Table Of ContentProjektive Geometrie
Wolf P. Barth
Wintersemester 97/98
Version vom 24. M(cid:127)arz 1998
Mathematisches Institut der Universit(cid:127)at
Bismarckstr. 1 1/2, D - 91054 Erlangen
Inhaltsverzeichnis
0 Einfu(cid:127)hrung 1
1 Euklidische Geometrie 3
1.1 A(cid:14)ne Unterr(cid:127)aume (Wiederholung aus der linearen Algebra) . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Das euklidische Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Die Bewegungsgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Volumen, Orientierung, Fl(cid:127)ache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Dreiecksgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6 Kreisgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.7 Kreise am Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 A(cid:14)ne Geometrie 43
2.1 Die a(cid:14)ne Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Das Teilverh(cid:127)altnis, baryzentrische Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3 Lineare a(cid:14)ne Geometrie der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4 Ellipsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5 Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3 Projektive Geometrie 72
3.1 Die projektive Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2 Der projektive Raum IPn(IK) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3 Projektivit(cid:127)aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.4 Das Doppelverh(cid:127)altnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.5 Lineare Geometrie der projektiven Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.6 Das Dualit(cid:127)atsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4 Kegelschnitte in der projektiven Ebene 107
4.1 Projektive Klassi(cid:12)kation der Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.2 Sekanten, Tangenten und Polaren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.3 Parametrisierung von Kegelschnitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.4 Projektivit(cid:127)aten auf Kegelschnitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.5 Systeme von Kegelschnitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
0
0 Einfu(cid:127)hrung
DiesistdieWiederholungeinerVorlesunggleichenTitels,welcheichimWintersemester1994/95
hielt. Damals wollte ich in einer einsemestrigen Geometrie-Vorlesung den gesamten Sto(cid:11) ab-
decken, dessen Kenntnis ich von einem Studenten in einer mu(cid:127)ndlichen Geometrie-Pru(cid:127)fung des
Hauptexamens erwarte. Auch diesmal ist dies wieder meine Absicht.
Projektive Geometrie ist fu(cid:127)r mich eine Art von Lieblingsvorlesung. An Voraussetzungen
braucht man n(cid:127)amlich nicht mehr als die Kenntnis der Linearen Algebra. Die Inhalte kann man
meist zeichnerisch illustrierenund gerade im Zeitalter der Computer-Gra(cid:12)kist das sehr reizvoll.
Au(cid:25)erdem sind diese Inhalte oft einfach zu formulieren und trotzdem u(cid:127)berraschend.
ZieldieserVorlesungistesauch, einige klassischeGebiete derGeometrie davor zubewahren,
in Vergessenheit zu geraten. Gerade, weil die Geometrie in ju(cid:127)ngster Zeit Anwendungen in der
Computer-Gra(cid:12)k gefunden hat, besteht die M(cid:127)oglichkeit, da(cid:25) ihre Weitervermittlung und An-
wendung von den Computergraphikern in die Hand genommen wird, so, wie es fru(cid:127)her bei der
Darstellenden Geometrie durch die Ingenieure geschah. Dies w(cid:127)are bedauerlich, vor allem aus
den folgenden zwei Gru(cid:127)nden: Weil
(cid:15) die Verbindung zwischen Linearer Algebra und Projektiver Geometrie, oder allgemeiner,
zwischenAlgebraundGeometrie eininstruktivesBeispieldafu(cid:127)rist,wieinderMathematik
scheinbar verschiedene Gebiete doch sehr eng zusammenh(cid:127)angen,
(cid:15) Geometrie derjenigeTeilderMathematik ist,welcheramdirektestenunserem(cid:127)asthetischen
Emp(cid:12)nden zug(cid:127)anglich ist.
Bevor wir uns in dieser Vorlesung auf projektive Geometrie konzentrieren, sollen kurze
Einfu(cid:127)hrungenin die euklidische und in die a(cid:14)ne Geometrie gegeben werden. Dabei sollen S(cid:127)atze
aus der Dreiecksgeometrie und der Geometrie des Kreises besprochenwerden, wiez.B. die wich-
tigsten Eigenschaften des Feuerbachkreises. Auch soll kurz an die elementarsten Eigenschaften
der Kegelschnitte erinnert werden.
Die Beziehung zwischen euklidischer, a(cid:14)ner und projektiver Geometrie versteht man am
besten von dem Standpunkt aus, den Felix Klein in seinem Erlanger Programm\ einnahm. Er
"
brachte hier n(cid:127)amlich den Gesichtspunkt ins Gespr(cid:127)ach, da(cid:25) jede Art von Geometrie etwas mit
einer Transformationsgruppe zu tun habe. Die Geometrie ist die Gesamtheit der Eigenschaften,
welche sich bei den Transformationen der Gruppe nicht (cid:127)andern. Fu(cid:127)r die drei erw(cid:127)ahnten Arten
von Geometrie sind dies die folgenden Gruppen, und die zugeh(cid:127)origen R(cid:127)aume, auf denen sie
operieren:
Geometrie Raum Gruppe
n
euklidische IR Bewegungsgruppe
n
a(cid:14)ne IK a(cid:14)ne Gruppe
projektive IPn(IK) projektive Gruppe
Wir werden in dieser Vorlesung die Kenntnis der betre(cid:11)enden Gruppen nicht voraussetzen,
sondern diese Gruppen parallel zu unseren geometrischen Untersuchungen einfu(cid:127)hren.
Felix Klein hat mit seinem Erlanger Programm den Namen der Stadt Erlangen bei Ma-
thematikern unsterblich gemacht. Er selbst blieb allerdings nur wenige Jahre hier, bevor er im
1
damaligen Land Preu(cid:25)en sehr viel Ein(cid:13)u(cid:25) auf die Kultus-Bu(cid:127)rokratie, und damit auf die Lehrer-
ausbildunggewann.Ichbinimmerdavonausgegangen, da(cid:25)KleinsErlangerProgrammlateinisch
abgefa(cid:25)t, und damit unlesbar ist. Vor drei Jahren machte mich allerdings jemand darauf auf-
merksam, da(cid:25) es davon auch eine deutsche Version gibt. Leider habe ich mir nicht gemerkt, wer
das war, oder wo diese Version zu (cid:12)nden ist.
WerKleinsErlangerProgrammnichtimOriginallesenm(cid:127)ochte oderkann,demseiderzweite
von den drei B(cid:127)anden
F. Klein: Elementarmathematik vom h(cid:127)oheren Standpunkt aus. Dritte Au(cid:13)age, Springer-
Verlag (Nachdruck 1968)
empfohlen. Neben diesem Buch habe ich bei meiner kurzen Darstellung der euklidischen und
a(cid:14)nen Geometrie, die ich vor der Behandlung der projektiven Geometrie geben m(cid:127)ochte, noch
die folgenden Bu(cid:127)cher zu Rate gezogen:
H.S.M Coxeter, S.L. Greitzer: Geometry Revisited, The Mathem. Assoc. of America (1967),
G. Fischer: Analytische Geometrie, Vieweg (1979),
W. Klingenberg: Lineare Algebra und Geometrie, Springer Hochschultext (1984),
M. Koecher: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Springer Grundwissen (1985),
M. Koecher, A. Krieg: Ebene Geometrie, Springer Lehrbuch (1993).
BeimeinerDarstellungderprojektivenGeometriehabeichsehrvonholl(cid:127)andischenVorlesungs-
skripten des Kollegen J. Simonis pro(cid:12)tiert, der zu Beginn der 70er Jahre an der Universit(cid:127)at
Leiden diese Vorlesung mehrmals hielt, als ich auch gerade dort war. Simonis selbst hat o(cid:11)ebar
intensiv das Buch
J.G.Semple,G.T.Kneebone:AlgebraicProjectiveGeometry,Oxford,ClarendonPress(1952)
zu Rate gezogen. Ein sehr sch(cid:127)ones, und erfreulich du(cid:127)nnes Buch ist auch
P. Samuel: Projective Geometry, Springer (1988).
2
1 Euklidische Geometrie
1.1 A(cid:14)ne Unterr(cid:127)aume (Wiederholung aus der linearen Algebra)
n
Wir betrachten Vektoren v 2IR . Die Komponenten des Vektors v nennen wir v(cid:23) ((cid:23) =1;::;n),
also v =(v1;:::;vn).
Die Fundamentalaufgabe der linearen Algebra besteht darin, ein lineares Gleichungssystem
zu l(cid:127)osen. (Lineare Gleichungen sind u(cid:127)brigens die einzigen Gleichungen zwischen reellen Zahlen
in der Mathematik, die exakt l(cid:127)osbar sind.) Ein homogenes lineares Gleichungssystem hat die
Form
Xn
(cid:23)
a(cid:22)v(cid:23) =0 ((cid:22) =1;:::;m):
(cid:23)=1
n
Jeder Untervektorraum V (cid:26)IR ist der L(cid:127)osungsraum eines linearen Gleichungssystems. Es gibt
n
somit zwei prinzipiell verschiedene Methoden, einen Untervektorraum V (cid:26)IR zu beschreiben:
(cid:15) Explizit, d.h., durch ein Erzeugendensystem
Xd
n (cid:22) 1 d
V =fv 2IR : v = c v(cid:22); c ;:::;c 2IRg:
(cid:22)=1
(cid:15) Implizit, d.h. durch ein Gleichungssystem
Xn
n (cid:23)
V =fv 2IR : a(cid:22)v(cid:23) =0 fu(cid:127)r (cid:22)=1;:::;mg:
(cid:23)=1
Der U(cid:127)bergang von einer impliziten Beschreibung zu einer expliziten Beschreibung eines Un-
tervektorraums besteht in der L(cid:127)osung des Gleichungssystems. Aber auch der U(cid:127)bergang von
einer expliziten Beschreibung zu einer impliziten Beschreibung besteht in der L(cid:127)osung eines ho-
mogenen Gleichungssystems: Sind n(cid:127)amlich Erzeugende v1;:::;vd 2 V gegeben, so sucht man
Zeilenvektoren a1;:::;ar die den Raum
Xn
n
fa 2IR : v(cid:22);(cid:23)a(cid:23) =0 fu(cid:127)r (cid:22)=1;:::;dg
(cid:23)=1
erzeugen.
Die Fundamentaloperationen beim Umgang mit Untervektorr(cid:127)aumen sind die Bildung des
n
DurchschnittsV1\V2 unddesVerbindungsraumsV1+V2 zweierUntervektorr(cid:127)aume V1;V2 (cid:26)IR .
Die Dimensionsformel
dim(V1 \V2)+dim(V1 +V2) =dim(V1)+dim(V2)
gibt den Zusammenhang zwischen den Dimensionen dieser R(cid:127)aume.
Entsprechend der Beschreibung der Untervektorr(cid:127)aume V1;V2 ist die Ermittlung von Durch-
schnitt oder Verbindungsraumentweder einfach (Zusammenfu(cid:127)gen der Gleichungen, bzw. Erzeu-
gendensysteme) oder fu(cid:127)hrt auf L(cid:127)osung eines linearen Gleichungssystems (LGS):
3
Beschreibung V1\V2 V1+V2
implizit einfach LGS
explizit LGS einfach.
Neben homogenen linearen Gleichungssystemen l(cid:127)ost man in der linearen Algebra auch inho-
mogene lineare Gleichungssysteme
Xn
(cid:23)
a(cid:22)v(cid:23) =b(cid:22); (cid:22)=1;:::;m:
(cid:23)=1
Falls der Spaltenvektor b auf der rechten Seite 6=0 ist, so ist der Nullvektor 0 keine L(cid:127)osung des
Systems, und die L(cid:127)osungsmenge V kein Untervektorraum mehr. Man hat den Struktursatz: Die
L(cid:127)osungsmenge V des inhomogenen Systems erh(cid:127)alt man, indem man zu einer speziellen L(cid:127)osung
0
t des inhomogenen Systems alle Vektoren aus dem L(cid:127)osungsraum V des homogenen Systems
addiert:
0 0
V =t+V =ft+v : v 2V g:
n
Den L(cid:127)osungsraum V (cid:26) IR eines (homogenen oder) inhomogenen Systems nennt man a(cid:14)nen
n 0 n 0
Unterraum des IR , den zugeh(cid:127)origen Untervektorraum V (cid:26) IR mit V = t+V nennen wir
den zugeh(cid:127)origen parallelen Untervektorraum zum a(cid:14)nen Unterraum V. Die Dimension eines
a(cid:14)nen Unterraums ist die Dimension des zugeh(cid:127)origen Untervektorraums. A(cid:14)ne Unterr(cid:127)aume
der Dimension
9 8
01 >>>>>>= >>>>>>< PGuernakdteen
2 hei(cid:25)en Ebenen
... >>>>>>; >>>>>>: ...
n(cid:0)1 Hyperebenen
n
Ebenso wie bei Untervektorr(cid:127)aumen stellt sich auch fu(cid:127)r a(cid:14)ne Unter(cid:127)aume V1;V2 (cid:26) IR die
Aufgabe, ihren Durchschnitt V1 \V2 und ihren Verbindungsraum V1 +V2 (den kleinsten a(cid:14)-
n
nen Unterraum V (cid:26) IR , der V1 und V2 enth(cid:127)alt) zu bestimmen. Schlimmstenfalls fu(cid:127)hren diese
Probleme auf lineare Gleichungssysteme, aber, weil sie jetzt inhomogen sind, brauchen sie nicht
immer l(cid:127)osbar zu sein.
Wir wollen hier keine abstrakten allgemeinenAussagen formulieren(hierzu s. etwa das Buch
von Fischer), sondern den wichtigsten Spezialfall betrachten: zwei Geraden
2
L1 = f(x;y) 2IR : a1x+b1y =c1g
2
L2 = f(x;y) 2IR : a2x+b2y =c2g
in der Ebene. Die Bestimmung ihres Durchschnitts fu(cid:127)hrt auf die L(cid:127)osung des inhomogenen Glei-
chungssystems
a1x+b1y = c1
a2x+b2y = c2:
4
Ist die Koe(cid:14)zientendeterminante a1b2(cid:0)a2b1 6=0, so ist das System mit der Cramerschen Regel
l(cid:127)osbar:
c1b2(cid:0)c2b1 a1c2(cid:0)a2c1
x= y = :
a1b2(cid:0)a2b1 a1b2(cid:0)a2b1
Ist die Koe(cid:14)zientendeterminante allerdings = 0, so haben wir Probleme: Wir wollen ausschlie-
(cid:25)en, da(cid:25) einer der Koe(cid:14)zientenvektoren (a(cid:22);b(cid:22)) = (0;0) ist. Dann verschwindet die Determi-
nante, wenn beide Geraden parallel sind. In diesem Fall ist der Durchschnitt leer, oder beide
Geraden stimmen u(cid:127)berein.
n
Allgemein nennt man zwei a(cid:14)ne Unterr(cid:127)aume V1;V2 (cid:26) IR
x3
parallel, wennihrezugeh(cid:127)origenparallelenUntervektorr(cid:127)aume x2
0 0 6 L1
V1 und V2 gleich sind. (cid:18)(cid:0)
AberV1\V2 kannauchdannleersein,wennV1 undV2 nicht (cid:0)
parallel sind. Dann hei(cid:25)en die a(cid:14)nen Unterr(cid:127)aume wind- s (cid:0) L2
(cid:0)
schief. So sind etwa die beiden Geraden L1 : x1 = 1;x2 = 0 (cid:0) s - x1
3 (cid:0)
und L2 : x2 =1;x3 =0 im IR windschief.
n
Der Verbindungsraum zweier verschiedener Vektoren v0 6= v1 2 IR ist immer eine Gerade,
in expliziter Form
fv =v0+c(cid:1)(v1 (cid:0)v0) : c 2IRg
oder
fv =v1+c(cid:1)(v0(cid:0)v1) : c 2IRg:
Diese Gerade ist zu unterscheiden von der Strecke
v0v1 =fv =v0+c(cid:1)(v1(cid:0)v0) : c 2IR;0 (cid:20)c (cid:20)1g =fv =v1+c(cid:1)(v0(cid:0)v1): c 2IR;0 (cid:20)c (cid:20)1g
zwischen v0 und v1. Diese Strecke kann man auch symmetrisch in v0 und v1 schreiben, als die
Menge
v0v1 =fv =(cid:21)0v0+(cid:21)1v1 : 0 (cid:20)(cid:21)0;(cid:21)1 2IR;(cid:21)0+(cid:21)1 =1g
der Konvexkombinationen von v0 und v1.
n
Hat man m+1 Vektoren v0;:::;vm 2IR , so hei(cid:25)t die v2
Menge (cid:26)(cid:19)7(cid:3)B
(cid:26)
(cid:26) (cid:19)(cid:3) B
fv =(cid:21)0v0+:::+(cid:21)mvm : (cid:21)0+:::+(cid:21)m =1;(cid:21)(cid:22) (cid:21)0g (cid:26) (cid:19) (cid:3)s B (cid:21)0v0+(cid:21)1v1
(cid:26) (cid:19) (cid:3) B +(cid:21)2v2
(cid:26)
der Konvex-Kombinationen, das von v0;:::;vm aufge- (cid:26) (cid:19) (cid:3) B
(cid:26) (cid:19) (cid:3) B
spannte Simplex. Dies Simplex ist ein echtes, m{ (cid:26) (cid:19) (cid:3) B
dvi0m;:e::n;svimon(cid:0)alves0 lSinimeaprleuxn,abwhe(cid:127)annngidgiseinmd.EVienktzowreeindivm1en(cid:0)- v0I@(cid:26)@@(cid:24)(cid:19)(cid:19)(cid:24)(cid:19)(cid:24)(cid:24)(cid:24)(cid:24)(cid:3)s(cid:24)(cid:24)(cid:24):(cid:24)B v1
sionales Simplex hei(cid:25)t Dreieck. 0 (cid:21)0+1(cid:21)1((cid:21)0v0+(cid:21)1v1)
2
Aufgabe 1.1:ImIR seienzweiGeradengegeben,dieGeradeLmitderGleichungax+by =
c, die Gerade M aufgespannt von den Vektoren (p1;p2)6=(q1;q2). Wann sind L und M parallel,
wann sind sie gleich?
5
3
Aufgabe 1.2: Im IR seien zwei Geraden gegeben, die Gerade L durch die Gleichungen
a1x+b1y+c1z =d1; a2x+b2y+c2z =d2;
die Gerade M aufgespannt von den Vektoren (p1;p2;p3) 6= (q1;q2;q3). Wann sind L und M
parallel, wann schneiden sie sich?
2
Aufgabe 1.3: Die n Punkte a1;:::;an 2IR liegen genau dann auf einer Geraden, wenn
!
1 1 ::: 1
Rang (cid:20)2:
a1 a2 ::: an
1.2 Das euklidische Skalarprodukt
Aus der linearen Algebra brauchen wir die Vertrautheit mit dem euklidischen\ Skalarprodukt
n "
auf dem Zahlenraum IR . Wir benutzen folgende Notation:
Das Skalarprodukt zweier Vektoren
n
x=(x1;:::;xn) und y =(y1;:::;yn) 2IR
ist
(x:y) =x1y1+:::+xnyn:
Die L(cid:127)ange oder Norm des Vektors x ist
q
k xk:= + (x:x):
Die bilinearen Eigenschaften dieses Skalarprodukts sind aus der linearen Algebra wohlbekannt.
Damit beweist man sehr schnell die
2 2 2
Polarisationsformel 2(x:y) =kx+y k (cid:0)kx k (cid:0)ky k
Cauchy{Schwarz{Ungleichung j(x:y)j (cid:20)kx k(cid:1) k y k
Dreiecks{Ungleichung k x+y k(cid:20)k x k+k y k
Mit dem Skalarprodukt werden die beiden folgenden Grundgr(cid:127)o(cid:25)en de(cid:12)niert:
n
Der Abstand zwischen zwei Vektoren x und y 2IR ist
d(x;y) =k x(cid:0)y k;
6
der Cosinus des Winkels 6 (x;y) zwischen zwei Vektoren x 6=06=y ist
(x:y)
cos 6 (x;y) := :
k xk (cid:1)k y k
Aufgrund der Cauchy{Schwarz{Ungleichung ist die rechte Seite betragsm(cid:127)a(cid:25)ig immer (cid:20) 1, und
3
die De(cid:12)nition ist sinnvoll. Im IR erhalten wir daraus (bis aufs Vorzeichen) den aus der Schule
bekannten Winkel zwischen zwei Vektoren.
Der Cosinus de(cid:12)niert den Winkel eindeutig bis auf das Vorzeichen. Anders ausgedru(cid:127)ckt, wir
k(cid:127)onnen mit Hilfe des Skalarprodukts nicht unterscheiden, ob wir den Winkel in Richtung von
x nach y oder umgekehrt, von y nach x messen. Unser Winkel ist nicht orientiert\. Wenn wir
"
wollen, k(cid:127)onnen wir vereinbaren, da(cid:25) unsere Winkel nur die Werte zwischen 0 und (cid:25) annehmen.
Der Cosinus ist = 0, falls das Skalarprodukt (x:y) = 0 ist. In diesem Fall sagt man, die
Vektoren stehen aufeinander senkrecht, x und y sind orthogonal. Fu(cid:127)r orthogonale Vektoren gilt
der bekannte Satz von Pythagoras:
(x:y) =0 =)
x+y
3(cid:17)
2 y 6 (cid:17) 6
k x+y k = (x+y:x+y)
(cid:17)
(cid:17)
= (x:x)+2(x:y)+(y:y) (cid:17)
2 2 (cid:17) -
= kx k +k y k
x
In dieser Form, als Aussage u(cid:127)ber Zahlen{n{tupel ist dieser Satz natu(cid:127)rlich eine Tautologie.
Dies entspricht keineswegs der enormen Erkenntnis, die der Satz auf dem Weg zur Entwicklung
der Geometrie bedeutete. Bei den Babyloniern und den alten A(cid:127)gyptern entstand die Geometrie
aus der Feldmessung, und es war natu(cid:127)rlich von gro(cid:25)em praktischen Wert, einen rechten Winkel
an einer Ecke eines Feldes herzustellen, und nichts anderes dazu zu benutzen, als eine Schnur,
auf der drei, vier, und fu(cid:127)nf gleichlange Stu(cid:127)cke markiert waren.
Wirk(cid:127)onnendieseBedeutungdesPythagorasnochamehestenermessen,wennwirsiealseine
Best(cid:127)atigungdafu(cid:127)rsehen,da(cid:25)dieeuklidischeGeometriedier(cid:127)aumlichenVerh(cid:127)altnisseunsererWelt
mit ausreichender Pr(cid:127)azision wiederspiegelt. Dies gilt natu(cid:127)rlich nicht fu(cid:127)r sehr gro(cid:25)e Distanzen,
wo die relativistische Geometrie zust(cid:127)andig ist, und fu(cid:127)r sehr kleine Distanzen, wo man - soweit
ich wei(cid:25) - noch nicht u(cid:127)ber eine zufriedenstellende Theorie des Raums verfu(cid:127)gt.
n
Eine Basis x1;:::;xn 2 IR hei(cid:25)t Orthonormal{Basis oder Orthonormal{System (=ONS),
falls
(xi:xj) =(cid:14)i;j:
Ein ONS hat gro(cid:25)e praktische Vorteile gegenu(cid:127)ber einer nicht{orthonormalen Basis, denn die
Entwicklungskoe(cid:14)zienten eines beliebigen Vektors
Xn
x= c(cid:22)x(cid:22)
(cid:22)=1
7
berechnen sich einfach als Skalarprodukte
Xn Xn Xn
(x:x(cid:23)) =( c(cid:22)x(cid:22):x(cid:23)) = c(cid:22)(x(cid:22):x(cid:23)) = c(cid:22)(cid:14)(cid:22);(cid:23) =c(cid:23):
(cid:22)=1 (cid:22)=1 (cid:22)=1
n
Jeder Untervektorraum V (cid:26)IR besitzt ein orthogonales Komplement
? n
V =fw 2IR : (w:v) =0 fu(cid:127)r alle v 2Vg:
n
Auch wenn V (cid:26)IR ein a(cid:14)ner Unterraum ist, kann man ein orthogonales Komplement de(cid:12)nie-
ren, allerdings erst nach Auswahl eines Fu(cid:25)punktes v0 2V:
? n
V (v0):=fw 2IR : (w(cid:0)v0:v(cid:0)v0) =0 fu(cid:127)r alle v 2Vg:
0 n 0 ?
Falls V (cid:26) IR der Untervektorraum parallel zu V ist, dann ist V=v0 + V und V (v0) =
0 ?
v0+(V ) .
n n
Behauptung. Zu jedem a(cid:14)nen Unterraum V (cid:26)IR und jedem Vektor w 2IR gibt es genau
?
einen Fu(cid:25)punktvektor v0 2V mit w 2V (v0).
? ? ? ?
Beweis. Eindeutigkeit: Sei w 2 V (v0) und w 2 V (v1). Dann sind V (v0) und V (v1)
0 ?
zwei parallele a(cid:14)ne Unterr(cid:127)aume (beide sind zum Untervektorraum (V ) parallel) und haben
nichtleerenDurchschnitt(beideenthaltendenVektorw).Deswegenstimmensieu(cid:127)berein.Daraus
folgt
? ?
fv1g =V \V (v1) =V \V (v0) =fv0g: w
(cid:2)(cid:2)I@
(cid:2) @ (cid:0)V (cid:0)V0
0 0 0 v0
Existenz: Es sei V =t+V und w(cid:0)t=v+v mit v 2V (cid:2) @(cid:0) (cid:0)
und v0 2(V0)?. Dann ist v+v0I@ (cid:0)(cid:2)(cid:2) (cid:0)
@(cid:0) (cid:2) (cid:0)
(cid:0)@(cid:0)(cid:2)
0 ?
w =(t+v)+v 2V (v0) (cid:0) (cid:0)v
(cid:0)(cid:14)(cid:2)(cid:2)t (cid:0)
mit v0 := t+v. (cid:0) (cid:2) (cid:0)
(cid:0)(cid:2)
(cid:0)0
n
Durch die soeben bewiesene Behauptung wird also zu jedem Vektor w 2 IR eindeutig ein
Vektor v0 2V de(cid:12)niert. Dieser Vektor v0 hat die Eigenschaft, da(cid:25) fu(cid:127)r alle Vektoren v 2V gilt
2
k w(cid:0)v k = ((w(cid:0)v0)(cid:0)(v(cid:0)v0)):((w(cid:0)v0)(cid:0)(v(cid:0)v0)))
2 2
= k w(cid:0)v0 k (cid:0)2((w(cid:0)v0):(v(cid:0)v0))+k v(cid:0)v0 k
2 2 ?
= k w(cid:0)v0 k +k v(cid:0)v0 k ( weil w(cid:0)v0 2V (v0) und v(cid:0)v0 2V)
2
> k w(cid:0)v0 k falls v 6=v0:
Somitistv0 derjenigeVektor inV,derdenkleinstenAbstandzuwhat. DieserkleinsteAbstand
k w(cid:0)v0 k hei(cid:25)t der Abstand des Punktes w vom a(cid:14)nen Unterraum V.
n
Man nennt die Abbildung w 7! v0 auch die Orthogonalprojektion des IR auf den a(cid:14)nen
Raum V.
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