Table Of ContentVOLKER NO LLAU
STATISTISCHE AN AL YSEN
LEHR UND BANDB'OCHER
DER INGENIEUR WISSENSCHAFTEN
37
Statistische Analysen
Mathematische Methoden der
Planung und Auswertung von Versuchen
vou Dr. se. uat. Volker Nollau
mit einem Anhang ALGOL-Programme
von Dr. rer. nat. Andreas Hahnewald-Busch
2. Anfiage
1979
Springer Basel AG
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothelr.
Nollau, Volker:
Statistische Analysen: math. Methoden d. Planung und Auswertung
von Versuchen 1v on Volker Noii au, Mit e. Anh. ALGOL-Programme1
von Andreaa Hahnewald-Bu~<'h.- 2. Au{!.- Basel, Stuttgart: Birk
hiiuser, 1979.-
(Lehr-und Handbiicher der lngeuieurwi~aenachaflen: 37)
NE: Hahnewald-Busch, Andreu: ALGOL-Programme
Nachdrucl: verboten.
Alle Rechte, insbesondere das der Ubenetzung in fremde
Sprachen und der Reproduktion auf photoAtatischem W ege
oder durch Mikrofi1m, vorhehalten.
© Springer Basel AG 1979
Ursprünglich erscbienen bei VEB Facbburhverlag Leipzig 1979
Lizenzausgabe fUr nichtl!ozialiatische Liinder:
Birk.hiiuser Verlag Baael, 1979
ISBN 978-3-0348-5350-7 ISBN 978-3-0348-5349-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-5349-1
Sofh:onr rcprint of thc hankovcr 1s t cdition 1979
Vorwort
Auf vielen Wissensgebieten, wie etwa lngenieurwissenschaften, Ökonomie, Chemie,
Physik, Biologie, Medizin. Psychologie. Pädagogik und in der Land- und Forst
wirtschaft, sowie fast allen Industriezweigen werden in zunehmendem Maße sta
tistische Analysen zur Planung und Auswertung von Beobachtungen, Messungen
und Versuchen mit quantitativ erlaßbaren Ergebnissen herangezogen.
Die Aufgabe des vorliegenden Buches soll es deshalb sein, Studierenden der Fach
und Ingenieurhochschulen. der Pädagogischen Hochschulen und Universitäten sowie
Absolventen der genannten Lehrstätten einen umfassenden Überblick über die wich
tigsten derzeit bekannten !'!tatistischen Analysen zu geben.
Das Buch ist seinem Charakter nach als Lehrbuch und als Nachschlagewerk für die
vielfältigen Möglichkeiten der Planung und statistischen Auswertung von Beob
achtungen, Messungen und Versuchen gedacht. Diese Konzeption wird durch eine
weitgehende Schematisierung in der Darstellung der einzelnen statistischen Analysen,
und zwar in der Form: Problemstellung - Versuchsplan - Mathematisches Modell
- Praktische Durchführung, verwirklicht. Dabei verstehen wir unter einem Ver
suchsplan ganz allgemein ein Schema, entsprechend dem die Messungen, Beob
achtungen bzw. Versuche durchzuführen sind. Die Form dieses Versuchsplanes wird
- ausgehend von der praktischen Problemstellung - wesentlich durch die vor
gesehene statistische Auswertung bestimmt. Der nur an einer praktischen Durch
führung der statistischen Analysen interessierte Leser kann auf die Darstellung des
mathematischen Modells weitgehend verzichten, das die mathematisch-statistische
Formulierung der Struktur der Versuchsergebnisse beinhaltet. Außerdem sind die
Abschnitte 3. bis 8. sowie zum größten Teil auch deren Unterabschnitte unabhängig
voneinander lesbar.
Eine einheitliche mathematische Begründung für die in den Abschnitten 3. bis 5.
angegebene Regressionsanalyse (Modell 1), Varianzanalyse (Modell l) und Kovarianz
analyse beinhaltet der Abschnitt 2. "Das allgemeine lineare Modell". Dieser Ab
schnitt wendet sich insbesondere an mathematisch interessierte Leser; die Kenntnis
der dort angegebenen Begriffe und Sachverhalte wird für die ausschließlich prak
tische Durchführung der in den folgenden Abschnitten angegebenen statistischen
Analysen nicht vorausgesetzt. Für die Diskriminanzanalyse (Abschnitt 6.), die
Varianzanalyse (Modell li) (Abschnitt 7.) und die Korrelationsanalyse (Abschnitt 8.)
werden die zugehörigen mathematischen Modelle im jeweiligen Abschnitt diskutiert
und die angegebenen Methoden mathematisch fundiert.
6 Vorwort
In vielen Fällen wird bei der Anwendung der angegebenen statistischen Analysen
- insbesondere beim Prüfen statistischer Hypothesen - vorausgesetzt, daß die
Ergebnisse der betrachteten Messungen, Beobachtungen bzw. Versuche normal
verteilt sind. Diese Voraussetzung ist bei zahlreichen praktischen Problemen erfüllt,
und zwar speziell dann, wenn die auftretenden Meß-(Beoba.chtungs- bzw. Versuchs-)
Fehler auf eine große Anzahl unterschiedlicher, im einzelnen nicht erlaßbarer Ein
fliisse zurückzuführen sind. (Die mathematische Formulierung dieses Sachverhalts
ist der Inhalt des zentralen Grenzwertsatzes, auf den wir in diesem Buch nicht weiter
eingehen (vgl. .z. B. [13]).) Gegebenenfalls besteht auch die Möglichkeit mit Hilfe
von Signifikanztests, wie z. B. dem x2-Anpassungstest oder dem KOLMOGOROV-Test
(vgl. z. B. [33]), zu prüfen, ob vom Vorliegen einer Normalverteilung ausgegangen
werden kann.
Die hier betrach~ten statistischen Analysen sind zu einem großen Teil - wenigstens
vom Ansatz her- von RoNALD AYLMER FisHER (1890 bis 1962), dem überragenden
englischen Statistiker der ersten Hälfte unseres Jahrhunderts, entwickelt worden.
Bei der Darstellung bedienen wir uns allerdings - einer neueren Entwicklung
folgend - nahezu ausschließlich des Matrizenkalküls. . Zum Verständnis der Ab
schnitte 2. bis 8. (insbesondere des jeweiligen mathematischen Modells) werden folg
lich einige Grundkenntnisse auf dem Gebiet der Matrizenrechnung vorausgesetzt,
die in 1.1. und 1.2. in zusammengefaßter Form angegeben sind. Außerdem wird davon
ausgegangen, daß der Leser mit den grundlegenden Begriffen der Wahrscheinlich
keitstheorie (wie z. B. Zufallsgröße. Wahrscheinlichkeitsverteilung, Erwartungswert
und Streuung) etwas vertraut ist. ·
Demgegenüber sind die bei der Behandlung statistischer Analysen zentralen Begriffe
des zufälligen Vektors, der zufälligen quadratischen Form sowie der mehrdimensio
nalen Normalverteilung in 1.3. bis 1.5. ausführlich dargestellt. Die Unterabschnitte
· 1.6. und 1. 7. geben eine Einführung in die Mathematische Statistik, von der keine
weiteren Kenntnisse beim Leser vorausgesetzt werden.
Im Anhang werden für nahezu alle angegebenen statistischen Analysen ALGOL-60-
Programme bereitgestellt, die von Herrn Dipl.-Math. A. HAHNEWALD-BUSCH er
arbeitet und getestet wurden. Außerdem sind diese Programme zum Rechnen und
Überprüfen der angegebenen Beispiele herangezogen worden, die sowohl die be
handelten Methoden als auch ihre verschiedenen Anwendungsmöglichkeiten illu
strieren.
Meinem hochverehrten Lehrer, Herrn Prof. Dr. P. H. MüLLER, habe ich sowohl für
die Anregung, dieses Buch zu schreiben, als auch in besonderem Maße für die bei
der Durchsicht des gesamten Manuskripts gegebenen wertvollen Hinweise zu danken.
Mein Dank gilt auch Fräulein I. TrrrEL und Frau G. BöHM für die sorgfältige Aus
führung der notwendigen Schreibarbeiten und nicht zuletzt dem VEB Fachbuch
verlag Leipzig für die angenehme Zusammenarbeit.
Selbstverständlich bin ich stets auch für Hinweise und kritische Bemerkungen aus
dem Leserkreis dankbar.
Volker Notlau
Inhaltsverzeichnis
1. Grundlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f1
1.1. Matrizen, Vektoren, Determinanten • . . . . . . . . . . 11
1.2. Abl~itungen von Linearformen und quadratischen Formen . 20
1.3. Zufällige Vektoren und mehrdimensionale Normalverteilung 28
1.4. Lineare Transformationen normalverteilter zufälliger Vektoren 36
1.5. Wahrscheinlichkeitsverteilungen zufälliger quadratischer Formen - x'-Verteilung
- F-Verteilung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.6. Stichproben und Stichprobenfunktionen - t-Verteilung . . . 47
1. 7. Signifikanztests - Punktschätzungen - Konfidenzintervalle. 50
2. /)(u allgemeine lineare Modtll dtr Mathemaliden Stati4tik . 58
2.1. Definition und Matrixform des allgemeinen linearen Modells 58
2.2. Die Methode der kleinsten Quadrate als Schätzprinzip . . . 63
2.3. Das GAuss-MARKOv-Theorem . . . . . . . . . . . . . 71
2.4. Reparametrisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.5. Eine kanonische Darstellung linearer Modelle und eine Punktschätzung für a' 92
2.6. Einfacher ·und doppelter t-Test . . . . . . . . 101
2.7. Konfidenzintervalle für schätzbare Funktionen . 108
2.8. Ein Test zum Prüfen linearer Hypothesen 113
2.9. Linearitätstest von R. A. FISHER . . . . . . . . 123
129
3.
3.1. Das Modell der linearen ~ion ..................... 129
3.2. Punktschätzungen und Konl.idenzintervalle für Regressionskoeffizienten und Re-
greesionsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.3. Tests zum Prüfen von Hypothesen bez. der Regreesionskoeffizienten. 144
3.4. Lineare Regreeaion mit unterschiedlicher Genauigkeit 152
3.5. Quasilineare Regreeeion 156
3.6. Box-Wn.soN-Methode . . . . . . . . . . . . . 173
4. Varianzanaly6t - Modell!. 191
4.1. BARTLETT-Test . . . . . . 192
4.2. Einfache Klasaifikation im Modell I . 194
4.3. Lineare Kontraste (SCHBm-Test und EVOP-Programme) . 202
8 Inhaltsverzeichnis
4.4. Kreuzklassüikation im Modell I (ohne Wiederholungen) . . . . . . • • 210
4.5. Additivitätstest von TuxEY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
4.6. Kreuzklassüikation im Modell I (mit Wiederholungen in gleicher Anzahl) 222
4.7. Kreuzklassifikation im Modell I (mit Wiederholungen in ungleicher Anzahl) 229
4.8. Zweifache hierarchische Klassüikation im Modell I . . . . . . . . . . . 240
5. KovarianzanalyBe . . . . . . . . . . . . . . . 246
5.1. (1,1)·Kiassifikation der Kovarianzanalyse (einfache Klassifikation mit einer Ko-
varia.blen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . 246
5.2. (2,1)-Klassüikation der Kovarianzanalyse (zweifache Klassifikation ohne Wieder-
holungen mit einer Kovariablen) ....................... 254
5.3: (2,2)-Klassifikation der Kovarianzanalyse (zweifache Klassifikation ohne Wieder-
holungen mit zwei Kovariablen) ...................... 259
DiBkriminanmruzlyBe . . . . . 266
Diskriminanzanalyse - Typ 2 . 266
Diskriminanzanalyse - Typ N (N > 2) . 277
7. VarianmnalyBe - M odelllI . . . ·. . . 283
7.1. Einfache Klassifikation im Modell II • . . . . . . . . . . . . . . . 283
7.2. Kreuzklassifikation im Modell II {mit Wiederholungen in gleicher Anzahl) 291
7.3. Zweifache hierarchische Klassifika,tion im Modell II . . . . . • • . . • . 296
7.4. Kreuzklassifikation im gemischten Modell {mit Wiederholungen in gleicher Anzahl) 303
8. Korrelationaanalyse (Regres8iCJ'ManaZy8e - ModeU Il) . . . . . . . 309
8.1. Korrelationsanalyse mittels des einfachen Korrelationskoeffizienten . 309
8.2. Korrelationsanalyse mittels der partiellen Korrelationskoeffizienten . 318
8.3. Korrelationsanalyse mittels der multiplen Korrelationskoeffizienten . 324
9. Ab&chließende Bemerlcungen. . ................ 328
An/lang: ALGOL-Programme 330
Al. Hinweise für den Benutzer . 330
A2. Programme zur Regressionsanalyse 332
A 2.1. LTEST: Linearitä.tstest von R. A. FISJI.&R 332
A2.2. REGRES: Lineare Regressionsanalyse .. 332
A2:3. QUASI: Quasilineare Regressionsanalyse 335
A2.4. VERGLEICH: Vergleichzweier Regressionsgeraden. 339
A3. Programm zur Diskriminanzanalyse: DISKRI 342
A4. Programme zur Varianzanalyse ......... . 344
A4.1. BTEST: BARTLETT-Test ............ . 344
A4.2. ATEST: Additivitätstest von TUXEY . . . . . . . 345
A4.3. ANOVA: Streuungszerlegung, Testgrößen, Punktschätzungen. 346
A4.4. ***VARIANZANALYSE***: Rahmenprogramm für A 4.1., A 4.2. und A 4.3. 354
A4.5. STEST: SOHEFFE·Test ........................ . 362
Inhaltsverzeichnis 9
A 5. Programm zur Kovarianzanalyse: KOVA . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 363
A 6. Programme für Matrizenoperationen: MATMAT, MATVEK, VEKMAT, TRAMAT,
INVMAT . . . . . . . . . . . . . . 366
A 7. Tafel 1: Quantile x);,, der x'-Verteilungen . . 369
A 8. Ta.felll: Qua.ntile tp;n der t-Verteilungen. . . 370
A 9. Tafel 111: Qua.ntile Fp;n,,tt, der F-Verteilungen 371
Literaturverzeichnis . 373
Sa.chwortverzeichnis. 376
