Table Of ContentRAHMENTRAGWERKE
UND DURCHLAUFTRÄGER
VON
DR. ING. RICHARD GULDAN
HABIL.
O. PROFESSOR AN DER DEUTSCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE IN PRAG
MIT 435 TEXTABBILDUNGEN UND 58 TAFELN
ZWEITE, NEUBEARBEITETE
UND WESENTLICH ERWEITERTE AUFLAGE
SPRINGER-VERLAG WIEN GMBH
1943
ISBN 978-3-662-01750-0 ISBN 978-3-662-02045-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-02045-6
ALLE RECHTE, INSBESONDERE DAS DER üBERSETZUNG
IN FREMDE SPRACHEN, VORBEHALTEN
COPYRIGHt 1940 AND 1943 BY SPRINGER-VERLAG WIEN
URSPRUNGUCHERSCHIENENBEI SPRINGER-VERLAG OHG. IN VIENNA 1943
Vorwort zur ersten Auflage.
Es wird häufig die Ansicht vertreten, daß Baustatik ein Wissensgebiet sei, das
derzeit schon als völlig durchforscht und abgeschlossen angesehen werden könne,
weshalb auch für die praktische Anwendung keine wesentlichen Verbesserungen und
Fortschritte mehr zu erwarten wären. Diese Anschauung ist jedoch grundsätzlich
abzulehnen und wird auch durch das laufende Schrifttum ständig widerlegt. Bei dem
gegenwärtig in allen Zweigen der Technik herrschenden Bestreben, die Leistungs
fähigkeit der einzelnen Betriebe durch eine straffe und zielbewußte Organisation
ständig zu steigern, erscheint es dringend notwendig, auch die Berechnungsmethoden
der Baustatik und die zugehörigen Hilfsmittel immer zweckmäßiger zu gestalten,
um so die Büroarbeiten auch bei der Behandlung schwieriger Konstruktionen auf ein
Mindestmaß einschränken zu können.
Diesem Zwecke soll das vorliegende Buch in erster Linie dienen. Bei seinem
Gesamtaufbau und seiner Gliederung war der Verfasser daher von dem Bestreben
geleitet, vor allem den Wünschen der praktisch tätigen Ingenieure und Statiker
gerecht zu werden, deren Ziel in der Regel eine möglichst rasche Lösung der gestellten
Aufgaben sein wird. Gleichzeitig sind aber auch die Bedürfnisse der Studierenden
weitgehendst berücksichtigt, denen eine anschauliche, wirklichkeitsnahe Darstellung
der erforderlichen theoretischen Grundlagen in sinnvoller Verbindung mit der prak
tischen Anwendung und den zugehörigen Hilfsmitteln stets willkommen sein wird.
Der gesamte Inhalt des Buches ist in drei Teile gegliedert, um die Benutzung
vor allem als Hand- und HiHsbuch zu erleichtern und überall eine gute übersipht
zu erzielen. Im Ersten Teil, der dem Text gewidmet ist, werden in sechs Abschnitten
die mit der Ausgestaltung und Weiterentwicklung des bekannten "Drehwinkel
verfahrens" zusammenhängenden Fragen von Grund auf eingehend behandelt und
für die verschiedensten Tragwerksgattungen mit und ohne Vouten gebrauchsfertige
Gleichungen in einfacher und zweckmäßiger Schreibweise aufgestellt, wobei stets
auf eine strenge Unterscheidung zwischen Tragwerksformen mit "verschieblichen"
und "unverschieblichen" Knotenpunkten besonderer Wert gelegt wird.
Der Einfluß der Querschnittsveränderlichkeit, namentlich der Stabendver.
stärkungen (Vouten), wird in augenfälliger Weise unter den üblichen Voraussetzungen
auch zahlenmäßig vollständig klargestellt. Gleichzeitig wurden, einem in Fachkreisen
oft geäußerten Wunsch entsprechend, ausführliche und bequeme HiHsmittel in einer
solchen Ausstattung geschaffen, daß sie dem Statiker die rechnerische Erfassung
der Voutenwirkung ohne nennenswerten Mehraufwand an Arbeit gestatten und dazu
beitragen, die beträchtlichen konstruktiven und wirtschaftlichen Vorteile zu er
schließen, die sich aus einer günstigen Anordnung solcher Schrägen bei vielen
Rahmentragwerken erzielen lassen. Es kann auf diese Weise in der Regel auch eine
bedeutende Stahlersparnis erreicht werden.
Weiter wird in einem eigenen Abschnitt die Ermittlung der Einflußlinien an
statisch unbestimmten Tragsystemen ausführlich dargelegt, wobei wiederum be
sonderes Augenmerk auf die Berücksichtigung der Vo utenwirkung gerichtet ist.
Die vorgeschlagenen Berechnungsverfahren gestatten unter gleichzeitiger Ver-
IV Vorwort zur ersten Auflage.
wendung der im Dritten Teil des Buches enthaltenen Zahlen- und Kurventafeln
eine wesentliche Vereinfachung in der zahlenmäßigen Bestimmung der Einfluß
linien für Rahmentragwerke mit geraden oder parabolischen Vouten.
Die Wirkung von gleichmäßigen und ungleichmäßigen Temperaturänderungen
an statisch unbestimmten Tragwerken, sowie ihre rechnerische Erfassung wird in
einem solchen Umfange erläutert, wie es für das Verständnis dieses Problems not
wendig und für die praktische Anwendung wünschenswert erscheint.
Im Hinblick auf die große Bedeutung, die den Durchlauft rägern mit Auflager
verstärkungen im Bauwesen zukommt, wird diese Trägerform mit allen Sonder
fällen im Anschluß an die Abschnitte über Rahmentragwerke einer eingehenden
Behandlung unterzogen. Die praktische Berechnung dieser Trägerart für die ver
schiedensten Belastungsfälle, sowie die Ermittlung dep Einflußlinien wird mit Hilfe
der im Dritten Teil zusammengestellten Zahlen- und Kurventafeln bedeutend er
leichtert.
Da die Auflösung linearer Gleichungssysteme bei der zahlenmäßigen Berechnung
von Rahmentragwerken eine große Rolle spielt, war es notwendig, auch dieser
Frage einen angemessenen Raum zur Verfügung zu stellen und einige Rechenvor
schriften für die abgekürzten Auflösungsverfahren in einer solchen Form auszu
arbeiten, daß der Rechnungsgang auch von weniger Geübten leicht überblickt
werden kann. Es schien zu diesem Zwecke eine bildmäßige Darstellung des Auf
lösungsvorganges am besten geeignet.
Der Zweite Teil des Buches enthält 20 Zahlenbeispiele von Tragwerken aus dem
Hoch-und Brückenbau, die die praktische Anwendung der im Ersten Teil beschriebe
nen Verfahren unter Benutzung der im Dritten Teil des Buches enthaltenen Hilfs
tafel:Q. zeigen und auch in der ganzen Art der zahlenmäßigen Durchführung als
Musterbeispiele aufzufassen sind. Da ein großer Teil von diesen Beispielen sowohl
mit, als auch ohne Vouten berechnet worden ist, so kann der Einfluß der Stabend
verstärkungen auf die Momentenverteilung bei verschiedenen Tragwerksformen
zahlenmäßig verglichen und damit auch in seinen wirtschaftlichen Auswirkungen
viel besser beurteilt werden.
Im Dritten Teil des Buches sind sämtliche Hilfstafeln vereinigt. Es stehen
54 Zahlen-und Kurventafeln auf insgesamt 88 Buchseiten zur Verfügung. Sie ermög
lichen eine einfache Umgehung zeitraubender und langwieriger Zahlenrechnungen
und können so zu einer fühlbaren Entlastung der im Büro tätigen Ingenieure bei
tragen. Die meisten Tafeln erscheinen gleichzeitig als Zahlen- und Kurventafeln,
um die Vorteile beider Darstellungsarten zu erreichen und dem Benutzer beim
Gebrauch stets freie Wahl zu lassen.
So möge denn das Buch, dessen Erscheinen in eine wahrhaft große Zeit fällt,
nicht nur den bereits berufstätigen Statikern und Ingenieuren bei der Erfüllung
ihrer oft schwierigen und verantwortungsreichen Aufgaben ein willkommener Helfer
und Berater sein, sondern auch zu einer gediegenen fachlichen Ausbildung und
Erziehung unseres Ingenieurnachwuchses beitragen.
Allen, die an der Vollendung des Werkes Anteil haben, insbesondere meinen
beiden ehemaligen Konstrukteuren Dipl.-Ing. B. PÜSCHEL, Dipl.-Ing. K. HORA und
meinem derzeitigen Konstrukteur Dr.-Ing. G. SIMACEK für seine wertvolle Mithilfe
beim Lesen der Korrekturen, spreche ich an dieser Stelle meinen herzlichen Dank aus.
Weiters danke ich der "Deutschen Gesellschaft der Wissenschaften und Künste"
in Prag, die durch ihre Unterstützung die Fertigstellung der umfangreichen Arbeit
gefördert hat, und schließlich dem Verlag für die Berücksichtigung aller Sonder
wünsche bei der Drucklegung und für die überaus sorgfältige Ausstattung des Buches.
Prag, im Juni 1940. R. GULDAN.
Vorwort zur zweiten Auflage.
Der rasche Absatz der ersten Auflage, die seit einem Jahr vergriffen ist, und die
weiterhin anhaltende rege Nachfrage machten trotz der herrschenden kriegsbedingten
Schwierigkeiten eine Neuauflage des Werkes erforderlich. Die zustimmende Auf·
nahme, die das Buch in weitesten Fachkreisen gefunden hat, läßt deutlich erkennen,
daß der eingeschlagene Weg bei der Ausarbeitung der ersten Auflage richtig war
und daß damit vielen lange gehegten Wünschen aus Statikerkreisen voll entsprochen
worden ist. Das offenbarte sich auch in zahlreichen Zuschriften, die dem Verfasser
aus der Fachwelt zugingen und manch freundliche Anregung enthielten.
Über den Aufbau des Werkes, der sich bestens bewährt hat und daher auch
weiterhin beibehalten werden konnte, ist im Vorwort zur ersten Auflage Grundsätz
liches gesagt. In der neuen Auflage sind jedoch eine ganze Reihe wesentlicher
Erweiterungen vorgenommen worden, die den Anwendungsbereich des Buches
bedeutend vergrößern. Zunächst wurde im ersten Abschnitt ein Kapitel über die
Beziehungen zwischen Belastung, Querkraft und Biegungsmoment eingeschaltet,
in welchem einige grundlegende Sätze der Baustatik in anschaulicher Weise erläutert
werden. Sodann sind im ersten und zweiten Abschnitt bei der Behandlung der
Tragwerke mit und ohne Vouten auch gelenkige Stabanschlüsse eingehend berück
sichtigt worden, um die Vorteile des Drehwinkelverfahrens auch für die Berechnung
solcher Tragwerksgattungen zu erschließen und voll zur Geltung zu bringen.
Weiter treten im Ersten Teil des Buches noch zwei Abschnitte, nämlich der
siebente und achte, vollkommen neu hinzu. Der siebente Abschnitt ist der verein
fachten Berechnung hochgradig statisch unbestimmter Tragwerke gewidmet. Darin
wird zunächst die gewöhnliche Iteration beschrieben und einer kritischen Betrachtung
unterzogen und dann ein spezielles Verfahren, die "Reduktionsmethode" mit
relativer Schätzung der Nachbarunbekannten, dargelegt. Diese Methode setzt
den Statiker in den Stand, auch umfangreiche Tragwerke, die bei Anwendung der
üblichen Verfahren einen unvertretbar großen Zeitaufwand erfordern würden,
mit ganz einfachen Hilfsmitteln zu berechnen.
Im achten Abschnitt wird zuerst die Festpunktmethode in vereinfachter An
wendung auf unverschiebliche Tragwerke behandelt. Es wird gezeigt, wie die
Festpunkte für irgendeinen Rahmenstab sehr leicht aus einer Hilfstafel bestimmt
werden können, ohne die Lage der Festpunkte in den benachbarten Rahmenstäben
kennen zu müssen. Unter Benutzung der gebotenen neuen Hilfstafeln ergibt sich
ein überaus vorteilhaftes Verfahren, das bei hinreichender Genauigkeit wohl mit
zu den schnellsten Methoden zu zählen ist, die für unverschiebliche Tragwerke in
Betracht kommen. Sodann gelangt in diesem Abschnitt das Momentenverteilungs
verfahren für unverschiebliche und verschiebliche Tragwerke mit und ohne Vouten
zur Behandlung. Es wird der einfache Zusammenhang dieser häufig nach CROSS
benannten Berechnungsmethode mit dem Drehwinkelverfahren klargestellt und
gleichzeitig dargelegt, wie durch direkte Benutzung der zahlreichen Hilfstafeln im
Dritten Teil des Buches auch diese Methode namentlich für Voutentragwerke
vorteilhaft angewendet werden kann.
VI Vorwort zur zweiten Auflage.
Im Zweiten Teil des Buches sind sieben Zahlenbeispiele vollständig neu auf
genommen worden, und zwar vier Beispiele für Tragwerke mit gelenkigen Stab
anschlüssen in solcher Auswahl, daß unverschiebliche und verschiebliche Tragwerke
mit und ohne Vouten vertreten sind, und schließlich drei Beispiele, die die praktische
Anwendung der "Reduktionsmethode" bei hochgradig statisch unbestimmten Trag
werken zeigen.
Der Dritte Teil des Buches wurde durch vier "Hilfstafeln zur Festpunktmethode"
bereichert.
So ist zu hoffen, daß das Werk auch in seiner neuen Form die gleiche freundliche
Aufnahme in der Fachwelt finden wird wie die erste Auflage und daß es in gesteigertem
Maße die Arbeiten der praktisch tätigen Statiker und Bauingenieure erleichtern,
sowie gleichzeitig auch den Studierenden das notwendige Verständnis und die
Voraussetzungen zur erfolgreichen Anwendung der neu entwickelten Berechnungs
methoden vermitteln wird.
Es war gewiß nicht leicht, neben der beruflichen Inanspruchnahme und der
starken Belastung mit kriegswichtigen Aufgaben, die Bearbeitung der neuen Auf
lage in dem beträchtlich erweiterten Umfang und mit der für ein solches Werk
notwendigen Sorgfalt und Gründlichkeit vorzunehmen. Die aufgetretenen Schwierig
keiten wurden aber überwunden und es sei hier allen, die dazu beigetragen haben,
herzlich gedankt. Besonders danke ich meinem Konstrukteur Dr.-Ing. G. SWCEK,
der mich wieder in gewissenhaftester Weise beim Lesen der Korrekturen und bei
der Überprüfung der Zahlenrechnungen unterstützte. Besonderer Dank gebührt
aber auch dem Verlag für die wiederum aufs beste gelungene Ausstattung des Buches.
Prag, im Juni 1943. R. GULDAN.
Inhaltsverzeichnis.
Erster Teil.
Erster Abschnitt.
Rahmentragwerke ohne Vouten. Seite
I. Rechnungsgrundlagen für das "Drehwinkelverfahren"..................... 1
1. Die Beziehungen zwischen den Formänderungsgrößen des Rahmenstabes . . 1
2. Vorzeichenregeln für Stabendmomente und Formänderungsgrößen . . . . . . . 2
3. Formeln für die Stabendmomente.................................... 2
II. Allgemeine Beziehungen zwischen Belastung, Querkraft und Biegungsmoment 5
1. Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Richtungsbestimmung der Querkraft aus der Momentenlinie . . . . . . . . . . . . 7
III. Rahmentragwerke mit unver80hieblichen Knotenpunkten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1. Allgemeines... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2. Knotengleichungen für unverschiebliche Tragwerke .................... 11
3. Beschreibung des Rechnungsganges. ......................... ......... 13
4. Tabellarische Aufstellung der Gleichungen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5. Bemerkungen über die Verwendung der Stabfestwerte k ............... 15
6. Die zahlenmäßige Ermittlung der Stabbelastungsglieder ................ 15
7. Berücksichtigung gelenkiger Stabanschlüsse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
A. Allgemeines ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
B. Bedingungsgleichungen ... -. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
C. Anwendungsbeispiel ........................... ,..... ..... ........ 19
IV. Rahmentragwerke mit ver80hieblichen Knotenpunkten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20
1. Allgemeines.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20
2. Aufstellung der Bedingungsgleichungen • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3. Der beliebig belastete Stockwerkrahmen mit lotrechten, geschoßweise gleich
langen Ständern.................................................... 25
a) Bedingungsgleichungen .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25
b) Gleichungstabelle für einen unsymmetrischen, dreistieligen, zweistöckigen
Rahmen........................................................ i8
c) Tabellarische Aufstellung der Gleichungen für symmotrische Tragwerke 29
4. Der beliebig belastete, nur waagrecht verschiebliche Stockwerkrahmen mit
lotrechten, ungleich langen Ständern .............................. 30
Bedingungsgleichungen ......•..•...................... _............. 31
5. Das BU.·Verfahren bei symmetrischen Tragwerken.................... 33
6. Verschiebliche Tragwerke mit gelenkigen Stabanschlüssen .............. 36
A. Allgemeines .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . .. 36
B. Mehrfeldrahmen .......................................... .... ... 37
C. Stockwerkrahmen mit gelenkigen Stabanschlüssen ................. 40
a) Bedingungsgleichungen ........................................ 40
b) Anwendungsbeispiel ....................................... . . .. 40
vm Inhaltsverzeichnis.
Seite
7. Rahmentragwerke mit n,ur lotrecht verschieblichen Knotenpunkten • . . . .• 42
A. Symmetrisch ausgebildete und symmetrisch belastete Vierendeei·
Rahmentragwerke ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42
a) Bedingungsgleichungen .....................................•.• 43
b) Gleichungstabelle für ein symmetrisches Vierendeel-Rahmentragwerk 46
B. Unsymmetrisch ausgebildete, seitlich festgehaltene Vierendeel-Rahmen-
tragwerke ........................... :........................... 47
a) Bedingungsgleichungen .......................................• 47
b) Gleichungstabelle für ein unsymmetrisches, nur lotrecht verschiebliches
Rahmentragwerk ............................................. 51
8. Rahmentragwerke mit lotrecht und waagrecht verschieblichen Knotenpunkten 52
Bedingungsgleichungen . . . . . . . . . • . . . • . . . . . . . . • . • . . . . . • . . . • . . . . . . . . 52
Zweiter Abschnitt.
Rahmentragwerke mit beliebig veränderlichen Stab querschnitten.
I. Vorbemerkung ...................................•.... .".............. 54
II. Allgemeines über die Wirkung veränderlicher Stabquerschnitte ........... 54
III. Rechnungsgrundlagen .......•.............•........................... 57
1. Die Endtangentenwinkel der Biegelinie des Rahmenstabes mit veränder.
lichen Querschnitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2. Formeln für die Stabendmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59
IV. Die Stabfestwerte a, b, c ............................................. 62
1. Statische Deutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62
2. Die zahlenmäßige Ermittlung der Stabfestwerte a, b, c. . . . . . . . . . . . . . .. 62
A. Bei Stäben mit beliebig veränderlichen Querschnitten.............. 62
B. Bei Stäben mit einseitig oder beidseitig geraden oder parabolischen
Vouten ....................•.......•........................... 63
C. Bei Stäben mit ungleichen Vouten ............................... 64
3. Verwendung der Werte a, b, c in der Rahmenberechnung . . . . . . . . . . . .. 66
V. Die zahlenniäßige Ermittlung der Stabbelastungsglieder JJR •••••••••••••• '. 66
1. Bei Stäben mit beliebig veränderlichen Querschnitten und beliebiger Be-
lastung ........................................................... 66
2. Bei Stäben ohne Vouten . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . 67
3. Bei Stäben mit geraden oder parabolischen Vouten ................... 67
A. Hillstafeln für gleichmäßige Vollbelastung .... .. . . . . . . . . . . . . .. ... . . 67
B. Hilfstafeln für Einzellasten bzw. Streckenlasten. . . . . . . . . . . . . . . .. . .. 68
C. Stäbe mit ungleichen Vouten ....•.•............................. 69
VI. Rahmentragwerke mit unverschieblichen Knotenpunkten. . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1. Bedingungsgleichungen .•..•.........•.•.........•.................. 71
2. Beschreibung des Rechnungsganges . • . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . • • . • . • • 72
3. Gleichungstabelle für ein unverschiebliches Tragwerk. . . . . . . . . • . • • . . . . . 72
4. Tragwerke mit gelenkigen Stabanschlüssen ........................... 73
a) Bedingungsgleichungen ........................................... 74
b) Anwendungsbeispiel ............................................. 75
VII. Rahmentragwerke mit verschieblichen Knotenpunkten.................... 76
1. Allgemeines .................................................•..... 76
2. Der beliebig belastete Stockwerkrahmen mit lotrechten, geschoßweise
gleich langen Ständern............................................. 77
a) Bedingungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
b) Gleichungstabelle für ein dreistöckiges, unsymmetrisches Rahmentrag-
werk. ............................................••............ 78
3. Der beliebig belastete Stockwerkrahmen mit lotrechten, ungleich langen
Ständern.......................................................... 79
Bedingungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Inhaltsverzeichnis. IX
Seite
4. Verschiebliche Tragwerke mit gelenkigen Stabanschlüssen ............ " 81
A. Allgemeines .................................................... 81
B. Mehrfeldrahmen ................................................ 82
C. Stockwerkrahmen .............................................. 84
5. Rahmentragwerke mit nur lotrecht verschieblichen Knotenpunkten . . . . .. 85
A. Symmetri/;;ch ausgebildete und symmetrisch belastete Vierendeel-
Rahmentragwerke ....•............................•........... " 85
a) Bedingungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
b) Gleichungstabelle für ein symmetrisches dreigurtiges Vierendeei·
Rahmentragwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . 86
B. Unsymmetrisch ausgebildete, seitlich festgehaltene Vierendeel-Rahmen-
tragwerke ........ , .... " . .. . .. . .. . . . . .. . . .... . .. . . . . . . . . . . . . . . . 87
a) Bedingungsgleichungen . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 87
b) Gleichungstabelle für ein unsymmetrisches Vierendeel·Rahmentrag
werk mit nur lotrecht verschieblichen Knotenpunkten . . . . . . . . . .. 89
6. Rahmentragwerke mit lotrecht und waagrecht verschieblichen Knoten-
punkten.......................................................... 90
a) Bedingungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
b) Gleichungstabelle für ein unsymmetrisches, lotrecht und waagrecht ver-
schiebliches Rahmentragwerk ..................................... 91
Dritter Abschnitt.
Einflußlinien für statisch unbestimmte Tragwerke.
1. Vorbemerkung........................................................ 92
II. Ermittlung der M-Einflußlinien als Biegelinien am (n - 1)-fach statisch un-
bestimmten Tragwerk . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 92
1. Grundlagen des Verfahrens.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 92
2. Ermittlung der Biegelinie aus den Knotendrehwinkeln rp und den Knoten-
verschiebungen «5................................................... 93
3. Vorzeichenregeln für die Einflußlinien und Momente. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 95
4. M -Einflußlinien für Feldquerschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
III. Ermittlung der M-Einflußlinien als Biegelinien am n-fach statisch unbe-
stimmten Tragwerk . . • • . . . . • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96
1. Grundlagen des Verfahrens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2. Sonderfälle........................................................ 98
3. Durchführung der Rechnung ........................................ 98
4. Schlußbemerkung . . . . . • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5. Beispiel: Einflußlinien für einen Zweüeldrahmen ...................... 100
IV. Ermittlung der Einflußlinien für die Querkräfte •........................ 101
Vierter Abschnitt.
Die Wirkung von Temperaturinderungen bei statisch unbestimmten Tragwerken.
1. Tragwerke, die durch eine gleichmäßige Temperaturänderung keine Spannungs-
änderung erfahren .................................................... 103
II. Tragwerke, bei welchen die durch Temperaturänderungen hervorgerufenen
Knotenverschiebungen aus geometrischen Beziehungen aUein bestimmbar sind 103
1. Vorbemerkung ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 103
2. Knotengleichungen ................................................. 104
3. Zahlenmäßige Ermittlung der "Temperaturbelastungsglieder" ........... 106
III. Tragwerke, bei welchen die Knotenverschiebungen aus geometrischen Be-
ziehungen aUein nicht bestimmbar sind ................................. 107
1. Allgemeines...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 107
x
Inhaltsverzeichnis.
Seite
2. Der unsymmetrische Mehrfeldrahmen mit waagrechten Riegeln und beliebig
veränderlichen Stabquerschnitten .....•................•............. 107
A. Ansätze für die Verschiebungsgrößen LI der Rahmenstäbe ........... 107
B. Gleichungsansätze für die Stabendmomente............... . . . . . . . .. 108
C. Knotengleichungen .............................................. 109
D. Verschiebungsgleichungen ........................................ 109
3. Beschreibung des Rechnungsganges .................................. 110
4. Gleichungstabelle für einen unsymmetrischen Dreifeldrahmen mit ver·
änderlichen Stabquerschnitten bei Temperaturwirkung ................. 111
5. Schlußbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 112
IV. Wirkung der ungleichmäßigen Temperaturänderungen .................... 112
1. Voraussetzungen............................................. . . . . . .. 112
2. Belastungsglieder ................................................... 112
A. Anteil infolge LängenäD.derung der Stabachse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 113
B. Anteil infolge Krümmung der Stabachse .......................... 113
V. Verschiedene Nebeneinflüsse bei Rahmentragwerken ...................... 114
1. Einfluß des Schwindens bei Eisenbetontragwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. 114
2. ~erücksichtigung der durch die Längskräfte hervorgerufenen Form·
anderungen ................................•....................... 115
3. Wirkung der Stützen· und Auflagerverschiebungen .................... 115
Fünfter Abschnitt.
Der Durchlauftrii.ger mit veränderlichen Stab querschnitten unter
Berücksichtigung aller Sonderfälle.
I. Allgemeines .......................................................... 116
II. Der Durchlauft räger mit beliebig veränderlichen Trägheitsmomenten in allen
Feldern. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . •. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 117
1. GleichungslIDsätze für die Endtangentenwinkel der Biegelinie . . . . . . . . . .. 117
2. Übergang zu den Dreimomentengleichungen ........................... 119
3. Beschreibung des Rechnungsganges .................................. 120
4. Tabellarische Aufstellung der Dreimomentengleichungen für einen Fünf·
feldbalken .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 121
5. Der Durchlauft räger mit eingespannten Enden ........................ 121
A. Gleichungsansätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 121
B. Tabellarische Aufstellung. der Dreimomentengleichungen für einen
Fünffeldbalken mit eingespannten Enden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 122
6. Der Durchlauft räger mit auskragenden Enden ........................ 123
111. Sonderfälle .............................••...•........................ 123
1. Der Durchlauft räger mit feldweise verschiedenen, innerhalb der Felder
jedoch konstanten Trägheitsmomenten .•........•....•.•.............. 124
2. Der Durchlauft räger mit gleichen Trägheitsmfom enten in allen Feldern ... 124
3. Der Durchlauft räger mit gleichem Verhältnis in allen Feldern ........ 124
4. Der Durchlauft räger mit gleichen Trägheitsmomenten und gleichen Längen
in ~llen Feldern. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . •. 125
IV. Temperatureinflüsse beim, DurchlaWt.räger ............................... 125
1. Allgemeines.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 125
2. Voraussetzungen .................................................... 125
3. Ermittlung der Belastungsglieder •................................... 125
V. Der Durchlauft räger mit nachgiebigen Stützen........................... 126
1. Voraussetzungen..................................................... 126
2. Ansatz für die Dreimomentengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 126
