Table Of ContentTechnische Schwingungslehre
Helmut Jäger • Roland Mastel
Manfred Knaebel
Technische
Schwingungslehre
Grundlagen – Modellbildung –
Anwendungen
8., überarbeitete Auflage
Mit 250 Abbildungen, 74 Aufgaben
und 40 Beispielen
Helmut Jäger Manfred Knaebel
Roland Mastel Esslingen, Deutschland
Hochschule Esslingen
Deutschland
ISBN 978-3-8348-1396-1 ISBN 978-3-8348-2099-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-8348-2099-0
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abrufb ar.
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Vorwort zur 8. Auflage
Das hier vorliegende Skriptum entspricht den Inhalten, die die Verfasser an der
Hochschule Esslingen auf dem Gebiet der Technischen Schwingungslehre als
Grundlagen anbieten.
Das Skriptum soll Studentinnen und Studenten vor allem des Maschinenbaus
eine leicht verständliche Einführung in die Schwingungstechnik sein. Sie sollen
lernen, ein mechanisches Schwingungssystem zu analysieren. Nach allgemeinen
Ausführungen zum Entstehen und zur Einteilung von Schwingungen werden
zunächst einfache Modelle, die aber wesentliche Eigenschaften der Konstruktion
wie Nachgiebigkeit und Trägheit berücksichtigen, behandelt. Ausführlich und
mit vielen Beispielen wird auf die schwingungstechnisch wichtigste Kenngröße
„Eigenkreisfrequenz“ eingegangen. Der Zusammenhang mit den vielfältigen
konstruktiven Parametern wird erläutert. Schrittweise werden die mechanischen
und mathematischen Modelle ergänzt, um Dämpfungen zu quantifizieren und
auch um mehrere Schwingungsfreiheitsgrade erfassen zu können. Schwingungs-
differentialgleichungen sind aufzustellen, zu interpretieren und zu lösen und die
gefundenen Lösungen sind in ihrer physikalisch-technischen Bedeutung zu ver-
stehen. Um dieses Ziel zu erreichen werden zahlreiche Beispiele mit ausführli-
chen Lösungen erläutert. Die Aufgaben, für die im Anhang Lösungswerte ange-
geben sind, sollen zu selbstständiger Arbeit anregen. Bei Beispielen und Aufga-
ben handelt es sich zum überwiegenden Teil um Prüfungsaufgaben, die die Ver-
fasser an der Fachhochschule in den vergangenen Jahren gestellt haben.
Die für das Verständnis erforderlichen mathematischen Kenntnisse werden heute
allen Studierenden an einer Fachhochschule vermittelt. Die Formelzeichen wer-
den nach DIN 1311 (Februar 2000) gewählt.
Nach der vollständigen Überarbeitung der 6. und den Korrekturen der 7. Auflage
werden in dieser 8. Auflage zahlreiche Hinweise aus dem Leserkreis eingearbei-
tet. Es werden einige interessante neue Aufgaben ergänzt und die uns bekannten
Unstimmigkeiten beseitigt. Die Verfasser dieses Vorwortes bedanken sich bei
ihrem Altkollegen und Autor der ersten fünf Auflagen Manfred Knaebel ganz
herzlich für seine wertvollen Anregungen. Nach wie vor ist das Ziel der Überar-
beitung, den „Reiz“ des Büchleins – die praxisnahen Beispiele sowie die didakti-
sche Grundkonzeption vom Einfachen durch stetige Ergänzungen zum Schwieri-
gen – zu erhalten.
Dem Verlag Springer Vieweg sagen wir unseren herzlichen Dank für die gute
Zusammenarbeit.
Stuttgart/Rechberghausen, im Herbst 2012 Helmut Jäger
Roland Mastel
Inhalt
1 Grundsätzliches mit einführenden Beispielen ........................................ 1
1.1 Beispiele für Schwingungsvorgänge ................................................ 1
1.2 Einteilung von Schwingungen und Grundbegriffe ........................... 2
1.3 Periodische Funktionen .................................................................... 5
2 Harmonische Bewegung und Fourier-Analyse periodischer
Schwingungen ........................................................................................... 7
2.1 Darstellung und Eigenschaften harmonischer Schwingungen ......... 7
2.2 Harmonische Analyse periodischer Schwingungen ......................... 13
2.3 Aufgaben .......................................................................................... 15
3 Pendelschwingungen ................................................................................ 16
3.1 Das mathematische Pendel (Fadenpendel) ....................................... 16
3.2 Das physikalische Pendel (Körperpendel) ....................................... 18
3.3 Aufgaben .......................................................................................... 24
4 Freie ungedämpfte Schwingungen von Systemen mit einem
Freiheitsgrad ............................................................................................. 26
4.1 Längsschwingungen ......................................................................... 26
4.1.1 Schwingungsdifferentialgleichung ........................................ 26
4.1.2 Beispiele und Anwendungen ................................................ 29
4.2 Biegeschwingungen von Balken mit Einzelmasse ........................... 44
4.3 Drehschwingungen ........................................................................... 47
4.3.1 Torsionsstab mit Einzelmassen ............................................. 48
4.3.2 Federgefesselter Drehschwinger ........................................... 51
4.3.3 Drehschwinger mit Einfluss der Gewichtskraft .................... 54
4.4 Zusammengesetzte Federn ............................................................... 58
4.5 Aufgaben .......................................................................................... 71
5 Freie gedämpfte Schwingungen von Systemen mit einem
Freiheitsgrad ............................................................................................. 84
5.1 Allgemeines zur Dämpfung ............................................................. 84
5.2 Geschwindigkeitsproportional gedämpfte Längsschwingungen ...... 85
5.2.1 Schwache und starke Dämpfung ........................................... 87
5.2.2 Sehr starke Dämpfung ........................................................... 92
5.2.3 Aperiodischer Grenzfall ........................................................ 94
5.2.4 Beispiele und Anwendungen ................................................ 95
5.2.5 Aufhängung am Dämpfer – ein Sonderfall ........................... 98
VIII Inhalt
5.3 Geschwindigkeitsproportional gedämpfte Drehschwingungen ........ 100
5.4 Dämpfung durch trockene Reibung (Coulomb’sche Dämpfung) ..... 103
5.5 Aufgaben .......................................................................................... 105
6 Erzwungene Schwingungen von Systemen mit einem
Freiheitsgrad ohne Dämpfung ................................................................. 112
6.1 Beliebiger Zeitverlauf der Erregung ................................................ 112
6.2 Harmonische Erregung .................................................................... 114
6.3 Periodische Erregung ....................................................................... 119
6.4 Schwingungserregung durch Unwucht ............................................ 120
6.5 Kritische Drehzahl ........................................................................... 125
6.6 Aufgaben .......................................................................................... 128
7 Erzwungene Schwingungen von Systemen mit einem
Freiheitsgrad mit Dämpfung ................................................................... 136
7.1 Harmonische Erregerkraft – Komplexer Frequenzgang ................... 137
7.2 Frequenzgang bei harmonischem Erregermoment –
Drehschwingungen ........................................................................... 145
7.3 Harmonische Fußpunkterregung ...................................................... 150
7.4 Aufgaben .......................................................................................... 153
8 Freie ungedämpfte Schwingungen von Systemen mit
mehreren Freiheitsgraden ........................................................................ 158
8.1 Schwingerkette mit zwei Freiheitsgraden ........................................ 158
8.2 System mit endlich vielen Freiheitsgraden ...................................... 162
8.3 Gekoppelte Drehschwingungen ....................................................... 165
8.4 Gekoppelte Hub- und Drehschwingungen eines starren Körpers .... 169
8.5 Biegeschwingungen von masselosen Balken mit Starrkörper
am Ende bei Berücksichtigung des Massenträgheitsmoments ......... 173
8.6 Aufgaben .......................................................................................... 177
9 Erzwungene harmonische Schwingungen von Systemen mit
mehreren Freiheitsgraden ........................................................................ 183
9.1 Schwingerkette mit zwei Freiheitsgraden ........................................ 183
9.1.1 Schwingerkette ohne Dämpfung ........................................... 184
9.1.2 Schwingerkette mit Dämpfung ............................................. 187
9.2 Schwingungssystem mit endlich vielen Freiheitsgraden –
Frequenzgangmatrix ......................................................................... 188
9.3 Aufgaben .......................................................................................... 192
Inhalt IX
10 Schwingungen von Kontinua................................................................... 198
10.1 Saitenschwingung ............................................................................ 198
10.1.1 Differentialgleichung des hängenden Seils
bei statischer Last ...................................................................199
10.1.2 Aufstellen der Differentialgleichung
der schwingenden Saite...........................................................200
10.1.3 Lösung der Schwingungsdifferentialgleichung der Saite ...... 201
10.2 Stablängsschwingungen ................................................................... 203
10.3 Balkenbiegeschwingungen ............................................................... 205
10.4 Torsionsschwingungen ..................................................................... 209
10.5 Aufgaben .......................................................................................... 210
Anhang ........................................................................................................... 211
A 1 Bücher und Normen ......................................................................... 211
A 1.1 Weiterführende Bücher ......................................................... 211
A 1.2 Ausgewählte Normen ............................................................ 211
A 2 Lösungen der Aufgaben ................................................................... 212
A 3 Federsteifigkeiten ............................................................................. 225
A 4 Näherungsweise Berücksichtigung der Federmasse
bei Biegefedern ................................................................................ 230
A 5 Sachverzeichnis ................................................................................ 235
Autoren XI
Autoren
Prof. Dipl.-Math. Manfred Knaebel, 1927 in Göppingen geboren, 1947 bis
1952 Studium der Mathematik und Physik an der Technischen Hochschule
Stuttgart, 1952 bis 1955 Statiker und Kommissionsführer im Brückenbau und
Stahlfundamentbau der Gutehoffnungshütte, Werk Sterkrade, 1956 bis 1957 Be-
rechnungs- und Versuchsingenieur im Fahrzeugbau in Heilbronn a. N., von 1957
bis 1990 Dozent für Technische Mechanik und Technische Schwingungslehre an
der Staatlichen Ingenieurschule Esslingen, jetzt Hochschule Esslingen.
Prof. Dr.-Ing. Helmut Jäger, 1946 in Stuttgart geboren, 1966 bis 1972 Studium
der Mathematik an den Universitäten Stuttgart und Hamburg. 1972 bis 1985
Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut A für Mechanik der Universität Stutt-
gart. 1985 bis 1990 Berechnungsingenieur der der Firma Daimler-Benz. 1990 bis
2011 Professor an der Hochschule Esslingen mit den Fachgebieten Technische
Mechanik, Strömungsmechanik, Regelungstechnik und Simulation.
Prof. Dr.-Ing. Roland Mastel, 1952 in Karlsruhe geboren, 1972 bis 1977 Studi-
um des Maschinenbaus an der Universität Karlsruhe, 1977 bis 1982 Assistent am
Institut für Technische Mechanik der Fakultät Maschinenbau an der Universität
Karlsruhe, 1982 bis 1990 Berechnungsingenieur im Kernenergiebereich bei der
Firma Siemens (ehemals KWU) in Erlangen. Seit 1990 Professor an der Hoch-
schule Esslingen mit den Fachgebieten Technische Mechanik, Schwingungslehre
und Finite-Elemente-Methode.
Formelzeichen
Matrizen und Vektoren (hier einspaltige Matrizen) werden fett dargestellt
A Fläche J Drehmassenmatrix
Aadj zu A adjungierte Matrix J Drehmasse bezogen auf die
S
a Coriolisbeschleunigung (feste) Achse durch S
C
a Normal- oder Zentripetalbe- j imaginäre Einheit
n
schleunigung K Steifigkeitsmatrix
a Schwerpunktbeschleunigung k Drehsteifigkeitsmatrix
S D
a Tangentialbeschleunigung k Federkonstante
t
c Schallgeschwindigkeit k Drehfederkonstante
D
D Dämpfungsmatrix l Länge
d Dämpfungskonstante l reduzierte Pendellänge
red
E Elastizitätsmodul M Moment, Erregermoment
E Energie M Massenmatrix
E Kinetische Energie m Masse
kin
E Potentielle Energie m Federmasse
pot F
F Kraft, Erregerkraft N Nachgiebigkeitsmatrix
F Kraft-Vektor n Drehzahl
F Corioliskraft n Nachgiebigkeiten, Einflusszah-
C ik
F Dämpferkraft len
d
F Fliehkraft, Federkraft p Impuls
F
F Gewichtskraft S Schwerpunkt, Massenmittel-
G
F Normalkraft punkt
n
F resultierende Kraft, Reibungs- T Schwingungsdauer
R
kraft t Zeit
F Seilkraft V Vergrößerungsfunktion
S 1
F Tangentialkraft (cid:88) Geschwindigkeit(cid:3)
t
f Frequenz W Arbeit
n Nachgiebigkeit x
(cid:189) Auslenkung (Federweg) in x-,
G Gleitmodul y (cid:190)
y-, z-Richtung
g Fallbeschleunigung z (cid:191)
H komplexer Frequenzgang x Vektor der Freiheitsgrade des
h Höhe mechanischen Systems
I axiales Flächenmoment 2. xˆ Amplitude (der Auslenkung in
Ordnung x-Richtung)
I polares Flächenmoment 2. xˆ Amplitudenvektor
p
Ordnung x Komplexe Größe (der Auslen-
i Trägheitsradius kung)
J Massenträgheitsmoment, x(cid:4) Effektivwert
Drehmasse x (t) Zeitverlauf des Schwingweges
XIV Formelzeichen
x(cid:5) Geschwindigkeit (1. Zeitablei- (cid:47) logarithmisches Dekrement
tung) (cid:79) Wurzel der charakteristischen
(cid:5)x(cid:5) Beschleunigung (2. Zeitablei- Gleichung, Eigenwert
tung) (cid:80) Gleitreibungszahl, Massen-
x Mittelwert belegung
x Erzwungene Schwingung (par- (cid:83) = 3,14159 ...
p
tikuläre Lösung) (cid:85) Dichte
x , x Sinusschwingung, Kosinus- (cid:87) Zeit (dimensionslose)
s c
schwingung (cid:77)(t) Drehwinkel-Zeitfunktion
x gedämpfte (Eigen-) Schwin- (cid:77)(cid:5) Winkelgeschwindigkeit
d
gung (cid:5)(cid:77)(cid:5) Winkelbeschleunigung(cid:3)
xˆ k-ter Eigenvektor (cid:92) Drehwinkel
k
x Anfangsauslenkung in x- (cid:77) (cid:3) Nullphasenwinkel, Sinus-
0 os
Richtung schwingung
(cid:69) Winkel (cid:93) Phasenverschiebung
(cid:74) Winkel (cid:90) Kreisfrequenz
(cid:39) Differenz, Koeffizienten- (cid:90) Kreisfrequenz der gedämpften
d
determinante Eigenschwingung
(cid:71) Abklingkonstante (cid:90) i-te Eigenkreisfrequenz
i
(cid:84) Dämpfungswinkel (cid:58) Erregerkreisfrequenz
(cid:45) Dämpfungsgrad
