de cette théorie un exposé clair, accessible
aux étudiants de second cycle. Nul doute que cet ouvrage contribuera à faire aimer les
mathématiques.
Dans la même collection
.... Topologie, Gilles CHRISTOL, Anne COT, Charles-Michel MARLE, 192 pages .
.... Calcul différentiel, Gilles CHRISTOL, Anne COT, Charles-Michel MARLE
(à paraître en 1997) .
.... Analyse convexe et variationnelle, Dominique AZÉ (à paraître en 1997).
ISBN 2-7298-5673-0
© ellipses/ édition marketing S.A., 1997
32 rue Bargue, Paris (1Se).
La loi du 11 mars 1957 n"autorisant aux termes des alinéas 2 et 3 de l'Article141, d"une part, que les
« copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une
utilisation collective », et d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but
d'exemple et d'illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale, ou partielle, faite sans
le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite ». (Alinéa 1er de
!'Article 40).
Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, sans autorisation de
l'éditeur ou du Centre français d'Exploitation du Droit de Copie (3, rue Hautefeuille, 75006 Paris),
constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les Articles 425 et suivants du Code pénal.
AVANT-PROPOS
A un moment où la communauté Mathématique redécouvre Je génie de Galois et la
puissance de sa théorie, à l'occasion du rôle essentiel qu'elle joue dans la démonstration
par A. Wiles du célèbre théorème de Fermat, il m'a semblé qu'un ouvrage spécialisé
mais abordable sur ce sujet, écrit en Français, pourrait avoir quelque utilité.
Ce livre s'adresse bien sûr aux étudiants de deuxième cycle en Mathématiques, et
aux candidats aux concours de recrutement de Professeurs.
Il importe toutefois de signaler qu'il a aussi été conçu pour intéresser les étudiants
de premier cycle et des classes préparatoires aux Grandes Écoles Scientifiques, à la
recherche d'une première approche ; et des enseignants en poste désireux de redécou
verte. Il contient en effet une part importante de rappels de premier cycle, afin de
pouvoir être accessible avec un minimum de connaissances préalables (de bons acquis
en Algèbre générale, et en particulier en Algèbre linéaire, suffisent pour l'aborder).
J'ai travaillé avec le double objectif d'offrir un livre qui soit complet et pédagogique.
Toutes les démonstrations sont entièrement rédigées. Le lecteur a donc entre les mains
un ouvrage autonome. Les nécessaires instruments théoriques ne sont introduits qu'au
fur et à mesure des besoins, et aussitôt utilisés et/ou illustrés d'exemples. Les chapitres 1
à 7 abordent quelques problèmes et situations classiques en travaillant le plus possible
« à la main », la théorie de Galois n'est exposée que dans une seconde partie. De sorte
que Je lecteur puisse découvrir progressivement sa puissance, et sa beauté, en la voyant
appliquée à des situations qu'il maîtrise. J'ai essayé de procéder par généralisations
successives, quitte à créer quelques longueurs et une certaine redondance.
Les chapitres d'introduction donnent toutes les définitions et propriétés de base élé
mentaires, en les illustrant ; puis exposent des sujets tels que les nombres algébriques,
les problèmes classiques de constructibilité à la règle et au compas, la construction du
corps des racines d'un polynôme, les racines de l'unité dans Je corps des nombres
complexes, les corps finis. De sorte que Je lecteur puisse aborder la théorie de Galois en
connaissant son contexte historico-mathématique.
La théorie de Galois elle-même est ensuite présentée avec de nombreux exemples
concrets, entièrement développés.
Dans une troisième partie, après de nécessaires compléments de théorie des groupes
(p sous-groupes de Sylow, groupes résolubles), on aborde quelques-unes des applica
tions de la théorie de Galois, en particulier le critère de constructibilité à la règle et au
compas d'un polygone régulier à n côtés, le théorème de d'Alembert-Gauss, la non réso
lubilité de l'équation« générale» de degré supérieur ou égal à 5.
On trouvera aussi, tout au long du livre, des résultats intéressants donnés « au pas
sage», comme la transcendance de 7t, Je théorème de Wedderburn, un cas particulier du
théorème de Dirichlet (existence d'une infinité de nombres premiers de la forme kn + 1),
la loi de réciprocité quadratique, le test de Pépin concernant les nombres de Fermat, le
théorème de Stickelberger.
La plupart des chapitres s'achèvent par une liste d'exercices de difficulté variée,
avec souvent des indications.
Je souhaite que ce livre rende service aux étudiants dans leur préparation aux
concours et puisse participer à la formation de leur Culture Mathématique. Je veux ex
primer ici ma gratitude à G. Joubert et C.-M. Marle, qui ont bien voulu relire le manus
crit et me faire part de leurs remarques pertinentes. Et je ne saurais terminer sans
remercier les éditions Ellipses pour le soin apporté à la fabric::tion de ce volume.
Table des matières
Notations ........................... . vii
Chapitre 1. GÉNÉRALITÉS : ANNEAUX, CORPS, POLYNÔMES .
1 Anneaux et corps . . . . . . . . . . .
2 Caractéristique d'un anneau, d'un corps 7
3 Polynômes irréductibles . . . . . . . . 9
4 Polynômes symétriques . . . . . . . . 12
5 Appendice: fonction indicatrice d'Euler 18
6 Exercices . . . . . . . . . . . 19
Chapitre II. EXTENSIONS DE CORPS 21
1 Généralités . . . . . . . . . . . 21
2 Groupe de Galois d'une extension 24
3 Exercices . . . . . . . . . . . 28
Chapitre III. EXTENSIONS ALGÉBRIQUES ET TRANSCENDANTES 30
1 Structure des extensions monogènes 30
2 Eléments conjugués . . . . . . . . . 35
3 Extensions algébriques . . . . . . . 37
4 Nombres algébriques réels, complexes 39
5 Théorèmes de Hermite et de Lindemann 41
6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . 46
Chapitre IV. CONSTRUCTIONS GÉOMETRIQUES À LA RÈGLE ET AU COMPAS 47
1 Points constructibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2 Nombres constructibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 Application des résultats précédents aux problèmes grecs classiques 52
4 Compléments . . . . . . . . . . . 55
5 Exercices . . . . . . . . . . . . . 56
Chapitre V. ADJONCTION DE RACINES 57
1 Corps de rupture d'un polynôme . . . 57
2 Corps de décomposition d'un polynôme 59
3 Clôture algébrique d'un corps . . . . 62
4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . 66
Chapitre VI. CORPS CYCLOTOMIQUES . 67
1 Corps cyclotomiques. Polynômes cyclotomiques 67
2 Sous-corps réel de Q{lUn) . . . . . . . . . . . 70
3 Construction de polygones réguliers à la règle et au compas 74
4 Appendice : quelques polynômes cyclotomiques 76
5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Table des matières
V
Chapitre VII. CORPS FINIS . . . . . . . . . . . . . 81
1 Structure de IF p-e. v. Commutativité . . . . . . . 81
2 Existence et unicité d'un corps de cardinal primaire 85
3 Groupe des automorphismes d'un corps fini 86
4 Polynômes irréductibles sur IF P • 87
5 Sous-corps d'un corps fini 91
6 Clôture algébrique d'un corps fini 92
7 Carrés dans un corps fini .... 93
8 Exercices . . . . . . . . . . . 94
Chapitre VIII. EXTENSIONS SÉPARABLES 95
1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . 95
2 Polynômes séparables . . . . . . . . . 96
3 Eléments séparables. Extensions séparables . 97
4 Degré séparable d'une extension algébrique . 100
5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Chapitre IX. TRACE, NORME, DISCRIMINANT . . 104
1 Rappels d'algèbre linéaire . . . . . . . . . . . 104
2 Définitions et propriétés élémentaires . 105
3 Transitivité de la norme et de la trace : complément . 110
4 Discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5 Discriminant d'un polynôme . . . . . . . . . . 113
6 Résultant, déterminant de Sylvester, discriminant . 116
7 Exercices . . . . . . . . . . . . . 122
Chapitre X. EXTENSIONS NORMALES . . . . . . . 124
1 Résultats et concepts fondamentaux . . . . . . . 124
2 _Extensions normales finies et corps de décomposition . 125
3 Normalité dans les tours d'extensions ... . 126
4 Clôture normale d'une extension algébrique . . . . . 127
5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Chapitre XI. THÉORIE DE GALOIS DES EXTENSIONS FINIES . 130
1 Extensions galoisiennes finies . . . 130
2 Correspondance de Galois . . . . . 133
3 Groupe de Galois d'un polynôme . 136
4 Applications et exemples . . . . . 138
5 Exercices . . . . . . . . . . . . 148
Chapitre XII. RACINES DE L'UNITÉ . 150
1 Corps des racines n-ièmes de l'unité . 150
2 Résidus quadratiques. Loi de réciprocité quadratique . 153
3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Chapitre XIII. NOTIONS DE THÉORIE DES GROUPES . 157
1 Suites normales, suites de composition . 157
2 Suite dérivée d'un groupe . . . . 158
3 Groupes résolubles . . . . . . . 159
4 Groupes simples. Applications . . 160
5 Groupes symétriques . . 162
6 Sous-groupes de Sylow . 165
7 Exercices . . . . . . . 168
vi Table des matières
Chapitre XIV. ÉQUATIONS RÉSOLUBLES PAR RADICAUX . . 169
1 Extensions galoisiennes finies à groupe de Galois cyclique . . 169
2 Extensions par radicaux . . . . . . . . . . . . . . 172
3 Exemples d'équations non résolubles par radicaux . 175
4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Chapitre XV. DEGRÉ DE TRANSCENDANCE . 178
1 Dépendance algébrique . 178
2 Degré de transcendance . 182
3 Théorème de Lüroth . . 184
4 Exercices . . . . . . . 187
Chapitre XVI. LE POLYNÔME GÉNÉRIQUE DE DEGRÉ n . 188
1 Le polynôme générique de degré n . . . . . . . . . 188
2 Résolution des équations algébriques de degré ~ 4 . 190
3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Chapitre XVII. COMPLÉMENTS . . . . . . . . . . . 195
1 Caractérisation des nombres constructibles . . . . . 195
2 Une démonstration du théorème de D'Alembert-Gauss . 196
3 Théorème de Stickelberger . . . . . . . . . 197
4 Bases normales d'un corps fini . . . . . . . . 198
5 Groupe de Galois d'un polynôme de degré 4 . 201
6 Réduction modulo p . . . . . . . 202
Chapitre XVIII. PROLONGEMENTS . . . . . . . 205
1 Théorie de Galois constructive . . . . . . . . 205
2 Généralisations de la théorie de Galois classique . 207
3 Théorie de Galois différentielle . 208
Bibliographie . . . . . 211
Index terminologique . . . . . . . . 213
NOTATIONS
"if: pour tout
3: il existe
t.q. : abréviation pour "tel que"
/ : abréviation pour "tel que"
si et ssi : abréviation pour "si et seulement si"
rt
E \ F (où E et F sont deux ensembles): ensemble E privé de F, i.e. {x E E/x F}
P(E) : ensemble des parties de l'ensemble E
FE (où E et F sont deux ensembles) : ensemble des applications de E dans F
id : identité (où application identique)
idx : identité de X(= application identique de l'ensemble X dans lui-même)
6 : symbole de KRONECKER (Ôab = 1 si a = b, et Ôab = 0 si a i: b)
!IA (où f est une application et A une partie de son domaine de définition) : restriction de f à A
flA (où f est une application et A une partie de l'ensemble d'arrivée contenant l'ensemble image de f):
corestriction de f à A
Card : cardinal
C~ : nombre de parties à k éléments d'un ensemble à n éléments
max : maximum
min : minimum
sup : borne supérieure
inf: borne inférieure
N : ensemble des entiers naturels
N* : ensemble des entiers naturels i= 0
Z : ensemble des entiers relatifs
i=
Z* : ensemble des entiers relatifs 0
Q : ensemble des nombres rationnels
Q+, Q _ : ensemble des nombres rationnels ;:::: 0 [resp. :5 O]
Q+, Q: : ensemble des nombres rationnels > 0 [resp. < 0]
A: corps des nombres algébriques (cf. IIl.55)
IR : ensemble des nombres réels
IR+, JR_ : ensemble des nombres réels ;:::: 0 [resp. :5 0]
JR+, JR: : ensemble des nombres réels > 0 [resp. < 0]
C : ensemble des nombres complexes
Ill! : corps des quaternions
IF q : corps fini à q éléments (cf. 1.11, VIl.18)
U(A) (où A est un anneau): ensemble des éléments inversibles de l'anneau A
A* (où A est un anneau): ensemble A\ {O} des éléments non nuls de A
(a) : idéal de l'anneau A engendré par l'élément a ((a) = aA)
1lJ : ensemble des nombres complexes de module 1
1Un (où n E N*): ensemble des racines n-ièmes de 1 dans C
'Pn(C}: ensemble des racines primitives n-ièmes de l'unité (cf. VI.I)
!Re(z) : partie réelle du nombre complexez
~m(z}: partie imaginaire du nombre complexez
[., D, [., [, l, .D, l, .[:intervalles dans N
l? : ensemble des entiers naturels premiers
alb : a divise b
a ,fb : a ne divise pas b
mod. : modulo
P.G.C.D.: plus grand commun diviseur
P.P.C.M. : plus petit commun multiple
a Ab: P.G.C.D. de aetde b
'P : indicatrice d'EULER (cf. 1.12)
viii Notations
vp(n) (où p E !P' et n E N*): exposant de p dans la décomposition den en produit de puissances de nombres
premiers
~ : isomorphe à
lm: image
ker: noyau
IGI : ordre (=cardinal) du groupe G
< X > : sous-groupe engendré par la partie X
< g >:sous-groupe engendré par l'élément g
Z(G): centre du groupe G
D(G ) : groupe dérivé du groupe G (cf. XIII.8)
(G: H): indice dans le groupe G du sous-groupe H
H <1 G : H est un sous-groupe distingué du groupe G (cf. XI.22)
Ne (H) : normalisateur dans le groupe G du sous-groupe H
6{X), ou S{X): groupe des permutations de l'ensemble non vide X
6n. ou Sn (où n E N*): groupe des permutations de l'ensemble [1, nD
Un. ou An (où n E N*): groupe des permutations paires de l'ensemble [1, nD
(a1 ... an): cycle (de longueur n) qui envoie a1 sur a2, .. ., Un-1 sur an et an sur a1
ë(s): signature de la permutations (cf. XIII.22)
Aut(A) : ensemble des automorphismes de A
Car(A) ou caract(A): caractéristique de l'anneau A (cf. I.27)
irr(a, K, X) : polynôme minimal de l'élément a algébrique sur le corps K (cf. III.8)
deg(P): degré du polynôme P
val(P) : valuation du polynôme P
Discr(P): discriminant du polynôme P (cf. IX.30, IX.51)
~n.K (X) : n-ième polynôme cyclotomique sur le corps K (cf. VI.5, XII. IO)
(L : K) : degré de l'extension L du corps K (cf. II.5)
Gal(L/ K) : groupe de Galois de l'extension L du corps K (cf. 11.28)
Fix(H), ou lnv(H) : corps fixe par le sous-groupe H (cf. II.36)
K-e.v. (où K est un corps): K-espace vectoriel
K(I) (où K est un corps, et I un ensemble non vide): K-espace vectoriel des familles (ai)ieI d'éléments
de K à support fini (i.e. telles que l'ensemble {i E I /ai =/; 0 K} soit fini)
Vect(X), ou VectK(X): sous-espace vectoriel engendré par la partie X d'un K-e.v.
dimK(E) (où K est un corps et E un K-e.v.): dimension du K-espace vectoriel E
CK(E, F) (où K est un corps, et E et F sont des K-e.v.): K-e.v. des applications K-linéaires de E dans F
E* (où K est un corps et E un K-e.v.): (=.CK(E, K)) espace dual de E
CK(E) (où K est un corps et E un K-e.v.): (=.CK(E, E)) K-algèbre des applications K-linéaires de E
dansE
GLK(E) (où K est un corps et E un K-e.v.): groupe linéaire de E
Mn,p(K) : ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans K
Mn(K) : (=Mn,n(K)) ensemble des matrices carrées de taille n à coefficients dans K
GLn(K) : groupe des matrices carrées inversibles de taille n à coefficients dans K
Mat(u, e, J): matrice dans les bases e (au départ) et f (à l'arrivée) de l'application linéaire u
det : déterminant
tr: trace