Table Of ContentIsenbart
Statistik flir Betriebswirte
Prof. Dr. Fritz Isenhart
Statistik fUr Betriebswirte
Lehr- und Arbeitsbuch der beschreibenden Statistik
mit praktischen Beispielen
Betriebswirtschaftlicher Verlag Dr. Th. Gabler· Wiesbaden
ISBN-13: 978-3-409-27091-5 e-1SBN-13: 978-3-322-86261-7
ISBN 3 409 27091 4
DOl: 10.1007/978-3-322-86261-7
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Vorwort
Der Betriebswirt hat in seiner beruflichen Tatigkeit standig mit quantitativen
GroBen umzugehen. In nahezu allen Bereichen wird der Betriebsablauf zahlen
mii.f3ig geplant und iiberwacht. Die dabei im einzelnen anfallenden Daten lassen
sich heute mit Hilfe von EDV-Anlagen miihelos speichern und stehen im
Bedarfsfalle jederzeit wieder zur Verfiigung. Ihre meist uniibersichtliche Fiille
zwingt jedoch dazu, diese Daten mit geeigneten Verfahren so aufzubereiten,
daB wesentliche Zustande und Vorgiinge klar hervortreten und leicht erkennbar
werden.
Das vorliegende Buch soIl nun Studierende und Wirtschaftspraktiker mit den
grundlegenden Verfahren auf dem Gebiet der beschreibenden Statistik vertraut
machen, die in viele Bereiche der Wirtschaft Eingang gefunden haben und mit
deren Hilfe der Praktiker Informationen gewinnen kann, die fiir seine Entschei
dungen unentbehrlich sind.
Da sich dieses Buch auch an Leser wendet, die in der Lektiire wissenschaftlicher
Texte weniger geiibt sind, wird stets an bereits Bekanntes angekniipft, urn
Neues zu erlautern. So wird jeder neue statistische Begriff unmittelbar nach
seiner Einfiihrung durch Beispiele erkHirt, damit er yom Leser mit bereits be
kannten Dingen identifiziert werden kann. Behandelte Rechenverfahren werden
an Beispielen aus dem Wirtschaftsleben vollstiindig durchgefiihrt. Zusatzlich
sind praktische FaIle als Obungsaufgaben angegeben, zu denen gleichfalls
liickenlose und ausfiihrliche Losungen vorliegen.
Die Beispiele dienen dem Verstiindnis des Lehrstoffes und konnen daher bei
der Lektiire nicht iibergangen werden, wenn die Zusammenhange liickenlos
verst and en werden soIl en. Die Obungsaufgaben dienen der Kontrolle und der
Festigung des Verstiindnisses behandelter Gebiete und sollten unbedingt an der
Stelle gerechnet werden, an der sie in den Text eingefiigt sind. Numerische
Beispiele und Obungsaufgaben wurden so konzipiert, daB sie yom Leser ohne
Miihe gerechnet werden konnen. Hierzu wird allerdings die Verwendung eines
einfachen elektronischen Taschenrechners1) dringend empfohlen, da die sich
stiindig wiederholenden Multiplikationen und Divisionen sonst die Bearbei
tungszeiten erheblich ausdehnen.
Fritz Isenbart
1) Ein solcher Taschenrechner muE fUr die hier anfallenden Aufgaben besitzen: 4 Grundrech
nungsarten, Gleitkomma. Von zusatzlichem Nutzen ist die Exponentialfunktion aX.
Inhaltsverzeichnis
Seite
A. Einfiihrung - Grundbegriffe 9
I. Begriff der Statistik und Hauptgebiete 9
II. Statistisches Material . . . . . . . . 10
1. Merkmale und ihre Auspragungen 10
2. Gewinnung von statistischem Material 11
B. Beschreibung eines Merkmals . . . . . . . . . . . 12
I. Ungruppierte Beobachtungswerte, Rangwertreihe 12
II. Gruppierte Beobachtungswerte, Haufigkeitsverteilung, empirische
Verteilungsfunktion 13
III. LokalisationsmaBe 22
1. Arithmetisches Mittel 22
2. Median (Zentralwert, Halbwert) 25
3. Geometrisches Mittel 27
IV. Prozentpunkte 29
V. StreuungsmaBe 32
1. Empirische Varianz und Standardabweichung 32
2. Variationskoeffizient . . . . . . . . . . . . 38
3. Prozentbreiten, in denen ein vorgegebener Anteil von
Beobachtungswerten liegt . . . . . . . . . . . . . 39
c. Beschreibung zweier Merkmale . . . . . . . . . 41
I. Beobachtungsdoppelreihe, Streuungsdiagramm 41
II. Gruppierung der Beobachtungswerte, Haufigkeitsverteilungen 45
III. Abhangigkeit im Mittel (Regression) . . . . . . . . . . . . 49
Seite
IV. Ausgleichende Regressionsgeraden ....... . 55
1. Ausgleichende Regressionsgeraden fUr gruppierte
Beobachtungswerte . . . . . . . . . . . . . . 55
2. Ausgleichende Regressionsgeraden fUr ungruppierte
Beobachtungswerte 60
3. Zusammenfassung 63
V. Korrelation . . . . . 63
D. Elementare Zeitreihenanalyse 67
I. Trendgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate 67
II. Trendkomponente nach der Methode der gleitenden Mittelwerte 74
E. Indexzahlen 78
I. Allgemeines 78
II. Zusammengesetzte Indexzahlen 79
1. Umsatzindex 79
2. Preisindizes . 79
3. Mengenindizes. 80
4. Zusammenfassung 81
Losungen zu den tJbungsaufgaben 85
Literaturhinweise 107
Stichwortverzeichnis 109
A. Einfiihrung - Grundbegriffe
Lernziel
Nach der Lektiire dieses Abschnittes soUten Sie den Begriff des Merkmals
und damit zusammenhiingende Begriffe wie Merkmalstriiger, Merkmals
auspriigung, Beobachtungswert an Beispielen aus dem Wirtschaftsleben
erliiutern konnen.
I. Begriff der Statistik nud Hanptgebiete
Unter dem Begriff S tat i s t i k fapt man heute allgemein die Methoden zu
sammen, die der quantitativen (zahlenmiipigen) Untersuchung von Massen
erscheinungen in Natur und Gesellschaft dienen.
Diese formalen Methoden sind unabhiingig vom Gebiet des jeweiligen Unter
suchungsgegenstandes (z. B. Wirtschaft, Technik, Medizin) stets die gleichen,
und es hat sich eingebiirgert, sie in die Hauptgebiete
• beschreibende (deskriptive) Statistik und
• schlieBende (induktive) Statistik
zu unterteilen.
Die Methoden der b esc h rei ben den S tat i s t i k dienen dazu, an Hand
von (konkreten) Beobachtungsdaten Zustiinde und Vorgiinge zu beschreiben.
Diese Beschreibung kann durch die Angabe von Hiiufigkeitsverteilungen, stati
stischen MaBzahlen, Zeitreihen oder Indexzahlen vorgenommen werden. Giiltig
keit haben solche Beschreibungen naturgemiiB nur fur den Beobachtungsbereich
(die spezielle Stichprobe), aus dem die Angaben gewonnen worden sind.
Will man auf allgemeine Gesetzmiipigkeiten schlieBen, die iiber den Beobach
tungsbereich hinaus Giiltigkeit haben, so muB man sich der Methoden der
s chI i e Ben den S tat i s t i k bedienen. Die Handhabung dieser hoheren
statistischen Methoden setzt jedoch die Kenntnis gewisser Grundtatsachen del'
Wahrscheinlichkeitsrechnung voraus, deren Erorterung den Rahmen dieses
Buches sprengen wiirde.
Es sei noch darauf hingewiesen, daB die schlieBende Statistik zur Gewinnung
ihrer Aussagen sogenannte Stichprobenfunktionen heranzieht, die im wesent
lichen den (hier im folgenden behandelten) MaBzahlen del' beschreibenden Sta
tistik entsprechen. Die Kenntnis der Methoden der beschreibenden Statistik ist
daher auch Voraussetzung zur richtigen Anwendung der hoheren Methoden der
schlieBenden Statistik.
10 Einfiihrung - Grundbegriffe
II. Statistisches Material
1. Merkmale und ihre Auspragungen
Jede statistische Erhebung dient zuniichst dem Zweck, an Mer k mal s t r ii
g ern Auspriigungen von interessierenden Merkmalen (M e r k mal s a u s
p r ii gun g en) jestzusteHen. Zu dies em Zweck wird aus der Gesamtheit der
in Frage kommenden Merkmalstriiger eine Anzahl entnommen, an der die je
weirs interessierenden Merkmalsauspriigungen beobachtet oder gemessen wer
den. Die so gewonnenen einzelnen Werte bezeichnet man als B e 0 b a c h -
tun g s w e r t e oder M e j3 w e r t e.
Zur ErHiuterung diesel' grundlegenden Begriffe seien hier zunachst drei prak
tische Beispiele aus dem Bereich del' Wirtschaft angefUhrt.
• Beispiel!
In einer Kaffeerosterei werden 500-g-Packungen vollmaschinell abgefiillt.
Man interessiert sich fUr die genauen Fiillgewichte der einzelnen Packungen,
die aus technischen und wirtschaftlichen Griinden von der Norm 500 g nach
oben und unten abweichen werden.
Hier ist das interessierende Mer k mal das genaue Fiillgewicht in
Gramm. Mer k mal s t rag e r ist die einzelne Packung. (Sie tragt das
Merkmal: Das genaue Fiillgewicht betragt x Gramm.) Geht man z. B. davon
aus, daB nur Fiillgewichte x zwischen 480 g und 520 g denkbar sind, so ist
jede reelle Zahl zwischen 480 und 520 eine mogliche Mer k mal s a u s -
p rag u n g. Wird nun das Fiillgewicht einzelner Packungen genau aus
gewogen, so erhalt man die speziellen B eo b a c h tun g s w e r t e.
• Beispiel2
Zehnstiickweise abgepackte Fotoblitzlampen werden auf nichtfunktions
fahige Lampen untersucht. Hier ist das interessierende Mer k mal die An
zahl del' nichtfunktionsfahigen Stiicke (Schlechtstiicke) in einer Packung.
Mer k m a 1st rag e r ist somit die Packung. (Sie tragt das Merkmal: An
zahl der Schlechtstiicke ist x.) Die Anzahl der Schlechtstiicke kann im giin
stigsten FaIle 0 und im ungiinstigsten FaIle 10 betragen. Als Mer k
m a I s au s p rag u n g e n kommen mithin x = 0, 1, 2, ..., 10 in Betracht.
• Beispie13
In einem Betrieb solI die Belegschaft nach dem Familienstand untergliedert
werden. Interessierendes Mer k mal ist also der Familienstand. Die mog
lichen Mer k mal s au s p rag u n g e n sind: ledig, verheiratet, verwitwet,
geschieden. T rag e r des Merkmals Familienstand sind die einzelnen
Belegschaftsangehorigen.
Die in den Beispielen 1 und 2 betrachteten Merkmale unterscheiden sich
wesentlich yom Merkmal des Beispiels 3. Wahrend man in den ersten beiden
Beispielen die Merkmalsauspragungen von vornherein durch Zahlen (Quanti
taten) angeben kann, muB man die Merkmalsauspragungen des Beispiels 3
durch Eigenschaften (Attribute, Qualitaten) beschreiben. Aus diesem Grunde
Einfuhrung - GrundbegTifje 11
unterscheidet man in der Statistik ganz allgemein zwischen qua n tit a t i -
v e n und qua lit a t i v e n Mer k mal e n.
Die quantitativen Merkmale unterteilt man noch nach einem weiteren Gesichts
punkt. 1m Beispiel 1 wird ein Merkmal betrachtet, das in dem vorgegebenen
Intervall jeden Wert annehmen kann. Man sagt auch, das Merkmal variiert
innerhalb dieses Intervalls stetig, und bezeichnet solche Merkmale als s t e -
t i geM e r k m a I e. Kann das Merkmal nicht jeden Wert eines Intervalls an
nehmen, sondern nur einzelne (diskrete) Werte (wie im Beispiel 3 die Werte
x = 0, 1, 2, ..., 10), so spricht man von einem nichtstetigen oder dis k ret e n
Merkmal.
In Tabelle 1 ist die hier getroffene Unterteilung der Merkmale noch einmal
zusammengefaBt.
Tab. 1: Merkmale und ihre Auspriigungen
Merkmal Merkmalsauspragungen
quantitativ
stetig alle Punkte eines vorgegebenen Intervalls
diskret einzelne Punkte auf der Zahlengeraden
qualitativ bezeichnet durch Attribute
2. Gewinnung von statistischem Material
Als s tat i s tis c h e sMa t e ria 1 oder Be 0 b a c h tun 9 sma t e ria I be
zeichnet man die Gesamtheit der nach einer Erhebung vorliegenden Mej3- oder
Beobachtungswerte. Sind diese Werte in der Reihenfolge ihres Auftretens - in
der Regel also vollig ungeordnet - notiert worden, so spricht man auch von der
UrI i s t e.
Es gibt nun verschiedene E r h e bun g s tee h n ike n zur Gewinnung des
statistischen Materials:
- 1m betrieblichen Bereich wird man sich die benotigten Werte iiberwiegend
durch d ire k t e Me s sun g oder Beobachtung verschaffen.
1m Bereich der Marktforschung und der Meinungsforschung bedient man
sich weitgehend der Erhebung durch personliche Befragung (I n t e r -
vie w s).
- Die amtliche Statistik in der Bundesrepublik (Statistisches Bundesamt, sta
tistische Landesamter, kommunale statistische Amter) fiihrt Erhebungen in
der Hauptsache mit Hilfe von F rag e bog e n durch.
Da mit jeder neuen Erhebung teilweise erhebliche Kosten verbunden sind, wird
man nach Moglichkeit versuchen, Daten aus bereits vorliegenden Erhebungen
zu geplanten Untersuchungen zu verwenden. 1m Betrieb kann daher in vielen
Fallen von den Unterlagen des Rechnungswesens ausgegangen werden.
B. Beschreibung eines Merkmals
Lernziel
Nachdem Sie diesen Abschnitt durchgearbeitet haben, sollten Sie Ihnen
vorliegendes statistisches Beobachtungsmaterial (aus der Beobachtung
eines Merkmals) beschreiben k6nnen, und zwar ggf. durch
- Haufigkeitsverteilung und empirische Verteilungsfunktion,
- LokalisationsmaBe,
- StreuungsmaBe.
I. Ungruppierte Beobachtungswerte, Rangwertreihe
Wir wollen hier von einem Beispielausgehen, bei dem die Gewinnung des sta
tistischen Materials gerade abgeschlossen ist und die Beobachtungswerte uns in
Form der Urliste ungeordnet und ungruppiert vorliegen. 1m AnschluB an Bei
spiel 1 k6nnen wir uns vorstellen, daB an einem Arbeitstag in der Kaffeer6sterei
zufallig1) zehn 500-g-Packungen der Produktion entnommen und auf ihr genaues
Fiillgewicht untersucht worden sind. Die dabei im einzelnen beobachteten Fiill
gewichte finden wir im Beispiel 4 notiert.
• Beispiel4
Zufallsauswahl von zehn 500-g-Packungen aus einer Tagesproduktion. Fest
stellung der Fiillgewichte (gerundet auf ganze Gramm).
Urliste: 495, 502, 512, 496, 508, 503, 496. 504, 516, 488.
In dies em Beispiel ist also aus der Gesamtheit der Tagesproduktion eine Stich
probe vom Umfang n = 10 entnommen worden. Die einzelnen Beobachtungs
werte in der Reihenfolge ihres Auftretens bezeichnen wir im folgenden mit
xv2), wobei 'Jl im Beispiel 4 die Werte 1, 2, ..., 10 und allgemein die Werte 'Jl
1, 2, ..., n annimmt. In Beispiel 4 gilt also
Xl = 495 g, X2 = 502 g, ..., X10 = 488 g.
Ordnet man die in der Urliste enthaltenen Beobachtungswerte Xv der
Groj3e nach so, daj3 der kleinste Wert am Anfang und der groj3te Wert am
Ende stehen, erhiilt man die sog. Ran g w e r t rei h e.
Um die Rangwerte von den Beobachtungswerten unterscheiden zu k6nnen, set
zen wir bei ersteren das 'Jl in eine eckige Klammer. Xlv] bezeichnet dann den
'Jl-ten Rangwert. In Beispiel 4 lautet der 1. Rangwert (kleinster Beobachtungs
wert) X[1] = 488 und der 10. Rangwert (gr6Bter Beobachtungswert) X[lO] = 516.
In der folgenden Tabelle 2 sind fiir das Beispiel 4 die Rangnummern ['Jl] voll
standig angegeben. Es gilt hier: Der 1. Beobachtungswert ist 2. Rangwert
1) Die Zufalligkeit der Auswahl ware in unserem Beispiel gewahrt, wenn jede an diesem Ar
beitstag produzierte Packung die glelche Chance hatte, in die Stichprobe zu gelangen.
2) Lies: x nil. v = kleiner griechischer Buchstabe.
