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DOMAINES DE REINHARDT BORNES HOMOG~NES. . de ~'~(S,~)
par MohamedABD-~LLA
CHAPITRE I : Domaines de Reinhardt born6s homog~nes de ~(S,g) .
I.O. Introduction.
I.I. Rappels et d6finitions.
1.2. Classifications des domaines de Reinhardt born6s homoggnes dans
l'espace de Banach complexe ~(S,~).
CHAPITRE II : Application.
II.O. Introduction.
11.1. Le cas o~ s C S est un point isol6.
o
11.2. Le cas o~ s C S est non isol6.
o
C HA P I T R E I
£. 0 INTRODUCTfON.
Dans [2] , BRAUN , KAUP et UPMEIER ont 6tudi6 les automorphismes analytiques
d'un domaine cercld borng D d'un espace de Banach complexe E . lls ont montr~
qu'il existe un sous-espace vectoriel complexe ferm6 F de E tel que D n F soit
exactement l'orbite de l'origine 0 sous l'action du groupe Aut(D) des automor-
phismes analytiques de D .
D'autre part, VIGUE [18] a 6tudi~ les automorphismes analytiques d'un domaine
de Reinhardt bornd d'un espace de Banach ~ base et en particulier, ila prouv~ un
th~or~me de classification de domaines de Reinhardt born~s homog~nes d'un espace de
Banach complexe g base et ~ la fin de son article, il a donng une classification de
2
domaines de Reinhardt born~s d'un espace de Banach ~ base E tel que codim E F = I .
Darts [16] et [17] , VIGUE a ~tudi~ les automorphismes analytiques des produits
continus de domaines born~s et la dgcomposition d'un domaine borng sym~trique en
produit continu de domaines borngs sym~triques irr~ductibles.
Dans le chapitre I , nous allons ~tudier les domaines de Reinhardt bombs
dans l'espace de Banach complexe rC(S,E) des fonctions continues sur un es-
pace topologique compact S .
D'abord nous montrerons un th~or~me qui d~termine le sous-espace vectoriel com-
plexe ferm~ F de ~(S, )~ pour un domaine de Reinhardt born~ de ~'(S,~) o Ensuite,
nous allons montrer un th6or~me de classification de domaines de Reinhardt horn, s
homog~nes dans ~(S,E) , avec une hypothh~e suppl~menta~re )H( d6f. (void" 1.2.1| )
sur l'existence des sections . Plus prdcisgment, si D est un domaine de Reinhardt
bornd homog~ne de ~(S,E) tel que la condition )H( soit vgrifi~e, alors li existe
un espace de Banach ~ au-dessus de ~ (o~ ~ est 'I espace quotient de S par
la relation d'~quivalence ~ dgfinie au le~=ne 1.2.10) tel que rC(S,~) soit
isomorphe ~ F(~) et que D soit isomorphe ~ la boule unit~ ouverte B de
F(~, ~) (produit continu de boules unit~s ouvertes de ~ , pour tout ~ C ~ ) .
S
I.|. RAPPELS ET DEFINITIONS.
Soit D un domaine borng d'un espace de Banach complexe E . On notera Aut(D) ,
le groupe des automorphismes analytiques de D et comme dans VIGUE [14]~Aut(D) est
muni de la topologie de la convergence uniforme locale.
I.I.1. L'al$~bre de Lie ~(D) : (voir [14]) .
Soit D un domaine born~ d'un espace de Banach complexe E . On dit qu'un homo-
morphisme ~ du groupe additif IR dans Aut(D) est un groupe ~ un param~tre r~el
d'automorphismes de D si l'application
x D ~ D
,t( x) ~ ~ ~(t).x
est analytique par rapport h l'ensemble des variables.
On appelle transformation infinit~simale associ~e au groupe ~ un param~tre
' 1 application holomorphe
: D > E
~(t) .x - x
x P > ~(x) = lim
t
o~-t
Soit ~(D) l'ensemble des transformations infinit~simales de D associ~es aux
groupes ~ un param~tre r~el d'automorphismes de D . Alors g(D) est une alg~bre
de Lie r~elle normable compl~te. On peut prendre comme norme sur g(D) la norme de
convergence uniforme sur une boule B compl~tement int~rieure ~ D .
I.I.2o D~finitions des domaines horn's sym~triques , homog~nes, cercl~s, de Reinhardt.
z
DEFINITION I.I.2.1. Soit D un domaine born~ d'un espace de Banach complexe E , et
soit a un point de D . Soit o un automorphisme analytique de D . On dit que o
est une sym~trie par rapport au point a si o v6rifie une des conditions ~quivalen-
tes suivantest
(i) 2 0 = id , et a est un point invariant isolg de O ,
(ii) O(a) = a , et O'(a) = - id ,
(iii) il existe un voisinage U de a dans D , et une carte locale
u : U -+ V telle que u(a) = O , et que, dans cette carte, ~ soit lin~aire
~gal ~ -~d .
/
DEFINITION I.I.2.2. - On dit qu'un domaine born~ D = E est sym~trique s'il est
sym~trique par rapport ~ tout point de D .
/
DEFINITION I.I.2.3. - Un domaine bomn~ D c E est dit homog~ne si le groupe Aut(D)
op~re transitivement dans D .
I
DEFINITION I.I.2.4. - Un domaine born~ D = E est dit cercl~ s'il contient l'origine
O et s'il est stable par le groupe ~ un param~tre r~el d'automorphismes de E
ie
(0, x) ~ e x , ( 0 Em)
Soit DcE un domaine born~ sym~trique, alors D est homog~ne et il est iso-
morphe ~ un domaine born~ cercl~ ~toil~ par rapport ~ l'origine. R~ciproquement, un
domaine born~ cercl~ homog~ne est sym~trique.
THEOREME 1.1.2.5. (voir THULLEN [~3] et H.CARTAN [5]) . - Soit D c ~2 un domaine
de Reinhardt born~ (i.e. (x,y) C D ~ (e i@ x, e 0~l' y) E D ; V e, pC C IR ) .
S'il existe un auto<morphisme analytique de D ne laissant pas l'origine fixe, il
existe un isomorphisme lin4aire f de D sur l'un des domaines suivants
I/ A × A = {(x,y) 2 6 E : !XI <I , lYl < I }
on
21
2 B {(x,y) e m2 : Ixt 2 + yl <1} ,
Dans ce cas, D est homoggne.
2/ B r = {(x,y) 6 ~2 : [xI 2 + lYl r < I } ; r > O, r # 2 .
Dans ce cas,
Aut(D) O . = {(x,y) CD : y = O }
Les automorphismes analytiques de A x A sont sur les formes
iOl x+t iO2 u+y
• )
(x,y) ~-" ( e 1+~x' e 1+uy
combings avec
(x, y) ~-~ ,y( x)
o0 81 ' @2 61R ; t, u 6 A .
Les automorphismes analytiques de Br(r # 2) sont les suivants :
iOl x+t i02 1-t~ ] I/r
(x,y) (e ~ , e y [ -- )
(I+Ex) 2
o~. e I • e2c~-; ltJ <I.
1.1.3.Rappels sur les domaines cercl~s born4s.
THEOREME I.I.3.1. (voir [4] , [14] ) .-Soient I D t e 2 D deux domaines cercl4s born6s
eit E.Alors tout isomorphisme analytique de I D sur 2 D tel que f(O) = O,
est lingaire.
THEOREME I.I.3.2. (voir [2]) . - Soit D c E un domaine cercl4 born4 et soit
G c Aut(D) un sous-$roupe ferm4 du groupe Aut(D) . Alors, il existe un sous-
espace vec~oriel complexe F ee_d E tel que D ~ F = G(O) (l'orbite de l'origine O
sous l'action du sroupe G ) ; D N F est un domaine born4 symgtrique de F . De plus
D ~[ F = {z 6 D : G(z) est une sous-vari~t~ complexe ferm4e de D} .
En particulier, deux domaines cercl4s born4s sont biholomorphiquement 4quivalents
si et seulement s'ils sont lingairement 4quivalents.
Le sous-espace F psut-~tre 6gal ~ E , c'est le cas des domaines born6s symd-
triques ; F peut-~tre 6gal g O , c'est le cas par exemple si D est la boule unit4
ouverte de l'espace de Banach complexe ~P~N) (p ~I p , # 2 et +~) ;
d'autres exemples sont donn6s darts ]2[ F ; peut @tre tel que {O}cF c E par exemple
dans le eas des domaines
B = {(x,y) 6 ~2 : 2 Ixl + r lyl < I} , (r # 2, r >O)
r
I.I.4. Rappels sur l'application Z (les syst6mes triples de Jordan).
I.].4.1.
Soit D un domaine cercl4 born6 d'un espace de Banach complexe
E. La sym4trie 0 S =-id par rapport ~ l'origine agit par automorphisme
int4rieur sur l'alg~bre de Lie ~(D) des transformations infinit4simales
de D [14] et d4finit une d4composition direete
g(D) = g(D) + • ~[(D)-
o,h
g(D) + = { ~ 6 g(D) : So., = ~ }
g(D) = { ~ C g(D) : So., : - , }
On d4duit du r4sultat de H.CARTAN pr@c4demment cit4 que ~(D) + est form4
d'applications lin4aires.
L'application
~(D) , E
, ,(0)
est un isomorphisme d'espace de Banach r~el de ~(D)- sur F (voir
[14]). Notons X~ l'unique 414ment de ~(D)- tel que X (0) = ~. I1
existe une application trilin~aire continue
Z : F × E × E ~E
tel que, pour tout 414ment ~ 6 E , on ait :
X~(x) =~ + Z(£,x,x)
L'application Z v4rifie les propri4t4s suivantes (voir [2],[14],[18]):
i) (~, x, y) --~ Z([ , x, y) est ~-bilin6aire sym4trique en x, y et
~-anti-lin4aire en ~([6 F; x,y 6 E).
ii) x ~ iZ([ ,< , x) est un 414ment de [(D) + (pour tout ~ fix6
dans F ).
6
iii) pour tout <,q,< E F, pour tout x E E, on a
2Z(n,Z(<,~,x),x) - Z(~,~,Z(n,x,x)) : Z(Z(~,E,n),x,x).
D'apr~s ii) l'application exp it Z(<,<,.) appartient au groupe
d'isotropie A l'origine Aut0(D) pour tout < 6 F fix4 et tout t E R.
/
DEFINITION 1.1.4.2. - On appelle syst~me triple de Jordan la donn4e d'un couple
(F,Z) o~ F est un espace de Banaeh complexe et Z est une application de F× F ×F
dans F qui v4rifie les propri6t6s (i) , (ii) , (iii) pr4c4dentes.
LEMME 1.1.4.3. ([2],[18]) . - Soit D un domaine cercl4 born4 d'un espace de Banach
complexe E .
i) Soit f E Aut (D) pour tout ~ 6F ; pour tout x , y 6 E, on a
O
f{z( ~, x , y )) = Z(f (~), f(x), f(y)) .
ii) Soit p un projecteur de E tel que i p E ~(D) + , soit E = Ker p ,
O
I = E Imp et soit F %n F , ( ~= 1,2 ) . Alors t on a
Z( F v O , , E E )c v E +o - ~ (~ v , O , = O, I ) .
1.1.5. Rappels sur les automorphismes analytiques des produits continus de domaines
born~s (pour ce parasraphe,voir VIGU{ [16], [17] ) •
D~FINITION 1.1.5.1. - Un espace de Banach ~ au-dessus de S est d4fini par la don-
n4e de deux espaces topologiques ~ et S , de deux applications continues
P : ~ --+ S et q : ~ +--- {I] + , et d'une structure d'espace de Banach com-
plexe sur chaque fibre ~s = P-1(s) , avec qs = ql~. come norme, tel que les pro-
pri4t4s suivantes soient v4rifi4es.
i) S est un espace topologique compl~tement r4gulier ;
ii) les applications
SX ~ "~-" ~ et ~ x ~ -.--+ ,~
(x,y) ~-* x + y , (~ , x ) ~-w Ix
sont continues;
iii) pour toute section continue f : S -+ ~(i.e. p o f = Id S ) , on d4finit une
norme
llf~ = sup q(f(s))
S 6S
et on note F(S,~) l'espsce vectoriel des sections continues f de norme finie;
c'est un espace de B~nach pour la norme.
Nous supposons que, pour tout s 6 S , l'application d'Evaluation
r(s, ~) --.
s
f +--~ f(s)
est une application surjective.
Maintenant , soit ~ un espace de Banach au-dessus de S , et soit B un domaine
borne de F(S, ~) .
Pour tout s 6 S , soit l'ouvert s B c s ~ image de B par l'applieation
r(S, ~) " ~ . ~ s
f : ~ f(s) ,
D~FINITION 1.1.5.2. - On dit qu'un domaine borne B = F(S,~) est produit continu
des ouverts B associ4s, si B est ~gal ~ l'int~rieur de l'ensemble
s
{f 6 F(S, ~) : f(s) 6B s , Vs 6 S } .
Par exemple, la boule unit4 ouverte B ed F(S, ~) est produit continu des boules
unites ouvertes s B de chacun des ~s '
TH~OR~ME 1.1.5.3. - Soit ~ un espace de Banaeh au-dessus de S , et soit B nn__u
domaine born4 de F(S,~) contenant la section nulle, produit continu d'une famille
d'ouverts s c B ~s "
Supposons que l'une des deux conditions suivantes soit v4rifiEe
I/ S est discret ;
2/ )i( V t 6 S, Va6B t , V b t 6 B , il existe une application analytique
T : Bt~ B telle que [T(a)](t) = a t e IT(b)] (t) = b o
(ii) il existe un voisinase U de O darts B tel que B soit 4toi14 par
rapport ~ tout point de U .
Alors,
(P) tout automorphisme analytique ~ ee__d B suffisamment proche de la transformation
identique provient d'une famille (~s)s 6 S d'automorphismes analytiques de s B
!
Dans [16] , VIGUE a donn~ la d4finition suivante des domaines born~s irr4ductibles
d'un espace de Banach complexe.
8
D~FINITION .1.I.5.4. - Soit D un domaine born4 d'un espace de Banach complexe E ;
on dit que D est r4ductible s'il existe un espace de Banach ~ au-dessus d'un
espace topologique compact S, un domaine born4 B de F(S, ~) isomorphe ~ D ,
produit continu d'une famille d'ouverts B c ~ v4rifiant les propri4t4s suivantes :
s s
i) l'ensemble {s 6S : ~s #{O}} a au moins deux 414ments ;
ii) le groupe Aut(B) v4rifie la propri4t4 (P).
Dans le cas contraire, D est dit irr4ductible ; cette d4finition est compatible
avec la d4finition classique en dimension finie donn4e par E.CARTAN [3] .
THEOREME 1.1.5. 6. - Soit D un domaine born~ s~m4trique d'un espace de Banach
complexe E , r4alis4 comme un domaine born4 cercl4 4toi14. On dit que D est r4duc-
tible s'il existe un espace de Banach ~ au-dessus d'un espace topolo$ique compact S ,
l'ensemble {s E S : ~s # {0}} ayant au moins deux 414ments, et un isomorphisme
lin4aire T de E sur F(S, ~) tels que le domaine T(D) soit produit continu des
domaines T(D) s c s ~ , et que T(D) v4rifie la propri4t4 (P) .
PROPOSITION I.I.5. 7 • - Soit H un espace de Hilbert, et soit B sa boule-unit4
ouverte . Alors B est un domaine born4 sym4trique irr4ductible.
/
DEFINITION I.I.5.8. - Soit (E,Z) un syst~me triple de Jordan, on dit qu'un sous-
espaee vectoriel F de E est un id4al de Jordan de (E,Z) si
Z(F,E,E) cF et Z(E,F,E) c F .
PROPOSITION 1.I.5.9. - Si (E,Z) est un syst~me triple de Jordan , et si F est
un id4al de Jordan ferm4 de (E,Z) , l'application Z passe au quotient et d4finit
un syst~me triple de Jordan (E/F , ZE/F) . Si on suppose de plus que (E,Z) est le
syst~me triple de Jordan associ6 A un domaine born4 cerclE homo~ne D,
la vari4tE sym4trique associ4e ~ (E/F, ZE/F) est un domaine borne A , t e
U
A est l'image de D par la projection naturelle E ~ E/F.
DEFINITION I.I.5.10. - Soit D un domaine borne symEtrique d'un espace
de Banach complexe E. On dit que D est fortement irr4ductible si les
seuls idEaux de Jordan du syst~me triple de Jordan associE (E,Z) sont
{0} et E.
g
DEFINITIO~ 1.I .5.11.
Soit D un domaine born4 cercl4 homog~ne, et soit (E,Z) le syst~me
triple de Jordan associ4. On dit qu'un id4al de Jordan ferm4 F de E
est irr4ductible (resp. fortement irr4ductible) si le domaine born4 cercl4 homog~ne
A associ4 ~ (E/F, ZE/F) est irr4ductible (resp. fortement irr4ductible).
PROPOSITION 1.1 .5.12. - Soit D c E un domaine born4 cercl4 homog~ne fortement
irr4ductible . Alors D est irr~ductible.
THEOREME I. 1.5. T3. - Soit D un domaine born4 cercl4 homo~ne d'un espace de Banach
complexe E . Alors il existe un espace topolo~ique compl~tement risulier S , n_n__u
espace de Banach ~ au-dessus de S et un isomorphisme lin4aire 0q de E
sur un sous-espace vectoriel ferm4 de r(s, )o~ tels que :
i) pour tout s 6 s , [k0(e)](s) = ~s ;
ii) l'application qui, ~ s £ S , associe le sous-espace vectoriel de ~p(E) s~__ed
414ments nuls au point, s , est une bijection de S sur l'ensemble des id4aux de
Jordan irr4ductibles de E ;
)lli pour tout s 6 S s , = D [~0(D)](s) est un domaine born4 cercl4 homog~ne irr4duc-
tible de ~s ; il existe un domaine born4 cercl4 homog~ne A pr0duit continu des s D
et kO(D) = X/ N ~0(E) .
En dimension finie on ale th4or~me suivant (voir [17]).
THEOREME 1.1.5.14. - Soit D un domaine born4 cercl4 homog~ne d'un espace vectoriel
complexe de dimension finie. Alors D est irr4ductible si et seulement si D est
fortement irr4ductible.
z
Pour les d4monstrations de ces th4or~mes et propositions , voir VIGUE [16], [17].
/
1.2. CLASSIFICATIONS DES DOMAINES DE REINHARDT BORNES HOMOGENES DANS L'ESPACE DE
BANACH COMPLEXE c~(S,¢) .
Soit S un espace topologique compact, et soit CC(S,~) l'espace des fonctions
continues de S dans ~ , muni de la norme de la convergence uniforme.
t
DEFINITION 1.2.1. - Un domaine D de ~(S,~) est dit de Reinhardt si les deux
conditions suivantes sont v4rifi~es :
I/ O C D ;
10
2/ pour tout f 6 D , pour tout ~ 6 ~(S,~) tel que I~(s)I = i , VsES,
on a
f £ D .
Soit D un domaine de Reinhardt born6 de ~(S,{) , et soit F le sous-espace
vectoriel complexe ferm6 de ~(S,~) (th6or6me 1.1.3.2) tel que
Aut D . O = D N F ;
on va prouver le
y \
THEOREM]{ 1.2.2. - II existe un sous-ensemble ferm@ T de S tel que
F = {f (~(S,{) : fiT : 0 } .
D6monstration. Soit
T = {x 6 S : f(x) = 0 , pour tout f 6 F}
et soit
F v = {f 6~(S,E) : fiT = 0 , }
il est clair que
-I
T = N f (o) ,
f f F
donc T est ferm6 dans S .
On a besoin de la proposition suivante (volt [10]) .
PROPOSITION 1.2.3. - Soit H un ideal dans ~(S,~) et soit T l'ensemble
T = { x £ S : g(x) = 0 , pour tout g 6 H } .
Alors f 6 H (la fermeture de H ) si et seulement si f s'annule sur T .
On a besoin aussi du lem~e suivant .
LEMME 1.2.4. - F est un id6al de ~(S,~)
D~monstration. Soient f @ F ; g @¢@'(S,~) . On peut supposer IgI ! I sur s .
Comme le domaine D est de Reinhardt, il est clair que le sous-espace F est
stable par multiplication par une fonction de module I partout. Pour des raisons
topologiques, il n'est pas possible d'~crire g comme somme de 2 fonctions de
module I . Cependant, on peut s'y prendre de fa¢on suivante :
g = 3( g + 2 ) + ( - 2 )
3
= 3 go + ( - 2 )
