Quantenmechanik für Naturwissenschaftler: Ein Lehr- und Übungsbuch mit zahlreichen Aufgaben und Lösungen

660 Pages·2017·8.519 MB·German

by  Martin O. Steinhauser (auth.)

Martin O. Steinhauser
Quantenmechanik für
Naturwissenschaftler
Ein Lehr- und Übungsbuch mit
zahlreichen Aufgaben und Lösungen
Quantenmechanik für Naturwissenschaftler
Martin O. Steinhauser
Quantenmechanik für
Naturwissenschaftler
Ein Lehr- und Übungsbuch mit
zahlreichen Aufgaben und Lösungen
MartinO.Steinhauser
Dept.SystemsSolutions
FraunhoferErnst-Mach-Institut
Freiburg,Deutschland
ISBN:978-3-662-52787-0 ISBN:978-3-662-52788-7(eBook)
DOI10.1007/978-3-662-52788-7
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Vorwort
Dieses Lehrbuch ist entstanden aus Vorlesungen zu verschiedenen Themenbe-
reichen der Quantenmechanik, die ich an der Universität Basel seit dem Früh-
jahrssemester 2013 in regelmäßiger Folge für Master- und Bachelorstudenten der
Naturwissenschaften (Chemiker, Biologen, Geologen, Nanowissenschaftler, aber
auchPhysiker,MathematikerundInformatiker)gehaltenhabe.
Die vor einigen Jahren an den Universitäten und Hochschulen eingeführte
und mittlerweile abgeschlossene Umstellung der Studiengänge im europäischen
Bildungsraum auf das Bachelor/Master-System hat generell zu einer deutlichen
„Verdichtung“ und Beschleunigung vieler Studiengänge geführt, so dass heute
in den Naturwissenschaften die grundlegenden Methoden der Quantenmechanik
oftmalsbereitszuBeginndesStudiumsgelehrtundinPrüfungenabgefragtwerden.
Diese zu Recht oftmals beklagte „Verschulung“ des Studiums mit einer Unzahl
von zu bewältigenden schriftlichen und mündlichen Prüfungen erfordert daher in
besonderem Maße eine pädagogische Aufbereitung der Lehrinhalte und Übungs-
möglichkeiten,dieimFallederQuantenmechanikinvielenLehrbücherndurcheine
starkeBeschränkungaufsehrformalemathematischeZusammenhängeundwenige,
mathematisch extrem anspruchsvolle Beispiele ohne Lösungshinweise erschwert
werden.ZudemwirdinderbestehendenLehrbuchliteraturoftmalsnichtderTatsa-
cheRechnunggetragen,dassdurchdieUmstellungderStudiengängeunddassehr
frühzeitigeUnterrichtenderQuantenmechanikdiemathematischenFähigkeitenund
KenntnissebeidenStudierendennochnichthinreichendvorhandenundausgebildet
sind.OhnefundiertemathematischeKenntnisseistesjedochleidernichtmöglich,
einmehralshöchstensoberflächlichesVerständnisderQuantentheoriezuerlangen.
InsofernmüssenindenVorlesungendiemathematischenMethodenzusammenmit
derTheoriederQuantenmechanikgelehrtundsystematischentwickeltwerden.
Dieses Lehrbuch versucht, der beschriebenen Situation Rechnung zu tragen,
indem umfangreiches Übungsmaterial in Form von vollständig gerechneten Bei-
spielen im Haupttext und insgesamt mehr als 100 Übungsaufgaben am Ende der
jeweiligenKapitelmitausführlichenLösungshinweisenfürmehralsdieHälfteder
Aufgabenangebotenwird.Außerdemwerdenca.300Prüfungsfragen–wiesiefür
mündlichePrüfungentypischsind–zumEinübenundWiederholenderLerninhalte
angeboten. In den einzelnen Kapiteln werden ferner in farblich abgehobenen
v
vi Vorwort
mathematischenExkursenineineraufdasWesentlichekomprimiertenDarstellung
eineVielzahlmathematischerZusammenhängeerklärt.
Im Allgemeinen erleichtert eine zumindest rudimentäre Kenntnis der histori-
schen Wurzeln und der Entstehungsgeschichte einer physikalischen Theorie das
Verständnis und das Studium derselben. Ich scheue mich deshalb nicht, auch auf
historische Entwicklungen der Quantenmechanik an geeigneter Stelle einzugehen,
was in Kursvorlesungen normalerweise nicht geschieht. Hierzu gehört auch eine
Diskussion der verschiedenen möglichen Interpretationen der Quantenmechanik,
dieinvielenStandardlehrbüchernentwederkomplettignoriertwirdoderallenfalls
deren prominentesten, dogmatischen Vertreterin Platz einräumt, der sogenannten
Kopenhagener Deutung mit ihrer eigentümlichen Vorstellung des „Kollaps“ der
WellenfunktionbeieinerMessung.FernergebeichbeihistorischenBemerkungen
soweit möglich die Originalreferenzen an, die für Studenten über Universitätsbi-
bliotheken oder in manchen Fällen auch direkt über das Internet zugänglich sind.
Ich empfehle den Studierenden sehr, diese Originalarbeiten wenigstens zu einem
späterenZeitpunktimStudiumzulesen,daindiesenArbeitendiewirklichenPro-
bleme,diebeiderEntwicklungderTheorieeinerQuantenmechanikzubewältigen
waren, besonders deutlich nachzulesen sind. Viele Originalarbeiten setzen aller-
dings Vorbildung in klassischer theoretischer Mechanik voraus. Dennoch glaube
ich, dass Studierende im fortgeschrittenen Studium viele der Originalarbeiten zur
QuantentheoriemitGewinnstudierenkönnen.
DiesesLehrbuchwendetsichvornehmlichanStudierende,inderenStudienplan
im Bachelor- oder Masterstudium Methoden der Quantenmechanik gelehrt wer-
den. Es deckt den Lehrstoff der Quantenmechanik für Naturwissenschaftler ab,
der typischerweise in den einführenden Grundvorlesungen an Universitäten und
HochschulenbiszumMasterabschlussgelehrtwird,undkannsodemStudierenden
alseinBegleiterfürdasgesamteStudiumdienen.
DurchdiedidaktischeAufbereitungdesLehrmaterialsunddurchdiedargebotene
FülleanÜbungsaufgabenmitausführlichenLösungswegenoderHinweisenfürdie
MehrzahlderAufgabeneignetsichdasBuchzumSelbststudiumoderzumStudium
parallelzueinerVorlesung.DozentenmögendieAuswahlanÜbungsaufgabenals
hilfreichempfinden.SchließlichkanndasBuchauchalseinkompaktesNachschla-
gewerk für die Grundlagen der Quantenmechanik und zur Prüfungsvorbereitung
Verwendungfinden.
Behandeltwerdendienicht-relativistischeQuantenmechanik,alsodieSchrödin-
ger-Gleichung und ihre Lösung im Zentralfeld und in verschiedenen Potenzialen,
das Wasserstoffatom, der Formalismus der Erzeugungs- und Vernichtungsopera-
toren, der harmonische Oszillator, der Elektronenspin, sowie die Elektronenstruk-
turtheorie(Hartree-Fock-Lösungsverfahren).LetztereistfürpraktischalleAnwen-
dungeninderQuantenchemie,derBiochemieundderphysikalischenChemievon
Bedeutung und wird in vielen einführenden Lehrbüchern der Quantenmechanik
rechtstiefmütterlichbehandelt.NichtdiskutiertwerdenfortgeschritteneThemender
QuantentheoriewiedierelativistischeDirac-GleichungundihreLösungsverfahren,
Streutheorie, Gruppentheorie, die sogen. zweite Quantisierung von Feldern in
Vorwort vii
der Quantenfeldtheorie, die Quantenelektrodynamik, Feynman-Diagramme oder
die Elementarteilchentheorie (Quantenchromodynamik) mit ihren Abel’schen und
Nicht-Abel’schenEichsymmetrien.
Die Sprache der Quantenmechanik ist die Mathematik des Hilbert-Raumes mit
unendlich vielen Dimensionen und der linearen Abbildungen in diesem Raum
in Form von Operatoren und deren Darstellung in einer Basis als Matrizen.
Wir müssen diese Sprache erlernen, wenn wir mehr als nur ein oberflächliches
Verständnis für die Problemstellungen, die Methoden und die Lösungsverfahren
der Quantenmechanik erlangen wollen. Hierbei versuche ich im Besonderen das
nach meiner Erfahrung in Vorlesungen oft sehr heterogene Hintergrundwissen der
Studierenden durch eine konsequente Einführung mathematischer Methoden in
Exkursen parallel zu den physikalischen Inhalten zu berücksichtigen, um dadurch
einegemeinsameformaleBasisfürdasStudiumderQuantenmechanikzuschaffen.
Viele angebotene Beispiele und Übungsaufgaben sollen das Einstudieren der Me-
thoden und Lösungsverfahren erleichtern, um schließlich das zu erlangen, was im
Englischensotreffendals„WorkingKnowledge“bezeichnetwird.
Einige Bemerkungen zu den Übungsaufgaben in diesem Buch sind an dieser
Stelle angebracht. Es ist selbstverständlich, dass nur durch das Lösen oder Be-
arbeiten einer gewissen Anzahl an Übungsaufgaben ein wirkliches Beherrschen
der Methoden der Quantenmechanik und ihrer Lösungsverfahren erreicht werden
kann. Viele der angebotenen Beispiele und Prüfungsfragen stammen aus früheren
Übungen, Klausuren und mündlichen Prüfungen aus der langjährigen Praxis des
Verfassers an verschiedenen Universitäten. Um selbstständige Lösungsversuche
nicht unnötig zu demotivieren, habe ich auf mathematisch sehr komplizierte und
extremspitzfindigeAufgabenverzichtet,sondernversucht,Aufgabenzuformulie-
ren,dieohneZuhilfenahmevonSekundärliteraturlösbarsind.
DieEinteilungderbehandeltenThemenindieeinzelnenKapitelistwiefolgt:
Kap.1 präsentiert eine allgemeine Einführung in einige wichtige Grundlagen
und Konzepte aus der klassischen Mechanik, auf denen die Quantenmechanik
aufbaut.
Kap.2 bietet eine Einführung und Diskussion der wichtigsten experimentellen
Beobachtungen und Tatsachen, die zur Entwicklung einer Theorie der inneren
StrukturvonAtomenundschließlichzurQuantenmechanikgeführthaben.Ichfolge
beidieserEinführungindieQuantenmechanikimWesentlicheneinertraditionellen
induktiven Methode durch eine Betrachtung einiger historischer Schlüsselexperi-
mente, die zu Beginn des 20. Jahrhunderts zur Entwicklung der Quantentheorie
maßgeblich beitrugen. Hier wird also versucht, aus dem speziellen Experiment
herausaufallgemeineGesetzmäßigkeitenzuschließen.DieKenntnisdieserExperi-
menteerleichtertdemAnfängererfahrungsgemäßdasAneignenderverschiedenen
Ideen und begrifflichen Konzepte, welche durch die Quantentheorie eingeführt
werden.
In Kap.3 besprechen wir die Grundgleichung der Quantenmechanik – die
Schrödinger-Gleichung – und untersuchen ausführlich ihr Lösungsverhalten für
einfacheModellsysteme,wiez.B.dasTeilchenimKastenpotenzial.
viii Vorwort
In Kap.4 biete ich eine axiomatische Darstellung der mathematisch-formalen
Grundlagen der Quantenmechanik an. Ausgehend von wenigen Axiomen, welche
dieGrundaussagenderQuantentheoriedarstellen,werdendiemathematischenMe-
thoden zur Lösung der Grundgleichung der Theorie – der Schrödinger-Gleichung
– entwickelt. Wesentliche Elemente sind die lineare Algebra selbstadjungierter
Operatoren im Hilbert-Raum. Wir werden auch detailliert die Heisenberg’sche
UnschärferelationbesprechenunddieEinführungvonDeltafunktionen(Distributio-
nen)fürOperatorenmiteinemkontinuierlichenEigenwertspektrum.DiesesKapitel
stellt die wichtigste Basis für das Verständnis der Methoden und Rechenverfahren
derQuantenmechanikdarundsolltedahervomLernendenmitbesondererSorgfalt
studiertwerden.
Kap.5 widmet sich der quantenmechanischen Behandlung des vielleicht wich-
tigsten Modellsystems in den Naturwissenschaften, des harmonischen Oszilla-
tors. Besonders wichtig in diesem Kapitel ist die Einführung der algebraischen
Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren (manchmal auch „Leiteroperatoren“ ge-
nannt, welche die formale Darstellung der Theorie wesentlich vereinfachen und
die auch unentbehrlich sind für spätere Erweiterungen der Quantenmechanik zu
einerQuantenfeldtheorie,beiderauchdieelektromagnetischenFelderselbstquan-
tenmechanisch beschrieben (also „quantisiert“) werden. Diese Leiteroperatoren
könnenwirindernicht-relativistischenQuantenmechanikbereitsanwendenbeider
DiskussiondesWasserstoffatomsunddamitRechnungenerheblichabkürzen.
Kap.6 behandelt die Eigenschaften des Drehimpulsoperators, sowie seine Ei-
genwerteundEigenvektoren,diefürdieBewegungvonTeilcheninZentralfeldern
wichtig sind. Die Spezialisierung auf ein Coulomb-Potenzial ergibt für uns dann
diequantenmechanischeLösungdesWasserstoffatoms,alsodieBerechnungseiner
Energiewerte und Zustandsfunktionen. Wir besprechen hier ferner die Einführung
von Orbitalen als Ein-Elektron-Wellenfunktionen, die in der Chemie gebräuchlich
sind,sowiedenSpindesElektrons.
In Kap.7 diskutieren wir einige der wichtigsten Näherungsverfahren in der
Quantenmechanik, denn die Schrödinger-Gleichung kann nur in sehr wenigen
Ausnahmefällen für sehr einfache Probleme (eindimensional oder bei Vorliegen
spezieller Symmetrien) analytisch gelöst werden. Wir behandeln auch die sogen.
elektronische Schrödinger-Gleichung für Mehr-Elektronen-Atome, die daraus ent-
wickelteMolekülorbitaltheorieunddieHartree-Fock-Näherung,derenPrinzipdarin
besteht, das Mehr-Elektronen-Problem auf ein effektives Ein-Elektron-Problem
zurückzuführen. Diese auf dem Variationsverfahren basierende Näherung findet
vor allem Verwendung in der Quantenchemie bei der Untersuchung von kleinen
MolekülenmitsehrwenigenAtomen.
Kap.8 beschäftigt sich schließlich einführend mit den Interpretationen und
konzeptionellen Problemen der Quantenmechanik und versucht, die verschiede-
nen Ansätze auch durch Betrachtung neuerer Arbeiten zu systematisieren. Dem
Lernenden soll aufgezeigt werden, dass keineswegs alle Interpretationsfragen der
Quantentheorie abschließend behandelt und gelöst sind – auch wenn durch ein
dogmatisches Festhalten an der sogen. Kopenhagener Deutung dieser Eindruck
zuweilenerwecktwird.
Vorwort ix
UmeineKonzentrationaufdenInhaltdesTexteszugewährleisten,verwendeichin
diesem Buch grundsätzlich die traditionell männliche Form von Substantiven und
Bezeichnungenundimplizieredabeiselbstverständlichstetsdiejeweiligeweibliche
Form.
SchließlichmöchteichandieserStelledemSpringer-Verlagundhiernamentlich
meiner Lektorin Frau Bianca Alton, sowie Frau Margit Maly und Frau Dr. Vera
Spillner meinen Dank aussprechen für die reibungslose und sehr angenehme
ZusammenarbeitwährendderZeit,inderdiesesLehrwerkentstandenist.
Als mich Frau Spillner vom Springer-Verlag kontaktierte, um mich für dieses
Buchprojektzugewinnen,sagteichnichtsofort„ja“,sonderneher„ja,vielleicht“,
da ich mir nach Erscheinen meines vorherigen Lehrbuches im Springer-Verlag
im Jahre 2008 eigentlich aus Zeitgründen „nie wieder“ für Lehrbuchprojekte
geschworenhatte.SohabeichnundochgegenmeineeigenenGrundsätzeverstoßen
– wie ich hoffe, zum Guten – und würde meine Absichten als erreicht ansehen,
wenndiesesWerkseinenZweckalseinführendesLehrbuchfürdieGrundlagender
Quantenmechanik undalsStudienbegleiter fürStudentenderNaturwissenschaften
guterfüllenwird.
FreiburgimBreisgauundBasel, MartinO.Steinhauser
imJuni2016
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung ..................................................... 1
1.1 WorausbestehtMaterie? .................................... 1
1.2 DieklassischeMechanik .................................... 4
1.3 DieLagrange-FunktionderklassischenMechanik ............... 5
1.4 DiekanonischenBewegungsgleichungen....................... 8
1.4.1 DeterminismusinderklassischenMechanik............. 9
1.4.2 BewegungsgleichungenundPoisson-Klammern.......... 10
1.5 AusblickaufdieQuantenmechanik ........................... 12
1.5.1 Quantisierung...................................... 13
1.5.2 DasKorrespondenzprinzip ........................... 13
1.5.3 DieSolvay-Konferenzen ............................. 14
1.6 IndeterminismusinderQuantenmechanik ...................... 15
1.7 DieWelleneigenschaftenvonLicht............................ 16
1.7.1 VonNewtonzuMaxwell............................. 17
1.7.2 FormaleBeschreibungvonWellen..................... 19
ZusammenfassungderLernzielevonKap.1 .......................... 22
Übungsaufgaben ................................................ 24
Prüfungsfragen.................................................. 27
WeiterführendeLiteratur.......................................... 28
2 EinführungindieQuantenmechanik.............................. 29
2.1 Einleitung ................................................ 30
2.2 EntwicklungdermodernenAtomtheorie ....................... 35
2.2.1 EntdeckungdesElektrons............................ 36
2.2.2 EntdeckungdesAtomkerns........................... 41
2.3 SchlüsselexperimentezurQuantenmechanik .................... 47
2.3.1 AtomareSpektrenunddiskreteEnergiewerte ............ 48
2.3.2 DasStrahlungsspektrumSchwarzerKörper.............. 54
2.3.3 DerphotoelektrischeEffekt........................... 87
2.3.4 LichtquantenhypothesevonEinstein ................... 88
2.3.5 DerCompton-Effekt ................................ 90
2.3.6 DerFranck-Hertz-Versuch ........................... 96
2.3.7 DieEinstein-KoeffizientenimStrahlungsgleichgewicht.... 98
xi