Table Of ContentRebecca Waldecker
Lasse Rempe-Gillen
Primzahltests
für Einsteiger
Zahlentheorie – Algorithmik –
Kryptographie
2. Aufl age
Primzahltests für Einsteiger
(cid:2)
Rebecca Waldecker Lasse Rempe-Gillen
Primzahltests für Einsteiger
Zahlentheorie – Algorithmik –
Kryptographie
2. Auflage
RebeccaWaldecker LasseRempe-Gillen
InstitutfürMathematik Dept.ofMathematicalSciences
M.-Luther-UniversitätHalle-Wittenberg UniversityofLiverpool
Halle,Deutschland Liverpool,Großbritannien
ISBN978-3-658-11216-5 ISBN978-3-658-11217-2(eBook)
DOI10.1007/978-3-658-11217-2
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Fu¨r Lars, Emma und Torben
Vorwort zur zweiten Auflage
Diese zweite Auflage unterscheidet sich von der ersten haupts¨achlich durch die
Korrektur von kleinen Fehlern. Wir bedanken uns bei allen, die uns auf solche
hingewiesen haben, vor allem bei J¨orn Peter und Dierk Schleicher, und wir bitten
um Verzeihung fu¨r jene Ungenauigkeiten, die uns bei der Revision mit Sicherheit
noch entgangen sind. Fu¨r Hinweise auf Fehler oder veraltete Informationen sind
wir weiterhin dankbar.
Die einzige gr¨oßere Ver¨anderung haben wir in Kapitel 1 vorgenommen: Dort
haben wir den Beweis des Fundamentalsatz der Arithmetik vorgezogen, weil uns
dasimNachhineinalsnatu¨rlichererschienundbessermitdemVorgeheninKapi-
tel 3 harmoniert. Außerdem waren im Anhang, aufgrund spannender neuer Ent-
wicklungen in der Zahlentheorie in den letzten Jahren, einige Aktualisierungen
erforderlich!
Lasse Rempe-Gillen und Rebecca Waldecker
Sommer 2015
Vorwort zur ersten Auflage
Forschung in der Mathematik – wie geht das denn?“ Mit dieser Frage werden
”
wir in Gespr¨achen h¨aufig konfrontiert. Dass in Physik, Chemie, Biologie und wei-
teren Wissenschaften noch viele Fragen ungel¨ost sind, ist wohl weithin bekannt.
Aber dass dies auch in der Mathematik der Fall ist, scheint selbst mathematik-
interessierten Menschen kaum bewusst zu sein.
Das h¨angt einerseits mit dem Bild der Mathematik in der Gesellschaft zu-
sammen, andererseits aber auch mit der Natur der modernen Mathematik selbst.
Etwa besteht eine Schwierigkeit darin, dass aktuelle mathematische Fragestellun-
gen und Ergebnisse fu¨r Nichtexperten meist nicht zug¨anglich sind. Selbst fu¨r uns
als Mathematiker sind Forschungsergebnisse, welche nicht in unsere Spezialgebie-
te fallen, kaum zu erschließen. Natu¨rlich gibt es Ausnahmen zu dieser Regel, wie
zum Beispiel den in den 1990er Jahren von Andrew Wiles bewiesenen großen
Satz von Fermat, dessen Formulierung an Einfachheit kaum zu u¨bertreffen
ist1. Doch gerade in diesem Fall ist der Beweis außerordentlich lang und schwie-
rig, und nur wenige Experten weltweit sind wirklich in der Lage, ihn vollst¨andig
zu verstehen.
Im Sommer des Jahres 2002 gelang dem indischen Informatik-Professor Ma-
nindra Agrawal, gemeinsam mit seinen Studenten Neeraj Kayal und Nitin Saxe-
na, ein Durchbruch im Gebiet der algorithmischen Zahlentheorie: Die drei
Wissenschaftler beschrieben ein effizientes und deterministisches Verfahren,
um festzustellen, ob eine gegebene natu¨rliche Zahl eine Primzahl ist. (Die Be-
deutung dieser Begriffe werden wir im Laufe dieses Buches erkl¨aren.) Besonders
bemerkenswert an dieser Arbeit ist, dass sie trotz ihrer Bedeutung nur elemen-
tare mathematische Grundkenntnisse erfordert, welche Studenten der Mathema-
tik oder Informatik u¨blicherweise im Grundstudium erwerben. Zus¨atzlich betrifft
dieses Resultat einen Bereich der Mathematik, dessen Relevanz heute aufgrund
der Anwendung von Verschlu¨sselungsverfahren im Internet (von eBay“ bis zum
”
Online-Banking) unbestritten ist.
Diese Konstellation empfanden wir als einzigartigen Glu¨cksfall, weshalb wir
1 Ist n>2, so gibt es keine ganzen Zahlen a,b,c(cid:2)=0 mit an+bn =cn.“
”
x Vorwort zur ersten Auflage
im Sommer 2005 im Rahmen der Deutschen Schu¨lerAkademie“ einen Kurs zu
”
diesem Thema angeboten haben. Dort haben wir u¨ber zweieinhalb Wochen hin-
weg 16 hochmotivierte Oberstufenschu¨ler auf dem Weg von den Grundlagen
bis zum Verst¨andnis dieses aktuellen mathematischen Ergebnisses begleitet. Der
Spaß,dendieTeilnehmendendabeihatten,undderEnthusiasmus,densieanden
Tag legten, motivierten uns, das vorliegende Buch zum selben Thema zu schrei-
ben.EingroßerTeildesManuskriptsenstanddaherzeitnahzurSchu¨lerakademie,
von November 2005 bis April 2007, und orientiert sich am Aufbau des Kurses.
Wir danken Frau Schmickler-Hirzebruch vom Verlag Vieweg+Teubner fu¨r die
reibungslose Zusammenarbeit und Helena Mihaljevi´c-Brandt, Katharina Rader-
macher, Stefanie S¨ollner und Yasin Z¨ahringer fu¨r ihre Hilfe beim Korrekturlesen.
Ganz besonderer Dank gilt unseren“ DSA-Kursteilnehmenden: Andreas, Chris-
”
tin, Coline, Ina, Fabian, Feliks, Haakon, Johannes, Katharina, Kerstin, Hinnerk,
Martin und Martin, Tabea, Yasin und Yvonne – ihr wart ein wunderbarer Kurs!
Ohne euch w¨are dieses Bu¨chlein nie enstanden!
Lasse Rempe und Rebecca Waldecker
Sommer 2009
Inhalt
Vorwort zur zweiten Auflage vii
Vorwort zur ersten Auflage ix
Einleitung xiii
I Grundlagen 1
1 Natu¨rliche Zahlen und Primzahlen 3
1.1 Die natu¨rlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Teilbarkeit und Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Primfaktorzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Der Euklidische Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Das Sieb des Eratosthenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6 Es gibt unendlich viele Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Algorithmen und Komplexit¨at 29
2.1 Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Algorithmisch l¨osbare und unl¨osbare Probleme . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 Effizienz von Algorithmen und die Klasse P . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4 Wer wird Million¨ar? Die Klasse NP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5 Randomisierte Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3 Zahlentheoretische Grundlagen 65
3.1 Modularrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2 Der kleine Satz von Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3 Ein erster Primzahltest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.4 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.5 Polynome und Modularrechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
xii Inhalt
4 Primzahlen und Kryptographie 103
4.1 Kryptographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.2 RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.3 Verteilung von Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.4 Beweis des schwachen Primzahlsatzes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.5 Randomisierte Primzahltests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
II Der AKS-Algorithmus 123
5 Der Ausgangspunkt: Fermat fu¨r Polynome 125
5.1 Eine Verallgemeinerung des Satzes von Fermat . . . . . . . . . . . . . 125
5.2 Die Idee des AKS-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.3 Der Agrawal-Biswas-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6 Der Satz von Agrawal, Kayal und Saxena 139
6.1 Die Aussage des Satzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.2 Die Beweisidee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.3 Anzahl der Polynome in P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.4 Kreisteilungspolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7 Der Algorithmus 153
7.1 Wie schnell w¨achst ord (n)? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
r
7.2 Der Algorithmus von Agrawal, Kayal und Saxena . . . . . . . . . . . . 155
7.3 Weitere Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
A Offene Fragen u¨ber Primzahlen 163
B L¨osungen und Hinweise zu wichtigen Aufgaben 175
Notationsverzeichnis 201
Stichwortverzeichnis 203
Literaturverzeichnis 209
