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Mathematics
Edited by .A Dold and .31 Eckmann
474
erianimeS Pierre gnoleL
)esylanA( Annee 1973/74
Edit~ par Pierre Lelong
galreV-regnirpS
Berlin-Heidelberg-NewYork 5791
Editor
Prof. Pierre Lelong
Universit6 Paris VI
Mathematiques
,11 Quai Saint-Bernard
Paris 5 e
France
AMS Subject Classifications (1970): 31 CXX, 32-XX, 46AXX, 46BXX,
46 EXX, 46 FXX, 46 G XX, 46 H XX, 53 B XX
ISBN 3-540-07189-X Springer-Verlag Berlin (cid:12)9 Heidelberg (cid:12)9 New York
ISBN 0-387-07189-X Springer-Verlag New York- Heidelberg (cid:12)9 Berlin
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(cid:14)9 by Springer-Verlag Berlin (cid:12)9 Heidelberg 1975. Library of Congress Catalog
Card Number 74-644531. Printed ni Germany.
Offsetdruck: Julius Beltz, Hemsbach/Bergstr.
AVA N T- PEO P 0 S
Le S~minaire 1973-1974 fair suite aux precedents publi~s
aux Lecture-Notes : 71 (1968), 116 (1969), 205 (1970), 275 (1971),
332 (1972), 410 (1973). Le sujet du S~mlnalre est l'analyse
complexe et plusieurs exposes concernent son extension ~ la
dimension infinie.
Nous remercions la Librairie SPRINGER qui ~dite le S~minaire
dans les Lecture-Notes et contribue ainsi efficacement ~ sa
diffusion.
Pierre L E L 0 N G
T A B L E DES M A T I .~ R E S
LELONG (P.). - Topologies semi-vectorielles et topologies
pseudo-convexes sur un espace vectoriel complexe ..... i
s
2 KREE (P.). - Solutions faibles d'~quations aux d~riv~es
fonctionnelles II ................................... 16
3 TURPIN (Ph.). - Espaces et op~rateurs exponentiellement
galb~s .............................................. 48
4 NOVERRAZ (Ph.). - Pseudo-convexitfi et base de Schauder
dans les e.l.c ...................................... 63
5 LASCAR (B.). - Op~rateurs pseudo-diff~rentiels d'une infi-
nit~ de variables ................................... 83
6 KAJIWARA (J.). - Op~rateurs d" dans les espaces de Hilbert
avec croissance polynomlale ......................... 9l
7 BOLAND (Ph.-J.). - Holomorphic functions on~FN(Dual of
Frechet Nuclear) spaces ............................. 109
8 DINEEN (S.). - Equivalent definitions of holomorphic func-
tions in infinite dimensions ........................ I14
9 BONNIN (O.). - Representation holomorphe des distributions
temp~r~es . Transformation de Fourier-Borel . Op~ra-
teurs de d~rivations partielles de type Hilbert-Schmidt
en dimension infinie (d'apr~s Thomas A.W.DWYER,III) .. 123
VI
I0 KANTOR (J.-M.). - Le complexe de Dolbeault-Grothendieck
sur les espaces analytiques ......................... 142
II STEHL~ (J.-L.). - Fonctions plurisousharmoniques et convexi-
t~ holomorphe de certains fibres analytiques ........ 155
~i2 MAZET (P.). - Rectificatif concernant l'expos~ :"Un th~or~me
d~image directe propre", publi~ dans le S~minaire
P.LELONG, 1972/73,N ~ 410 ............................. 180
S~minaire P.LELONG
I Analyse) 4 D~cembre 1973
4e annie, 1973/74.
TOPOLOGIES SEMI-VECTORIELLES ET TOPOLOGIES PSEUDO-CONVEXES SUR UN
ESPACE VECTORIEL COMPLEXE
pa r Pierre 'LELONG
.| - Introduction. Les topologies localement convexes sur un espace
vectoriel E sont adapt~es ~ l'~tude des formes lin~aires f m E ~ et ~ celle
de la dualitY. Quand on consid~re des classes~plus ~tendues de fonctions
d~finies sur E (fonctions polynomes, fonctions analytiques...) on est
conduit ~ introduire sur E des topologies plus fines, invariantes par
les translations. Par exemple on demandera que le filtre ~o des voisina-
ges de l'origine ait une base B = ~V~, ~ 6A~ , et V~ =~x~E ; p~(x)< |I
o3 la jauge p~ de V~n'est plus convexe ; elle est d~finie par
p~(x) = supj If ,j(x)l , o3 les f~,~ _ ne sont plus lin~aires, mais appar-
tiennent ~ ~. Rappelons que dans 4b nous avons consid~r~ le cas o3
les V~ sont pseudo-convexes et leurs jauges p~(x) sont plurisousharmoni-
ques sur un espace complexe E ; de telles topologies peuvent ~tre appe-
l~es pseudo-convexes (ou plurisousharmoniques). Les p~ doivent verifier
des conditions ~tudi~es par C.-O.KISELMAN 3b pour que ~ solt un fil-
o
tre de voisinage de O, et d'autres plus pr~cises pour que la topologie
invariante par translation qu'on en d~duit soit vectorielle. Les topolo-
gies pseudo-convexes constituent une g~n~ralisation des topologies lo-
calement convexes, route semi-norme born~e sur un voisinage de l'origi-
ne ~tant une fonction plurisousharmonique continue.
On se limitera ici ~ l'~tude de la classe suivante - notre e -
de topologies sur un espace vectoriel E.
bans cette situation on est conduit soit ~ ne plus exiger que la
topologie T d~finie g partir des V~ soit vectorielle, c'est-g-dire ren-
de continues toutes les operations structurales (addition et multiplica-
tion) sur E, soit ~ chercher des conditions sur les p~(x) pour que les
V~ d~finissent une topologie vectorielle.
On r~sumera ici des r~sultats r~cents soit ~ paraltre 4dJ soit
mim~ographi~s 3a et 3b. Leur principale motivation est l'extension de
l'analyse complexe aux espaces vectoriels topologiques E . On dira qu'une
topologie T sur E est semi-vectorielle si elle induit sur chaque sous-
espace de dimension finie une topologie vectorielle. Soit Y~(E) l'ensemble
des sous-espaces de dimension finie de E , An(E) ceux qui sont de dimen-
sion n : ~(E) =~n(E). On d~signera par T Mla topologie vectorielle s~-
par~e sur M. Si l'on veut que l'analyse complexe en dimension infinie re-
joigne par restriction aux sous-espaces M ~.~(E) l'analyse classique, une
certaine n~cessit~ appara~t de ne consid~rer sur E que des topologies
semi-vectorielles invariantes par les translations. Un ~l~ment maximal
de la classe des topologies semi-vectorielles est la topologie finiment
ouverte Tf d~finie comme suit : ~cE est Tf ouvert si et seulement si
pour tout M ~(E), l'intersection ~ oM est un ouvert (~ventuellement vide)
sur M pour T M ; la topologie Tf est la limite inductive stricte (en g~-
n~ral non d~nombrable) des topologies (M, TM) , pour M~A(E). En effet, soit
{e~ une base de E, A e L. A toute partie finie HcL correspond MHeA(E)
engendr~ par les e A , ~ e H : l'espace (E, Tf) est la limite inductive
stricte des M H quand H' = L-H parcourt le filtre sur L des compl~mentai-
res des parties finies. La topologie Tf sur E est s~par~e car elle est
plus fine que la topologie produit des sous-espaces ~ Ke~ qui est s~pa-
r~e. Si K = R ou ~ , et si Lest d~nombrable, Tf est localement convexe
et (E, Tf) est limite inductive stricte d'une suite d'espaces localement
convexes, bans 2 S.KAKUTANI et V.KLEE ont ~tabli la continuit~ de la
multiplication sur (E, Tf) si K = R, ainsi que celle de l'addition
(x,y) > x+y six ou y demeure dans un sous-espace de dimension finie.
3
Mais l'addition n'est pas continue sans restriction si card. L n'est pas
pas d~nombrable ; Tf est donc une topologie semi-vectorielle s~par~e qui
est non vectorielle et elle est la plus fine des topologies semi-vecto-
rielles.
La topologie Tf intervient d'une mani~re naturelle. Donnons quel-
ques exemples o3 le corps de base K de E est R ou r
I~ Le dual alg~brique E ~ de E est le dual topologique de
(E, rf) : E ~ = (E, Tf)'
2~ Les formes polynomiales E ---~K sont les formes polynomiales con-
tinues sur (E, Tf).
3~ Si K = r les fonctions E ----~r analytiques au sens de GATEAUX,
c'est-~-dire analytiques sur les droites affines, sont analytiques sur
les sous-espaces de dimension finie : ce sont donc exactement les fonc-
tions analytiques sur (E, Tf).
4~ Soit P(G) le cSne des fonctions plurisousharmoniques sur un en-
semble G =E , o3 G est ouvert pour des topologies T I et T2, P(G) est fonc-
tion croissante de la topologie, et l'on a PI(G) = P2(G) pour T I a T 2. Dans
ces conditions, on appellera fonction plurisousharmonique sur E (sans
pr~ciser la topologie) toute fonction de la classe maximale, c'est-~-
dire toute fonction d~finie sur un ensemble Tf-ouvert Get semi-
continue sup~rieurement pour Tf c'est-~-dire semi-continue sup~rieure-
ment pour T M sur tout M cA(E) et qui v~rifie l'in~galit~ du disque
oI 2~ f(x+yei~176 Eox
sur les disques ~ =G. On rappelle qu'un disque dans E est l'image
x,y
lin~aire du disque unit~ D de r et s'~crit :
~x,y = x + Dy = z eE, z = x+uy, pour ~ul~l .
On commencera ici par donner des r~sultats sur une classe O de
topologies qui rendent continues la multiplication 4d, puis on donnera
pour les topologies pseudo-convexes des conditions obtenues par
C.-O.K~SELMAN 3bJ portant sur les p~ pour que la topologie d~finie
plus haut soit vectorielle et qu'elle rende continues les p~ .
2. - Topologies rendant continues la multiplication et invariantes
par translation. On partira de la d~finition suivante (cf. 4d) :
D~FINITION I. - Une topologie T sur un espace vectoriel E sera
dite de classe 0 si elle est invariante par les translations et si e__lle
rend continue la multiplication (u,x) --->ux, application K (cid:141) E ---~E, ~__o
K est le corps de base de E.
Propri~t~s de la classe @. De la d~finition d~coulent (cf. 4d) :
a/ - Une topologie de classe @ sur E induit sur les sous-espaces de E
une topologie de classe @.
b/ - Si T 1 et T 2 sont de classe Q, de m~me T 3 = sup(Ti,T 2) est de classe
@.
c/ - Sur les sous-espaces M de dimension I les topologies de classe @
sont vectorielles ; elles induisent soit la topologie s~par~e TM, soit
celle dans laquelle M est le seul ouvert non vide.
d/ - Si M est un sous-espace de (E, T) oN T est une topologie e, la topo-
logie quotient sur E/M = E l est une topologie @.
Dans l'~tude des fonctions analytiques et des fonctions plurisous-
harmoniques la continuit~ des points du disque ~ par rapport aux va-
x,y
riables x, u, (x eE, u~ ~) joue un rSle important. On appellera (K) la
propri~t~ suivante introduite par C.-O.KISELMAN dans 3a :
(K) - Pour tout y 6E, l'application Kx E ---~E d~finie par
(u, x) >fy(U, x) = x + uy
est continue.
On a alors (cf. 4d)
5
THEOREME I (cid:12)9 I. - Pour qu'une topolo$ie T sur E soit une topologie e,
il faut et il suffit ~u'elle vgrifie la propri~tfi (K).
3. Topologies e et topologies semi-vectorielles. On peut se de-
mander si, ~ la suite de la propri~t~ a) plus haut les topologies @ in-
duisent sur tout M ~(E) une topologie vectorielle. La r~ponse est donn~e
par l'~nonc~ donn~ dans 4d.
/ (cid:12)9
THEOREME 2. - Pour qu'une topologie T de classe @ sur E soit semi-
vectorielle , il faut et il suffit que l'adh~rence ~ de l'origine soit
un sous-esDace vectoriel.
En particulier toutes les topologies @ qui sont s~par~es sont semi-
vectorielles.
De plus on a :
THEOREME 3. - Les topologies ~ qui sont semi-vectorielles rendent
continues l'addition (x,y) >x + y quand x ou y demeure dans un sous-
espace de dimension finie.
Ii en r~sulte que Tf est plus fine que toute topologie @ qui est
semi-vectorielle (en particulier que toute topologie e s~par~e).
Les r~sultats qui precedent sont ~tablis dans 4d en supposant
seulement le corps de base K valu~ , non discret, complet. Si K est sup-
pos~ localement compact (en particulier K = R et K = r on a le r~sul-
tat suivant d~j~ ~tabli pour K = R dans 2 par S.KAKUTANI et V.KLEE :
Tf est une topologie 0. II en dgcoule :
THEOREME 4. - Si le corps de base K est localement compact, la to-
polo$ie finiment ouverte Tf est l'~l~ment maximal unique de la classe ~.
Le probl~me est ouvert de savoir si, en l'absence de la compacit~
locale du corps de base K (suppos~ value, complet, non discret), la to-
pologie Tf rend la multiplication continue, c'est-~-dire v~rifie l'~nonc~
