Some approximation and regularity results for fully nonlinear elliptic and parabolic equations

243 Pages·2017·2.33 MB·French

Some approximation and regularity results for fully
nonlinear elliptic and parabolic equations
Jean-Paul Daniel
To cite this version:
Jean-Paul Daniel. Some approximation and regularity results for fully nonlinear elliptic and parabolic
equations. General Mathematics [math.GM]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2014. En-
glish. ￿NNT: 2014PA066468￿. ￿tel-01165018￿
HAL Id: tel-01165018
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abroad, or from public or private research centers. publics ou privés.
Universit´e Pierre et Marie Curie – Paris 6 UFR 929 – Math´ematiques
Quelques r´esultats d’approximation et
de r´egularit´e pour des ´equations
elliptiques et paraboliques non-lin´eaires
`
THESE
pr´esent´ee et soutenue publiquement le 12 d´ecembre 2014
pour l’obtention du grade de
Docteur de l’Universit´e Pierre et Marie Curie
Sp´ecialit´e Math´ematiques Appliqu´ees
par
Jean-Paul DANIEL
Composition du jury
Rapporteurs : Francesca DA LIO
Olivier LEY
Examinateurs : Yves ACHDOU
Pierre CARDALIAGUET
Cyril IMBERT
Directeurs de th`ese : Scott N. ARMSTRONG
Sylvia SERFATY
Laboratoire Jacques-Louis Lions — UMR 7598

Remerciements
Je tiens tout d’abord à remercier mes directeurs de thèse, Scott N. Armstrong et Sylvia Serfaty, de
m’avoir proposé un sujet d’étude passionnant et de m’avoir encadré. Ils ont su me communiquer leur
goût pour les mathématiques en me faisant profiter de leur expérience, de leur vision de la recherche.
J’ai beaucoup apprécié la liberté qu’ils m’ont laissée dans le choix des sujets à aborder, tout en étant
toujours disponibles pour répondre à mes questions et m’apporter leur aide précieuse. Leurs points de
vue et leurs conseils m’ont été très utiles et m’ont permis de mener à bien mes travaux de recherche.Ce
sont des mathématiciens extrêmement brillants mais également des travailleurs acharnés, qui resteront
tous les deux pour moi des modèles et des sources d’inspiration.
Olivier Ley et Francesca Da Lio m’ont fait l’honneur d’accepter le rôle difficile de rapporteurs, je les
remercievivement.Je suis très reconnaissantà Pierre Cardaliaguet,CyrilImbert etYves Achdoud’avoir
accepté de faire partie de mon jury de thèse.
Je remercie Isabelle Gallagher de m’avoir encadré pendant le stage de Master. Je remercie également
Guy Barles pour une discussion particulièrement intéressante sur le problème de Neumann lors d’une
école d’été sur les équations HJB à Cetraro.
Je tiens à remercier les directeurs du Laboratoire Jacques-Louis Lions, Yvon Maday puis Benoît
Perthame, et tous les membres du laboratoire, de m’avoir accueilli et de m’avoir donné des conditions
exceptionnelles pour réaliser ce travail. Je remercie en particulier Marie Postel et Amaury Lambert
(LPMA) pour qui j’ai effectué des TD et Frédéric Coquel pour leur gentillesse naturelle. Je remercie
Salima, Catherine et Nadine ainsi que Danielle Boulic et Liliane Ruprecht pour leur aide, leur efficacité
etleurgentillesse.Merciégalementàtoutel’équipe informatiqueKhashayar,HuguesetAltaïrpouravoir
toujours été extrêmement prompts à résoudre tous les questions qui ont pu se produire et pour leur
sympathie.
Je tiens à remercier mes collègues doctorants, Pierre, Nastasia, Maxime, Sarah, Jan, Thibaut L.,
Benjamin, Magali, Waafa, Thibault B., Ange, Thomas, Dena, Mamadou, Charles (toujours disponible
pour une discussion tennistique, suivre un inoubliable Chardy-Raonic, discuter de la régularité de la
fonctiondistance ouune bière),Nicole,Lise-Marie,Oana,Abdel, Khaled,Kamel,Philippe, Mehdi,Nico,
ThomasL.,oucertainsancienscommeMarieK.ouDorian.Jeremercielesanciensdoctorantsaujourd’hui
maîtres de conférences ou chargés de recherche : Nicolas R., Pierre G., Sepideh, Vincent, Alexander et
Laurent M..
Je tiens à remercier l’ensemble du bureau 15-16-221: Ludovic, Sylvain (et Séverine), Juliette, Malik,
Casimir, Giacomo, la machine à café et Guillaume, les nouveaux Shuyian et Carlos, ainsi que Laurent.
Je remercie André pour tout ce qu’il m’a appris en Latex mais aussi en musique «moderne». Un grand
merci à Svetlana pour ses encouragements,son soutien attentif et tous les moments partagés ensemble.
Je remercie mes anciens binômes Bruno P. et Thierry M. pour le temps passé à programmer ou
partager notre passion pour le piano ou le tennis. Je remercie également mes trois fidèles bandits du
modèle de Black-Scholes : Noufel, Joachim et Ludovic (qui a supporté mon amour fulgurant pour les
options américaines). Merci à Jérôme et Pierrick pour être là depuis si longtemps...
MercienfinàTomY.,ChrisM.,DaveG.,TomS.,MikeS.etMatthewB.dem’avoiraccompagnépendant
toutes ces années, au bout de la nuit comme au bout du monde, par exemple pendant la rédaction du
manuscrit.
Je tiens enfin à remercier ma famille et surtout mes parents pour leur soutien indéfectible, leurs
sacrifices, leurs encouragements constants, leur goût pour le travail et la persévérance mais aussi tout
simplement et surtout pour leur amour.
i
ii
Table des matières
Introduction générale 1
1 Motivations et résultats existants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1 Solutions de viscosité : contexte, intérêt et quelques applications . . . . . . . . . . 2
1.2 Les équations elliptiques et paraboliques non-linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Liens entre jeux et équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Mouvement par courbure moyenne et jeu de Paul et Carol . . . . . . . . 7
1.3.2 Les équations elliptiques et paraboliques : le jeu de Mark et Helen . . . . 8
1.4 Théorie de la régularité elliptique et parabolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Les résultats de la thèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1 Le problème de Neumann pour les équations elliptiques et paraboliquesnon-linéaires 12
2.1.1 Discussion sur le choix de la dynamique, hypothèses sur le domaine et
notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2 Le cas parabolique sans la dépendance en u . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.3 Le cas elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.4 Quelques généralisations et questions ouvertes . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Résultats de régularité parabolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1 Théorèmes d’estimation W3,ε parabolique et de régularité partielle para-
bolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2 Eléments de la preuve de l’estimation W3,ε parabolique . . . . . . . . . . 31
2.2.3 Preuve de l’estimation W2,ε parabolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.4 Preuve du résultat de régularité partielle parabolique . . . . . . . . . . . 34
2.3 Estimation d’erreurs pour des schémas explicites et implicites pour des équations
elliptiques ou paraboliques non-linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
iii
Table des matières
2.3.1 Schémas elliptiques issus du principe de programmationdynamique . . . 37
2.3.2 Quelques éléments de preuve du taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.3 Schémas par différences finies pour des équations paraboliques . . . . . . 41
3 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Chapter 1
AgameinterpretationoftheNeumannproblemforfullynonlinearparabolicandelliptic
equations
1.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.2 The games. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.2.1 The linear heat equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.2.2 General parabolic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.2.2.1 Heuristic derivation of the optimal player strategies . . . . . . . . . . . . 59
1.2.2.2 Main parabolic result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.2.3 Nonlinear elliptic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.3 Convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.3.1 Viscosity solutions with Neumann condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.3.2 The parabolic case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.3.3 The elliptic case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.4 Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1.4.1 The parabolic case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.4.1.1 Preliminary geometric lemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.4.1.2 Consistency estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
1.4.2 Proof of Lemma 1.4.9 and Proposition 1.4.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1.4.2.1 Proof of Lemma 1.4.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1.4.2.2 Proof of Proposition 1.4.10 case (i). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.4.2.3 Proof of Proposition 1.4.10 case (ii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
1.4.2.4 Proof of Proposition 1.4.10 case (iii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
1.4.2.5 Proof of Proposition 1.4.10 case (iv) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
1.4.3 Application to stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
1.4.4 The elliptic case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
iv
1.5 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
1.5.1 The parabolic case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
1.5.2 The elliptic case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
1.6 Some natural generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
1.6.1 Elliptic PDE with mixed Dirichlet-Neumann boundary conditions . . . . . . . . . 103
1.6.2 Parabolic PDE with an oblique boundary condition . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Chapter 2
Quadratic expansions and partial regularity for nonlinear parabolic equations
2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.1.1 Motivation and statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.2 Preliminaries and proof of the partial regularity result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.2.1 Hypotheses and notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.2.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2.2.3 Proof of Theorem 2.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.3 Parabolic W2,ε estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.4 Proof of Theorem 2.1.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Chapter 3
Rates of convergence for elliptic dynamic programming schemes
3.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.1.1 Motivation and statement of the result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.1.2 Hypotheses and notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.2 Proof of the rate of convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.2.1 Rate near the boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.2.2 Rate far the boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.3 The dynamic programming schemes : presentation and properties. . . . . . . . . . . . . . 148
3.3.1 Presentation of the games . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.3.2 Proof of the assumptions (S1) and (S2) on F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
ε
3.3.3 Proof of Proposition 3.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.3.3.1 Continuity of the score functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
v
Table des matières
3.3.3.2 Consistency of the scheme with the boundary condition . . . . . . . . . . 155
3.4 Proof of Proposition 3.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3.5 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Chapter 4
Rates of convergence for parabolic finite-difference schemes
4.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.1.1 Motivation and statement of the results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.1.2 Hypotheses and notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.2 Proof of the implicit rate of convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.2.1 The W3,σ estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.2.2 A comparison principle for implicit schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.2.3 A maximum principle in the doubled variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.2.4 Proof of the main theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.3 Proof of the maximum principle in the doubled variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.4 Appendix A: continuous version of the doubling lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
4.5 Appendix B: Proof of Proposition 4.2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Annexes
Annexe A
Estimation W3,ε elliptique
A.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
A.2 Proof of Theorem A.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
A.3 Proof of Proposition A.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Annexe B
Poster
Bibliographie
Résumé 223
Abstract 224
vi
Introduction générale