Spannungs-Verformungsverhalten granularer Materialien am Beispiel von Berliner Sand

152 Pages·2000·2.686 MB·German

by  Müllerschön D.I.H.

Spannungs-Verformungsverhalten granularer
Materialien am Beispiel von Berliner Sand
Von der Fakult(cid:127)at Bauingenieur- und Vermessungswesen
der Universit(cid:127)at Stuttgart zur Erlangung der Wu(cid:127)rde
eines Doktor-Ingenieurs (Dr.-Ing.)
genehmigte Abhandlung
Vorgelegt von
Dipl.-Ing. Heiner Mu(cid:127)llersch(cid:127)on
aus
Nu(cid:127)rtingen
Hauptberichter: Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Ehlers
Mitberichter: Prof. Dr.-Ing. Pieter Vermeer
Tag der mu(cid:127)ndlichen Pru(cid:127)fung: 07. 08. 2000
Institut fu(cid:127)r Mechanik (Bauwesen) der Universit(cid:127)at Stuttgart
2000
Bericht Nr. II-6 aus dem Institut fu(cid:127)r Mechanik (Bauwesen), Lehrstuhl II,
Universit(cid:127)at Stuttgart
Herausgeber:
Prof. Dr.-Ing. W. Ehlers
c Heiner Mu(cid:127)llersch(cid:127)on
(cid:13)
Institut fu(cid:127)r Mechanik (Bauwesen)
Lehrstuhl II
Universit(cid:127)at Stuttgart
Pfa(cid:11)enwaldring 7
70569 Stuttgart
Alle Rechte, insbesondere das der U(cid:127)bersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten. Ohne
Genehmigung des Autors ist es nicht gestattet, dieses Heft ganz oder teilweise auf foto-
mechanischem Wege zu vervielf(cid:127)altigen.
Vorwort
Die vorliegende Arbeit entstand w(cid:127)ahrend meiner T(cid:127)atigkeit als wissenschaftlicher Mitar-
beiter am Institut fu(cid:127)r Mechanik (Bauwesen) der Universit(cid:127)at Stuttgart.
Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Ehlers fu(cid:127)r die Anregung zu die-
ser Arbeit, fu(cid:127)r seine Unterstu(cid:127)tzung und F(cid:127)orderung sowie fu(cid:127)r die U(cid:127)bernahme des Haupt-
berichts.
Herrn Prof. Dr.-Ing. Pieter Vermeer danke ich fu(cid:127)r die kritische Auseinandersetzung mit
meiner Arbeit und die bereitwillige und schnelle U(cid:127)bernahme des Mitberichts.
Desweiteren danke ich Herrn Vermeer und allenMitarbeitern des Instituts fu(cid:127)r Geotechnik
der Universit(cid:127)at Stuttgart fu(cid:127)r die gute und unbu(cid:127)rokratische Zusammenarbeitinsbesondere
im Bereich experimenteller Fragestellungen.
NichtzuletztbedankeichmichbeiallenKollegenundMitarbeiternamInstitutfu(cid:127)rMecha-
nik(Bauwesen) derUniversit(cid:127)atStuttgartfu(cid:127)rdasangenehmeundfreundlicheArbeitsklima
und fu(cid:127)r die in vielfacher Hinsicht hilfreiche Unterstu(cid:127)tzung.
Hervorheben m(cid:127)ochte ich dabei die Hilfe von Martin Ammann, Peter Blome und Peter
Ellsiepen, die durch intensives Korrekturlesen wesentlich zur Verbesserung der Arbeit
beigetragen haben.
Au(cid:25)erdem bedanke ich mich ganz herzlich bei allen wissenschaftlichen Hilfskr(cid:127)aften fu(cid:127)r
die tatkr(cid:127)aftige Unterstu(cid:127)tzung, vor allem bei der Durchfu(cid:127)hrung von Versuchen sowie bei
Ralf Plonus fu(cid:127)r die fruchtbare Zusammenarbeit bei der Entwicklung neuer experimentel-
ler Methoden.
Abschlie(cid:25)end gilt mein ganz besonderer Dank meiner lieben Frau Carola, deren Un-
terstu(cid:127)tzung und Verst(cid:127)andnis ein wesentlicher Baustein zum Gelingen dieser Arbeit war.
Stuttgart, imAugust 2000 Heiner Mu(cid:127)llersch(cid:127)on
Inhaltsverzeichnis
Einleitung 1
Motivation und Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Voraussetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Gliederung und Umfang der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1 Experimentelle Beobachtungen 7
1.1 Homogene mehraxiale Elementversuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Triaxialversuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Rotationssymmetrische Probengeometrie . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Triaxialanlage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.3 Probenaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.4 Messung der Probendeformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.5 Ein(cid:13)u(cid:25) der Probenschlankheit und der
Probenrandbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3 Allgemeines Materialverhalten granularer Sto(cid:11)e . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.1 Ein(cid:13)u(cid:25) des Lode-Winkels bei deviatorischer Belastungsrichtung . . 30
1.4 Charakterisierung des Versuchssandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5 Versuchsergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.5.1 Versuche mit Ent- und Wiederbelastungszyklen . . . . . . . . . . . 35
1.5.2 Kompressionsversuche: (cid:27)1 > (cid:27)2 = (cid:27)3 . . . . . . . . . . . . . . . 36
j j j j j j
1.5.3 Hydrostatische Kompressionsversuche: (cid:27)1 = (cid:27)2 = (cid:27)3 . . . . . . . 36
j j j j j j
1.5.4 Extensionsversuche: (cid:27)1 < (cid:27)2 = (cid:27)3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
j j j j j j
1.5.5 Reibungswinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
I
II Inhaltsverzeichnis
2 Theoretische Grundlagen 41
2.1 Theoretische Grundlagen der Elasto-Plastizit(cid:127)atstheorie . . . . . . . . . . . 41
2.1.1 Elastizit(cid:127)at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.2 Plastizit(cid:127)at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2 Optimierungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2.1 Approximation der Hesse-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2.2 Levenberg-Marquardt-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2.3 SQP-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3 Modellbildung und Parameteridenti(cid:12)kation 61
3.1 Elastische Deformationsanteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.1 Elastizit(cid:127)atsgesetze fu(cid:127)r Reibungsmaterialien . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.2 Ein neues Elastizit(cid:127)atsgesetz fu(cid:127)r Reibungsmaterialien. . . . . . . . . 68
3.2 Plastische Deformationsanteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2.1 Flie(cid:25)bedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2.2 Isotrope Verfestigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2.3 Flie(cid:25)regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2.4 Parameteridenti(cid:12)kation der Flie(cid:25)bedingung. . . . . . . . . . . . . . 86
3.2.5 Parameteridenti(cid:12)kation des plastischen Potentials . . . . . . . . . . 95
3.2.6 Zusammenfassung des elasto-plastischen Sto(cid:11)modells und der zu-
geh(cid:127)origen Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4 Bilanzgleichungen der TPM und FEM-Implementierung 99
4.1 Das inkompressible Zweiphasenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.1.1 Inkompressibilit(cid:127)atsbedingung und Konzept der
Volumenanteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.1.2 Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.1.3 Bilanzgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.2 Numerische Umsetzung mit der FE-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.2.1 Schwache Formulierungen der Bilanzgleichungen . . . . . . . . . . . 109
4.2.2 Orts- und Zeitdiskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.2.3 L(cid:127)osung der nicht-linearen Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . 113
Inhaltsverzeichnis III
5 Numerische Beispielrechnungen 117
5.1 Triaxialversuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.1.1 Triaxialer Kompressionsversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.1.2 Hydrostatischer Kompressionsversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.1.3 CU-Versuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.2 Degebo-Versuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Zusammenfassung und Ausblick 125
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
A Allgemeine tensorielle Beziehungen 127
A.1 Tensoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
A.1.1 Tensorprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
A.1.2 Identit(cid:127)ats- und Fundamentaltensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
A.1.3 Kugeltensor und Deviator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
A.2 Invarianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
A.2.1 Invarianten eines Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
A.2.2 Invarianten des Deviators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
A.3 Tensoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
IV Inhaltsverzeichnis
Einleitung
Motivation und Problemstellung
Die Vorhersage von Setzungen und Verformungen im Baugrund, hervorgerufen durch
Bauma(cid:25)nahmen oder durch ein Bauwerk selbst, erfordern die genaue Kenntnis des Ma-
terialverhaltens im Untergrund. Sicherheit gegen Grenzzust(cid:127)ande, wie z.B. Grundbruch,
Gel(cid:127)andebruch oder sehr gro(cid:25)e, das Geb(cid:127)aude sch(cid:127)adigende Verformungen, sollen gew(cid:127)ahr-
leistet werden. Als Baugrund liegen h(cid:127)au(cid:12)g granulare Materialien wie Kies oder Sand als
natu(cid:127)rliche Erdsto(cid:11)e vor. So sind beispielsweise s(cid:127)amtliche Geb(cid:127)aude am Potsdamer Platz
in Berlin auf Sand gegru(cid:127)ndet.
Das Materialverhalten einer granularen Struktur wie Sand ist allerdings (cid:127)au(cid:25)erst komplex.
Sto(cid:11)gesetze zur realit(cid:127)atsnahen Beschreibung dieses Materialverhaltens mu(cid:127)ssen verschie-
densten Eigenschaften genu(cid:127)gen. So mu(cid:25) z.B. die Abh(cid:127)angigkeit der Scherfestigkeit vom
Spannungszustand als ein typisches Merkmal von Reibungsmaterialien modelliert wer-
den. Die Beru(cid:127)cksichtigung der Belastungsgeschichte, dilatante E(cid:11)ekte sowie die Charak-
teristik der Materialverfestigung mit zunehmender Belastung k(cid:127)onnen ebenfalls nicht ver-
nachl(cid:127)assigt werden. Klassische linear-elastische (Hookesches Gesetz) und ideal-plastische
(Grenzbedingung nach Mohr-Coulomb) Spannungs-Verformungstheorien der Bodenme-
chanik ergeben oftmals gro(cid:25)e Abweichungen zwischen rechnerischen Vorhersagen und
tats(cid:127)achlichen Beobachtungen. Dieses Problem hat, in Zusammenhang mit der Entwick-
lung der Finiten-Elemente-Methode, in den letzten 40 Jahren international zu intensiver
Forschungst(cid:127)atigkeit gefu(cid:127)hrt. In dieser Zeit sind eine Vielzahlvon Arbeiten entstanden, die
sich mit der Entwicklung von elasto-plastischen Sto(cid:11)gesetzen fu(cid:127)r granulare Materialien
besch(cid:127)aftigen. An dieser Stelle seien die Arbeiten von Pooroshab et al. [83, 84], Rowe
[88], Duncan & Chang [31], Lade [67], Gudehus [45, 46], Vermeer [107], Arslan
[1], Desai [24], Kim & Lade [57] und Lade & Kim [70, 71] herausgegri(cid:11)en, da diese
als richtungsweisende Beitr(cid:127)age gelten. Die Entwicklung von neuen Materialgesetzen wird
vor allemdurch die st(cid:127)andige Steigerung der Computerkapazit(cid:127)aten vorangetrieben, da sich
dadurch immer komplexere Theorien numerisch umsetzen lassen.
Durch diese Entwicklung stiegen auch die Anforderungen im experimentellen Bereich, da
anspruchsvolle Materialgesetze eine versuchstechnisch exakte Untersuchung der Materi-
aleigenschaften erfordern. Vor allem die Erfassung kleiner Deformationen in mehraxia-
len Versuchen sowie die Untersuchung postkritischer Bereiche bildeten die Schwerpunkte
versuchstechnischer Forschungsaktivit(cid:127)aten der letzten Jahre. Im Bereich experimenteller
Untersuchungen sind die Leistungen von Ko & Scott [61, 62, 63], Roscoe [85], Bishop
1
2 Einleitung
& Wesley [8], Lade & Duncan [68], Tatsouka & Ishihara [100], Goldscheider
[42], Yamada & Ishihara [114] und Desrues et al. [26] besonders hervorzuheben.
Basierend auf den gesammelten Erfahrungen dieser Autoren und den Vorarbeiten im
Bereich elasto-plastischer Konstitutivgleichungen von Ehlers [33, 34] behandelt die-
se Arbeit die Entwicklung eines neuen Sto(cid:11)modells zur Beschreibung des Spannungs-
-Verformungsverhaltens von granularen Materialien am Beispiel von Berliner Sand. Von
Interesse ist dabei die Beziehung zwischen einer auf die Kornstruktur des Sandes auf-
gebrachten Spannung bzw. Verformung und der sich daraus ergebenden Verformungs-
bzw. Spannungsantwort. Hierbei wird von einer makroskopischen, ph(cid:127)anomenologischen
Betrachtungsweise ausgegangen. Dies bedeutet, es wird eine Ansammlung von K(cid:127)orner be-
trachtet, die eine zusammenh(cid:127)angende Festk(cid:127)orperstruktur bilden (Kontrollvolumen). Die
Anzahl der K(cid:127)orner mu(cid:25) so gro(cid:25) sein, da(cid:25) eine Struktur mit unendlich vielen K(cid:127)orner stati-
stisch repr(cid:127)asentiert wird. Das mechanische Verhalten des betrachteten Kontrollvolumens
wird gedanklich in einen Punkt eines kontinuierlichen Kontinuums projiziert, welches
durch orts- und zeitabh(cid:127)angige Feldgleichungen sowie die entsprechenden Konstitutivglei-
chungen beschrieben werden kann.Eineandere Zugangsm(cid:127)oglichkeitistdiemikroskopische
Betrachtung einzelner K(cid:127)orner bezu(cid:127)glich deren Geometrie und mechanischen Verhaltens
sowie deren Wechselwirkungen zu benachbarten K(cid:127)ornern (Partikelmechanik). Auf diese
Vorgehensweise wird im Rahmen dieser Arbeit nicht eingegangen.
Experimentelle makroskopische Untersuchungen an granularen Strukturen zeigen, da(cid:25)
nach einer Entlastung bei vorhergehender Erstbelastung bleibende Deformationen entste-
hen. Dies zeigt, da(cid:25) inelastische Verformungsanteile enthalten sind, die bei der Modellbil-
dung beru(cid:127)cksichtigt werden mu(cid:127)ssen. Dies geschieht in der Regel durch eine Aufteilung in
elastische und plastische Deformationsanteile. Konstitutivgleichungen fu(cid:127)r die jeweiligen
Anteile sind dann erforderlich. Das in dieser Arbeit vorgestellte Modell beschreibt diese
Anteile durch eine geometrisch lineare, elasto-plastische Theorie mit einem Ein(cid:13)(cid:127)achen-
(cid:13)ie(cid:25)kriterium unter isotroper Verfestigung und einer nicht-assoziierten Flie(cid:25)regel. Die Be-
schreibung der elastischen Deformationsanteile erfolgt durch ein materiell nichtlineares
Elastizit(cid:127)atsgesetz. Dabei werden verschiedenste Eigenschaften des elastischen Verhaltens
einer granularen Struktur beru(cid:127)cksichtigt. Bei der Entwicklung des Elastizit(cid:127)atsgesetzes
wird auf die Einhaltung thermodynamischer Grunds(cid:127)atze Wert gelegt. Viele der in den
vergangenen Jahren publizierten Elastizit(cid:127)atsgesetze fu(cid:127)r Reibungsmaterialien erfu(cid:127)llen die-
se Anforderung nicht. Die plastischen Deformationsanteile sind in dem hier vorgestellten
Modell bestimmt durch eine spezielle Flie(cid:25)bedingung und ein zus(cid:127)atzliches plastisches Po-
tential in Verbindung mit Evolutionsgleichungen fu(cid:127)r die plastischen Verzerrungsanteile
und fu(cid:127)r Variablen der isotropen Verfestigung.
Um das entwickelte Sto(cid:11)modell auf das spezielle Materialverhalten von Berliner Sand
anpassen zu k(cid:127)onnen, ist die Durchfu(cid:127)hrung und Auswertung von mehraxialen Elementver-
suchen erforderlich. Innerhalb dieser Arbeit werden solche mehraxiale Versuche in Form
von Triaxialversuchen mit rotationssymmetrischen Probek(cid:127)orpern realisiert. Die Versuchs-
ergebnisse zeigen dabei eine starke Sensitivit(cid:127)at in bezug auf die Versuchstechnik. Die
besonderen Schwierigkeiten stellen hier die Einhaltung einer homogenen Spannungs- und
Verzerrungsverteilung innerhalb der Probe sowie die Messung der exakten Probendefor-
mationen dar. Anhand von Ergebnissen aus den durchgefu(cid:127)hrten Triaxialversuchen wird
Einleitung 3
eine Parameteridenti(cid:12)kationfu(cid:127)rdieModellgleichungenvorgenommen.Hierbeiwerden ela-
stische und plastische Konstitutivgleichungen getrennt betrachtet. Zur Versuchsauswer-
tung und Parameteridenti(cid:12)kation wurde ein Programm entwickelt, das Ergebnisse aus
triaxialen Kompressions- und Extensionsversuchen sowie aus Triaxialversuchen mit rein
hydrostatischer Belastung als Eingabegr(cid:127)o(cid:25)en ben(cid:127)otigt.
Die entwickelten elasto-plastischen Konstitutivgleichungen werden dann im Rahmen der
TheoriePor(cid:127)oserMedien(TPM) (Bowen[13,14],de Boer & Ehlers[11],Ehlers[32])
in ein Zweiphasenmodell mit inkompressiblen Konstituierenden eingearbeitet. Innerhalb
der Bilanzgleichungen des Zweiphasenmodells geht das Sto(cid:11)modell in die Spannungsbe-
rechnung derFestk(cid:127)orperstruktur ein.DieEinbindungineinMehrphasenmodellerm(cid:127)oglicht
die Beschreibung von wasserges(cid:127)attigten sowie von trockenen granularen Materialien.
Da fu(cid:127)r das gesamte Modell keine geschlossenen L(cid:127)osungen existieren, ist eine numerische
BehandlungdesProblemserforderlich.DazuwerdendieMaterialgleichungenindasFinite-
1
Elemente-Programm PANDAS eingearbeitet, das speziell fu(cid:127)r die Behandlung von nichtli-
nearen Mehrphasenproblemen geeignet ist.
Voraussetzungen
In den 60er und 70er Jahren wurden in Berlin auf dem Versuchsgel(cid:127)ande der Deutschen
Forschungsgesellschaft fu(cid:127)r Bodenmechanik (Degebo) eine Reihe gro(cid:25)ma(cid:25)st(cid:127)ablicher Ver-
suche zur Untersuchung von Setzungen und des Grundbruchverhaltens bei nichtbindigen
B(cid:127)oden durchgefu(cid:127)hrt. Dabei liegen speziell Versuchsergebnisse aus dem Jahr 1964 in sehr
gut dokumentierter Form vor (Elminger & Muhs [40]). Innerhalb des Forschungspro-
2
jekts Baugrund-Tragwerk-Interaktion\ (BTI) , in dem unter anderem die Modellierung
"
des Materialverhaltens von koh(cid:127)asionslosen B(cid:127)oden behandelt wird, wurde beschlossen, die
Ergebnisse dieser Gro(cid:25)versuche zur Veri(cid:12)zierung eines zu entwickelnden Sto(cid:11)modells zu
verwenden. Die Versuche von 1964 wurden mit unterschiedlich dicht gelagertem Sand
durchgefu(cid:127)hrt. Aus diesen Versuchen wurden innerhalb des Projekts Versuche mit einer
3 3
Sanddichte von (cid:26)d = 1,71g/cm ausgew(cid:127)ahlt . Mit Berliner Sand dieser Dichte sollten
dann alle weiteren Untersuchungen durchgefu(cid:127)hrt werden. Um den in den Gro(cid:25)versuchen
von 1964 verwendeten Sand zu reproduzieren, wurde Sand am Potsdamer Platz in Ber-
lin entnommen und durch Sieben und Umverteilen einzelner Kornanteile so manipuliert,
da(cid:25) die Kornverteilung der des Sandes aus den Gro(cid:25)versuchen entspricht. Mit diesem
Sand wurden dann mit der vorgegebenen Dichte Elementversuche durchgefu(cid:127)hrt, die zur
Parameteridenti(cid:12)kation eines Sto(cid:11)modells erforderlich sind. Die Aufbereitung des Ver-
suchssandes, die bodenmechanische Klassi(cid:12)zierung sowie die Durchfu(cid:127)hrung von Element-
versuchen erfolgte am Institut fu(cid:127)r Geotechnik der TU Darmstadt. Die Ergebnisse dieser
Versuche gehen teilweise in diese Arbeit ein.
1
Porous media Adaptive Nonlinear (cid:12)nite element solver based on Di(cid:11)erential Algebraic Systems.
2
Das Forschungsprojekt BTI wird gef(cid:127)ordert von der Deutschen Forschungsgemeinschaft (DFG).
3
Fu(cid:127)r Berliner Sand wird diese Dichte in der Bodenmechanik als dichte Lagerung\ klassi(cid:12)ziert.
"