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Stabilit(cid:127)at und gro(cid:25)e Verschiebungen in
der Topologie- und Formoptimierung
von
Roman Kemmler
Bericht Nr. 41 (2004)
Institut fu(cid:127)r Baustatik der Universit(cid:127)at Stuttgart
Professor Dr.-Ing. E. Ramm
Stuttgart 2004
(cid:13)c Roman Kemmler
Berichte k(cid:127)onnen bezogen werden u(cid:127)ber:
Institut fu(cid:127)r Baustatik
Universit(cid:127)at Stuttgart
Pfa(cid:11)enwaldring 7
D{70550 Stuttgart
Tel.: 0711 / 685 6123
Fax: 0711 / 685 6130
http://www.uni-stuttgart.de/ibs/
Alle Rechte, insbesondere das der U(cid:127)bersetzung in andere Sprachen, vorbehalten. Ohne Genehmi-
gung des Autors ist es nicht gestattet,diesen Berichtganz oder teilweiseauf photomechanischem,
elektronischem oder sonstigem Wege zu kommerziellen Zwecken zu vervielf(cid:127)altigen.
ISBN 3-00-013114-0
Stabilit(cid:127)at und gro(cid:25)e Verschiebungen in
der Topologie- und Formoptimierung
Von der Fakult(cid:127)at fu(cid:127)r Bau{ und Umweltingenieurwissenschaften
der Universit(cid:127)at Stuttgart zur Erlangung der Wu(cid:127)rde eines Doktors
der Ingenieurwissenschaften (Dr.-Ing.) genehmigte Abhandlung
vorgelegt von
Roman Kemmler
aus Hilzingen
Hauptberichter: Prof. Dr.-Ing. Ekkehard Ramm
Mitberichter: Prof. Dr. Ole Sigmund
Tag der mu(cid:127)ndlichen Pru(cid:127)fung: 9. Januar 2004
Institut fu(cid:127)r Baustatik der Universit(cid:127)at Stuttgart
Stuttgart 2004
Zusammenfassung
Die anhand der Strukturoptimierung generierten Tragwerke sind bezu(cid:127)glich den getrof-
fenen Annahmen fu(cid:127)r den Optimierungsprozess optimal. Aus diesem Grund mu(cid:127)ssen alle
diejenigen E(cid:11)ekte im Optimierungsprozess aufgenommen werden, welche einen bedeuten-
den Ein(cid:13)uss auf das Ergebnis haben k(cid:127)onnen.
MitderBeru(cid:127)cksichtigungeinernichtlinearenKinematikk(cid:127)onnenzweiPh(cid:127)anomenebeschrie-
ben werden. Zum einen ist es die nichtlineare Beziehung zwischen Einwirkung und Struk-
turantwort. Zum anderen k(cid:127)onnen kritische Punkte einer Struktur bestimmt werden. Ein
Schwerpunkt der vorliegenden Arbeit ist die Annahme von gro(cid:25)en Verschiebungen bei der
Topologieoptimierung. Auf der Basis der nichtlinearen Kinematik k(cid:127)onnen verschiedene
Stei(cid:12)gkeitskriterien entwickelt werden. Fu(cid:127)r die materielle Topologieoptimierung wird ein
Vorschlag unterbreitet, anhand dessen lokale Entwurfskriterien ohne explizite Abh(cid:127)angig-
keit zu den Entwurfsvariablen beru(cid:127)cksichtigt werden k(cid:127)onnen.
Zur Generierung von (cid:13)exiblen Strukturen werden zwei Problemstellungen untersucht. Bei
den Transport-Mechanismen ist das Ziel, die Aktuatorleistung so gut wie m(cid:127)oglich auf
ein Werkstu(cid:127)ck zu u(cid:127)bertragen. Es wird gezeigt, dass die Erweiterung auf eine nichtli-
neare Kinematik zu einem besseren Verh(cid:127)altnis zwischen Aktuatorleistung und der im
Werkstu(cid:127)ck gespeicherten Dehnungsenergie fu(cid:127)hrt. Auf der gleichen Annahme werden Pfad-
verfolgungsmechanismen entworfen, welche einer gekru(cid:127)mmten Bahn folgen k(cid:127)onnen. Zur
Erzielung einer m(cid:127)oglichst eindeutigen Materialverteilung im Entwurfsraum werden ver-
schiedene Stei(cid:12)gkeitskriterien, welche den Kontakt mit dem Werkstu(cid:127)ck approximativ be-
schreiben, diskutiert.
Um Strukturen zu generieren, welche fu(cid:127)r ein vorgegebenes Sicherheitsniveau kein Instabi-
lit(cid:127)atsverhalten aufzeigen, werden kritische Lasten anhand zweier verschiedener Verfahren
ermittelt. Eine Absch(cid:127)atzung der kritischen Laststufe erfolgt durch eine lineare Eigenwert-
analyse und wird als Nebenbedingung in das Optimierungsproblem eingearbeitet. Um
auch bei nichtlinearem Vorbeulverhalten eine gute Vorhersage zu erhalten werden in ei-
nem n(cid:127)achsten Schritt kritische Punkte direkt mit einem erweiterten System berechnet.
Hierdurch kann auch die Antwort imperfekter Strukturen beru(cid:127)cksichtigt werden, wobei
diese in der Regel ein stark nichtlineares Vorbeulverhalten aufweisen. Anhand der vorge-
stellten Verfahren werden ebenfalls ma(cid:25)gebende Imperfektionsformen generiert.
Die nichtlinearen Optimierungsaufgaben werden unter Zuhilfenahme gradientenbasier-
ter Verfahren gel(cid:127)ost. Fu(cid:127)r alle Fragestellungen werden die Sensitivit(cid:127)aten auf Basis des
adjungierten Ansatzes hergeleitet. Zur e(cid:14)zienten L(cid:127)osung der Entwurfsaufgaben werden
Anmerkungen zur Nutzung der Potentialeigenschaft gemacht. Anhand von ausgew(cid:127)ahlten
Beispielen werden die vorgestellten Entwurfsaufgaben und die algorithmische Umsetzung
veri(cid:12)ziert.
Abstract
Structures generated by structural optimization are optimal with regard to the assumpti-
ons made for the optimization process. Therefore, all e(cid:11)ects that could have a signi(cid:12)cant
in(cid:13)uence on the result have to be included in the optimization process.
Taking non-linear kinematics into consideration, two phenomena can be described. First-
ly, the non-linear relation between e(cid:11)ect and structural response. Secondly, critical points
of a structure can be determined. A main focus of this thesis is the assumption of large
displacements in topology optimization. Several sti(cid:11)ness criteria can be developed on the
basis of the non-linear kinematics. For material topology optimization a proposal is made
that allows local design criteria to be taken into consideration without explicit dependen-
cy on the design variables.
In order to generate (cid:13)exible structures two types of the problem will be investigated. For
transport mechanisms, the object is to transfer the actuator power in the best way as
possible to a work piece. It is shown that the enhancement towards non-linear kinematics
yields a better relationship between the actuator power and the strain energy stored in
the work piece. Based on the same assumption path tracing mechanisms are designed,
which can follow a curved path. To achieve the clearest possible material distribution in
the design space, various sti(cid:11)ness criteria are discussed that describe approximately the
contact of actuator and work piece.
To create structures that do not show unstable behavior for a prescribed safety level, criti-
cal loads are determined using two di(cid:11)erent methods. The critical load level is estimated
by a linear eigenvalue analysis and is incorporated into the optimization problem as a
constraint. In the next step, critical points are calculated directly with an extended sy-
stem in order to obtain a good prediction even for non-linear pre-buckling behavior. This
also allows taking into consideration the response of imperfect structures, which generally
show a strong non-linear pre-buckling behavior. The method presented is also utilized to
generate the decisive imperfection shape.
Non-linear optimization problems are solved using gradient-based methods. For all pro-
blems the sensitivities are determined on the basis of the adjoint approach. Further more,
the use of potential character in (cid:12)nding e(cid:14)cient solutions to the design problems are
commented. Finally, the design cases presented and the algorithmic implementation are
veri(cid:12)ed by selected examples.
Vorwort
Die vorliegende Arbeit entstand w(cid:127)ahrend meiner T(cid:127)atigkeit als Stipendiat des DFG Gra-
duiertenkollegs \Modellierung und Diskretisierungsmethoden fu(cid:127)r Kontinua und Str(cid:127)omun-
gen" am Institut fu(cid:127)r Baustatik der Universit(cid:127)at Stuttgart.
Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr.-Ing. Ekkehard Ramm, der mir an seinem Insti-
tuteinenoptimalenRahmenfu(cid:127)rmeineForschungsarbeitbot.SeineAnregungenzudiesem
Thema sowie sein f(cid:127)orderndes wissenschaftliches Interesse haben diese Arbeit entscheidend
gepr(cid:127)agt.
Herrn Prof. Dr. Ole Sigmund m(cid:127)ochte ich recht herzlich fu(cid:127)r sein Interesse an meiner Arbeit
und die U(cid:127)bernahme des Mitberichts danken. Ich habe mich sehr u(cid:127)ber seine spontane Be-
reitschaft gefreut, meine Arbeit zu begutachten und extra zu meiner Doktorpru(cid:127)fung aus
D(cid:127)anemark anzureisen.
Meinen Kollegen am Institut fu(cid:127)r Baustatik danke ich fu(cid:127)r die angenehme Zeit, ihre Hilfs-
bereitschaft und die zahlreichen wissenschaftlichen Diskussionen und wertvollen Hinweise,
die zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben. Ein besonderer Dank gebu(cid:127)hrt dabei
Stefan Schwarz, Holger Steeb und Kurt Maute, durch die ich nicht nur bei fachlichen
Themen neue Einblicke gewonnen, sondern in denen ich auch echte Freunde gefunden ha-
be. Daru(cid:127)ber hinaus danke ich Gian Antonio D’Addetta fu(cid:127)r die angenehme Zeit w(cid:127)ahrend
unseres gemeinsamen Pendelns zwischen Karlsruhe und Stuttgart.
Bei der Deutschen Forschungsgemeinschaft m(cid:127)ochte ich mich fu(cid:127)r das Stipendium im Rah-
men des Graduiertenkollegs Modellierung und Diskretisierungsmethoden fu(cid:127)r Kontinua
und Str(cid:127)omungen an der Universit(cid:127)at Stuttgart bedanken.
Schlie(cid:25)lichm(cid:127)ochteichmichganzbesondersherzlichbeimeinenEltern,meinerFrauNicole
und den Kindern Elena und Felix bedanken. Ihr Verst(cid:127)andnis fu(cid:127)r meine Arbeit und die
st(cid:127)andigen Motivationsschu(cid:127)be waren ein unverzichtbarer Ru(cid:127)ckhalt.
Stuttgart, im Januar 2004 Roman Kemmler
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Zielsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Gliederung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Konzept der Strukturoptimierung 7
2.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Optimierungsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Optimierungsalgorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Entwurfsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Analysemodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Strukturverhalten bei nichtlinearer Kinematik 17
3.1 Nichtlineare Strukturantwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Kritische Punkte und Imperfektionsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Grundlagen der nichtlinearen Strukturanalyse 23
4.1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1.1 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1.2 Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.3 Werksto(cid:11) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Gleichgewichtsaussage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.1 Prinzip der virtuellen Verschiebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.2 Linearisierung des PvV in diskretisierter Form . . . . . . . . . . . . 27
4.3 Pfadverfolgung und Stabilit(cid:127)atsberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3.1 Pfadverfolgung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3.2 Bestimmung kritischer Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5 Grundlagen der Topologie- und Formoptimierung 35
5.1 Topologieoptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2 Formoptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6 Grundelemente der Sensitivit(cid:127)atsanalyse 45
6.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.2 Typen von Sensitivit(cid:127)atsanalysen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.2.1 Numerische Di(cid:11)erentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.2.2 Analytische Di(cid:11)erentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
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