Table Of ContentPål G. Bergan Per Kr. Larsen Egil Mollestad
SVINGNING AV
KONSTRUKSJONER
2. utgave
Nasjonalbiblioteket
Depotbiblioteket
TAPIR FORLAG
© TAPIR FORLAG, 1993
ISBN 82-519-1139-7
Det må ikke kopieres fra denne boka ut over det som
er tillatt etter bestemmelsene i "Lov om opphavsrett
til åndsverk", "Lov om rett til fotografi" og "Avtale
mellom staten og rettighetshavernes organisasjoner
om kopiering av opphavsrettslig beskyttet verk i
undervisningsvirksomhet". Brudd på bestemmelsene
vil bli anmeldt.
Første utgave 1981
Andre utgave 1986
Opptrykk 1993
Trykk: Tapir
Bind: Sandnes Bokbinderi A/S
FORORD
Svingning av konstruksjoner er et fagområde som blir stadig mer aktuelt for
ingeniører. Dette skyldes blant annet utviklingen av slankere konstruksjons
typer og høyere utnyttelse av materialene, som igjen fører til mer svingnings-
ømfindtlige konstruksjoner. Videre har dette også en sammenheng med en
økende forståelse av den dynamiske oppførsels betydning for konstruksjonens
funksjon, levetid og sikkerhet. Hovedårsaken til den voksende interessen for
svingning må imidlertid her i Norge søkes i den stadig økende aktivitet på
kontinentalsokkelen, hvor de dynamiske laster fra bølger og strøm i sammen
heng med konstruksjonens respons er avgjørende for valg av konstruksjons
type og dimensjoner.
Denne boken er ment å gi det teoretiske fundament for konstruktører og ana
lytikere som skal arbeide med dynamiske konstruksjonsproblemer. Hoved
vekten er lagt på det dynamiske system med bare en frihetsgrad. Videre er
klassiske metoder basert på differensialligning i tid og rom behandlet. Dette
gir bakgrunnen for anvendte beregningsmetoder basert på matrise- og element
formuleringer, som idag vinner en stadig mer dominerende plass innen den
dynamiske analyse av større konstruksjoner. Framstillingen er i hovedsak
basert på en deterministisk modellering av last og respons, men en kort inn
føring i stokastisk svingningsanalyse er også gitt plass i boken. De ulike
problemstillinger er illustrert ved en rekke enkle beregningseksempler.
Boken er først og fremst tenkt som en lærebok i faget ”Svingning av konstruk
sjoner” som undervises på Bygningsingeniøravdelingen ved NTH. Den følger
samme oppsett og notasjon som de tidligere utgitte lærebøkene ”Matrisestatikk
og ”Knekning av søyler og rammer”. Disse bøkene, som danner en serie, er
ment å utgjøre en grunnstamme for den videregående statikkundervisningen
ved NTH. Forøvrig gjøres det oppmerksom på at boken "Dynamisk analyse av
konstruksjoner” av Ivar Langen og Ragnar Sigbjbmsson (Tapir, 1979), utfyller
denne boken når det gjelder mer avanserte emner, dette gjelder spesielt stokas
tisk analyse.
Forfatterne ønsker å takke Jon Aas for assistanse ved datamaskinstyrt uttegning
av en del diagrammer. Magne Nygård har vært behjelpelig ved korrekturles
ningen. Manuskriptet er maskinskrevet av Toril Jørgensen, Brit Mauring og
Sidsel Holter-Sørensen. Guri Berge har utført illustrasjonene.
Trondheim, juni 1981
forfatterne
FORORD TIL 2. UTGAVE
Denne utgaven av "Svingning av konstruksjoner” tilsvarer førsteutgaven, bort
sett fra oppretting av trykkfeil og noen små modifikasjoner av teksten.
Trondheim, november 1985
forfatterne
INNHOLD
1. INNLEDNING ................................................................... 1
1.1 Generell bakgrunn........................................................................... 3
1.2 Karakterisering av det dynamiske problem....... .......................... 5
1.3 Prinsippet for formulering av dynamiske likevektsligninger..... 6
2. SYSTEMER MED EN FRIHETSGRAD................................................. 11
2.1 Dynamisk likevekt .......................................................................... 13
2.2 Fri svingning .................................................................................... 17
2.2.1 Udempet system (c = 0) .................................................... 17
2.2.2 Dempet system (c 4= 0) ....................................................... 19
2.2.3 Måling av dempning ........................................................... 24
2.3 Tvungen svingning ved enkel harmonisk last ............................... 26
2.3.1 Udempet system (c = 0) .................................................... 26
2.3.2 Dempet system (c 4= 0) ...................................................... 29
2.4 Generell periodisk last ................................................................... 38
2.4.1 Tilpassing av vilkårlig periodisk last ................................ 38
2.4.2 Responsberegning på eksponensiell form ........................ 42
2.5 Impulslaster ........................ 44
2.5.1 Dynamisk respons for impuls ........................................... 44
2.5.2 Forenklet beregning for kort impuls ............................... 48
2.6 Duhamelintegralet........................................................................... 52
3. LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGEN FOR
KONTINUERLIGE SYSTEMER .................................................... 57
3.1 Aksialsvingninger i staver ............................................................... 59
3.2 Torsjonssvingninger i staver ........................................................... 64
3.3 Svingende streng ............................................................................ 65
3.4 Svingning av bjelker ........................................................................ 68
3.4.1 Etablering av differensialligningen .................................. 68
3.4.2 Løsning av differensialligningen for fri svingning........... 70
3.4.3 Løsning av bjelke-og rammesystemer ............................. 74
3.4.4 Aksialkraftens innflytelse på bøyesvingninger ................ 77
3.4.5 Innflytelse av skjærdeformasjon og rotasjonstreghet .... 80
3.4.6 Innvirkning av viskøs dempning ........................................ 83
3.5 Svingning av plater ........................................................................ 84
4. DYNAMISKE PRINSIPPER..................................................................... 89
4.1 Potensiell energi og virtuelt arbeid ............................................... 91
4.2 Hamiltons prinsipp ........................................................................ 94
4.3 Lagranges ligninger ........................................................................ 100
— VIII —
5. ENERGIMETODER....................................... 107
5.1 Rayleighs metode ............................................................................. 109
5.2 Rayleigh-Ritz metode...................................................................... 116
5.3 Elementmetoden.............................................................................. 122
5.3.1 Dynamiske ligninger for et element.................................. 122
5.3.2 Dynamiske ligninger for et elementsystem ....................... 125
5.3.3 Stavelementer ..................................................................... 127
5.3.4 Bjelkeelementer .................................................................. 130
5.3.5 Elementer for plane rammer ............................................. 135
5.3.6 Elementer for romlige rammer .......................................... 138
5.3.7 Konsentrerte masser og stivheter...................................... 141
5.4 Konsentrert massematrise ............................................................... 142
5.5 Aksialbelastede systemer ................................................................ 146
5.6 Overslagsmetoder og valg av beregningsmodell ............................ 149
5.7 Virkningen av konsentrerte tilleggsmasser .................................. 156
6. EGENVERDIER, FUNDAMENTEKSITASJON OG DEMPNING ..... 161
6.1 Ortogonalitetsegenskaper for svingeformene ................................ 163
6.2 Beregning av egenverdier ................................................................ 166
6.2.1 Generelt om egenverdiproblemet i svingning .................. 166
6.2.2 Metoder basert på similaritetstransformasjoner .............. 168
6.2.3 Invers vektoriterasjon ........................................................ 169
6.2.4 Simultan vektoriterasjon .................................................... 170
6.3 Modal superposisjon......................................................................... 171
6.3.1 Udempet system ................................................................. 171
6.3.2 Dempet system ................................................................... 174
6.3.3 Diskusjon av modal superposisjon .................................... 175
6.4 Reduksjon av størrelsen på det dynamiske problemet ................. 177
6.4.1 Statisk kondensering .......................................................... 177
6.4.2 Rayleigh-Ritz kondensering .............................................. 180
6.4.3 Mester-slave metoden ......................................................... 181
6.5 Superelementteknikk ....................................................................... 183
6.6 Modal syntese ................................................................................... 185
6.7 Eksitasjon fra fundament ................................................................ 187
6.8 Dempning .......................................................................................... 192
6.8.1 Energidissipasjon ved dempning ....................................... 192
6.8.2 Viskøs dempning................................................................. 194
6.8.3 Hysteresedempning ........................................................... 197
6.8.4 Ytre dempning .................................................................... 200
6.9 Representasjon av dempning .......................................................... 201
6.9.1 Rayleigh-dempning ............................................................. 201
6.9.2 Wilsons metode for ortogonal dempningsmatrise .......... 203
-IX-
7. NUMERISK INTEGRASJON AV EKSITERTE SYSTEMER ............. 205
7.1 Innledende betraktninger ............................................................... 207
7.2 Numerisk integrasjon av Duhamelintegralet ................................ 209
7.3 Differansemetoder............................................................................ 210
7.3.1 Den sentrale differansemetode ......................................... 210
7.3.2 Houbolts metode ............................................................... 212
7.4 Metoder basert på numerisk integrasjon ....................................... 213
7.4.1 Konstant initiell aksellerasjon .......................................... 213
7.4.2 Konstant gjennomsnittsaksellerasjon............................... 215
7.4.3 Lineær aksellerasjon .......................................................... 216
7.4.4 Newmarks £-metoder ...................................................... 217
7.4.5 Generaliserte Newmarkmetoder ....................................... 219
7.4.6 Runge-Kutta-metoder ........................................................ 222
7.5 Integrasjon av systemer med mange frihetsgrader........................ 223
7.6 Vurdering av integrasjonsmetodene ............................................... 226
7.6.1 Oversikt over kriterier ........................................................ 226
7.6.2 Stabilitet .............................................................................. 226
7.6.3 Nøyaktighet ........................................................................ 229
7.6.4 Andre forhold ..................................................................... 233
8. STOKASTISK ANALYSE........................................................................ 235
8.1 Fouriertransformasjon .................................................................... 237
8.2 Løsning i frekvensplanet ................................................................. 240
8.2.1 Sammenhengen mellom H(uj) og h(t) ............................. 241
8.3 Stokastiske prosesser....................................................................... 242
8.3.1 Sannsynlighetsteoretiske definisjoner.............................. 242
8.3.2 Stasjonære og ergodiske prosesser .................................... 244
8.3.3 Autokorrelasjon og spektraltetthet.................................. 247
8.4 Responsberegning for lineære systemer ....................................... 254
8.4.1 Respons forventningsverdi ................................................ 254
8.4.2 Responsens autokorrelasjon og autospektrum................ 255
8.5 Responsstatistikk.............................................................................. 264
8.5.1 Terskelkrysningsfrekvens .................................................. 265
8.5.2 Fordeling av responstopper for smalbåndsprosesser ...... 267
269
9. LITTERATUR
INNLEDNING
