Petri-Netze für Ingenieure: Modellbildung und Analyse diskret gesteuerter Systeme

139 Pages·1990·3.19 MB·German

by  Dr.-Ing. Dirk Abel (auth.)

Abel, Dirk
Petri Netze fur Ingenieure
Zugangsnummer: 0160PIDPS/3
Signatur: Abel90
Dirk Abel
Petri-Netze
fur Ingenieure
Modellbildung und Analyse
diskret gesteuerter Systeme
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York London
Paris Tokyo Hong Kong Barcelona 1990
Dr. -Ing. Dirk Abel
Institut fUr Regelungstechnik
RWTHAachen
SteinbachstraBe 54
5100 Aachen
ISBN-13: 978-3-642-95603-4 e-ISBN-13: 978-3-642-95602-7
DOr: 10.1007/978-3-642-95602-7
CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Abel, Dirk:
Petri-Netze flir Ingenieure : Modellbildung und Analyse diskret gesteuerter Systeme 1 Dirk Abel.
Berlin; Heidelberg; New York ; London; Paris; Tokyo; HongKong ; Barcelona: Springer, 1990
ISBN-13: 978-3-642-95603-4
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1990
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1990
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zuzuziehen. '
Druck: Mercedes-Druck, Berlin; Bindearbeiten: Liideritz & Bauer, Berlin
2160/3020-543210 -Gedruckt auf saurefreiem Papier
Vorwort
Gern wird an dieser Stelle die Gelegenheit ergriffen, die Notwendigkeit des vorge
legten Buches zu betonen und den Nutzen zu nennen, welchen es dem geneigten
Leser bringt. Ich mochte mich hinsichtlich solcher Auf3erungen etwas zuriickhal
ten und es bei dem Versuch belassen, Neugierd € ·Zll-. wecken.
Nicht ohne Grund werden die Regelungs-und die Steuerungstechnik oft in einem
Atemzug genannt. Die Vielzahl der Verbindungen zwischen diesen beiden Diszi
plinen driickt sich auch in der zunehmenden Verwendung des Oberbegriffes aus,
fiir den -offensichtlich in Ermangelung aussagekraftigerer Begriffe -die Automa
tisierungstechnik herhalten muBte. So ahnlich die Aufgaben der Regelungs-und
Steuerungstechnik auch sind (in beiden Fallen geht es urn die gezielte Beeinflus
sung dynamischer Systeme), so sehr klafft der Umfang der theoretischen Werk
zeuge auseinander, die zu deren Bewaltigung zur Verfiigung stehen: Wahrend
der Entwurf von Regelungen auf eine breite mathematische Theorie abgestiitzt
werden kann, so heiBt der Entwurf diskreter Steuerungen immer noch im wesent
lichen "trial and error". Sieht man von Simulationen ab, so wird der Steuerungs
entwurf durch keinerlei Analyseverfahren unterstiitzt, die auf einer mathemati
schen Modellbildung des zu steuernden Systems aufsetzen.
Zugegeben, ein solcher Vergleich ist nicht ganz fair; schlieBlich lassen sich dis
kret ablaufende Prozesse weit schlechter mathematisch beschreiben, als dies von
kontinuierlichen behauptet werden kann. Weiterhin sind die Aufgaben und die
Moglichkeiten, die eine diskrete Steuerung bietet, in der Regel vielfiiltiger als
die einer Regelung. Die Entwurfsaufgabe kann sich daher auch nicht darauf
beschranken, etwa fiir einen Satz freier Parameter verniinftige Einstellwerte zu
finden.
Auch die nachfolgenden Seiten werden die genannte Diskrepanz der Entwurfs
methoden nicht nennenswert verringern konnen. Das Buch ist jedoch als Dis
kussionsbeitrag gedacht, der zeigen solI, daB auch diskret gesteuerte Systeme
einer mathematischen Beschreibung und Analyse zuganglich sind. Dabei wird
der Versuch unternommen, die Ergebnisse der von Mathematikern und Informa
tikern rege betriebenen Forschung auf dem Gebiet der Petri-Netz-Theorie fiir
Aufgaben der Ingenieurwissenschaften, hier speziell fiir den Bereich der Steue
rungstechnik, nutzbar zu machen.
VI
Das dem Leser vorgelegte Buch ist aus einer Dissertation [1] hervorgegangen, die
ich wahrend meiner Tatigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut fUr
Regelungstechnik der Rheinisch-Westfalischen Technischen Hochschule Aachen
angefertigt und in den Aufsatzen [2] und [3] zusammengefaBt habe. Dem Leiter
des Instituts, meinem verehrten Lehrer Professor Dr.-Ing. Heinrich Rake, danke
ich fiir die Betreuung meiner Arbeit und im besonderen fiir die Bereitschaft, sich
der Thematik der Petri-Netze anzunehmen. Der Volkswagen-Stiftung danke
ich fiir den finanziellen Rahmen, der die Arbeit moglich machte. Aus dem
Kreis meiner ehemaligen Kollegen sind es Werner Seiche und Ludger Kaster,
deren Beitrage zu diesem Buch ich besonders zu schatzen gelernt habe. Monika
Schwarzenberg danke ich fiir die Sorgfalt, die sie bei der Erstellung der'Druck
vorlage walten lieB.
Aachen, im Marz 1990 Dirk Abel
Inhaltsverzeichnis
1 Einfiihrung 1
2 Theorie der Petri-Netze 4
2.1 Syntax und Darstellung ..... 4
2.2 Schaltregel und Erreichbarkeit . . 8
2.3 Lebendigkeit und Beschriinktheit 14
2.4 Konflikt und Kontakt . . . . . . . 17
3 Modelle diskret gesteuerter Systeme 19
3.1 Petri-Netze als Automaten . 19
3.2 Synthese von Petri-Netzen ... 22
3.3 Spezielle Netzklassen ...... 26
3.4 Netze mit individuellen Marken 35
3.5 Dynarnische Netzeigenschaften . 43
4 Verkniipfung von Teilsystemen 45
4.1 Hierarchische Organisation von Petri-Netzen 45
4.2 Abbildung zeitbehafteter Vorgiinge 49
4.3 Alternative Ne tzverfeinerungen 55
5 Graphentheoretische Analyse 60
5.1 Uberblick .......... .................... 60
5.2 Nachweis der Lebendigkeit fur
beschriinkte Petri-Netze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63
5.2.1 Konstruktion und Auswertung
des Erreichbarkeitsgraphen ... 63
5.2.2 Kondensation gerichteter Graphen . 66
5.2.3 Lebendigkeitsnachweis ....... 70
5.3 Nachweis der Beschriinktheit von Petri-Net zen . 77
5.3.1 Konstruktion des Uberdeckungsgraphen 77
5.3.2 Beschranktheitsnachweis ......... 81
VIII
6 Algebraische Analyse 85
6.1 Uberblick ............................... 85
6.2 Definition und Bedeutung der
Netzinvarianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 87
6.2.1 Definition der S-Invarianten . 87
6.2.2 Definition der T-Invarianten . 88
6.2.3 Interpretation der Invarianten 90
6.3 Ermittlung der Netzinvarianten . . . 93
6.3.1 Einfiihrung in das mathematische Problem. 93
6.3.2 Algorithmus zur Berechnung ganzer Losungen 96
6.3.3 Verfahren zur Ermittlung positiver Losungen . 100
7 Anwendungsbeispiel 105
7.1 BeispielprozeB................... 105
7.2 Graphentheoretische Analyse eines Teilsystems . 106
7.3 Algebraische Analyse des Gesamtsystems 111
8 Zusammenfassung und Ausblick 118
N achwort 120
Formelzeichen 121
Definitionen und SKtze 123
Sachverzeichnis 125
Literaturverzeichnis 127
1 Einfiihrung
Neben der Regelung und Steuerung kontinuierlicher Systeme erfordert die Au
tomatisierung technischer Systeme oftmals auch die Fiihrung von Vorgangen,
denen ein vorwiegend schrittweiser, d.h. diskreter Ablauf zugrunde liegt. Stell
vertretend fUr viele unterschiedliche Bereiche seien hier Transport- und Stiick
gutprozesse in der Fertigungstechnik, aber auch Chargenprozesse in der Verfah
renstechnik als Beispiele solcher Ablaufe genannt. Die Fiihrung dieser Systeme
ermoglichen diskrete Steuerungen, die einer festgelegten Vorschrift folgend aus
den MeBgroBen des Prozesses des sen StellgroBen generieren. Abbildung 1.1 zeigt
eine schematische Darstellung der Fiihrung eines Systems durch eine diskrete
Steuerung, wobei zur besseren Ubersicht die Bedienerschnittstellen unberiick
sichtigt blieben.
..- Diskrete
r--
MeBgroBen r- Steuerung StellgroBen
~
(Ausgabesignal e (Eingabesignale
des Automaten) des Automaten)
Diskret gesteuertes System
(Automat)
Abb. 1.1: Fiihrung eines Systems durch eine diskrete Steuerung
Diskrete Steuerungen werden entsprechend ihrer Arbeitsweise in Verkniipfungs
und Ablaufsteuerungen unterteilt. Eine Verkniipfungssteuerung verwirklicht eine
rein statische eindeutige Zuordnung von MeB- zu Stellgrof3en, z.B. durch eine Ver
schaltung elektronischer Logikgatter wie "und", "oder", "Negation" oder daraus
abgeleiteter Bausteine. Alternativ dazu kann die Funktion einer solchen Steue
rung auch von einem einfachen Digitalrechnerprogramm erfiillt werden, welches
die eingegebenen logischen Verkniipfungen oder aber auch einen Satz von Regeln
in der Form "wenn ... , dann ... " zyklisch interpretiert und ausfiihrt.
1m Gegensatz zu den statisch wirkenden Verkniipfungssteuerungen bieten Ab
laufsteuerungen die Moglichkeit, den beabsichtigten ProzeBverlauf als Arbeit-
2
sprogramm vorzugegeben, mit dem die Generierung der StellgroBen erfolgt. In
der Ablaufsteuerung wird dieses Programm dann in Abhangigkeit von MeBwerten
und Zeitbedingungen schrittweise abgearbeitet. Zur Programmierung von Ab
laufsteuerungen finden Beschreibungsformen wie Ablauftabelle, Funktionsplan
u.a. Verwendung.
Offensichtlich arbeitet eine diskrete Steuerung - anders als die Verwendung des
Begriffs "Steuerung" im Kontinuierlichen vermuten laBt -in einem geschlossenen
Wirkungskreis. Die Verwandtschaft zu einem Regelkreis liegt auf der Hand. Auf
grund fehlender geeigneter Beschreibungsformen kann jedoch die Funktionsfahig
keit eines Steuerungssystems, d.h. das richtige Zusammenwirken von Steuerung
und gesteuertem System, nicht analytisch nachgewiesen werden. Bestenfalls ist
eine Verifikation durch Austesten, d.h. durch AnschluB der Steuerung an den
(realen oder simulierten) ProzeB moglich. Bei einfach zu iiberblickenden, aussch
lieBlich sequentiell ablaufenden Prozessen ist diese Form der Verifikation noch
zu rechtfertigen, weil dann sichergestellt ist, daB samtliche denkbaren System
zustande erfaBt werden. Enthalt das System jedoch zeitlich parallele, d.h. ne
benlaufige Prozesse, so betrachtet ein solcher Test in der Regel nur eine kleine
Untermenge der moglichen Systemzustande. Werden durch nebenlaufige Pro
zesse gemeinsame Betriebsmittel genutzt, so besteht dariiberhinaus grundsatzlich
die Gefahr von Verklemmungssituationen, die im allgemeinen nicht einfach vor
herzusehen sind. Die Notwendigkeit einer weitergehenden Analyse auch diskret
gesteuerter Systeme ist damit offenkundig.
Weniger die zeitkontinuierlichen Teilablaufe, als vielmehr deren gegenseitige
Kopplungen charakterisieren das dynamische Verhalten eines diskret gesteuer
ten Systems. Zur Beschreibung eignet sich daher die Betrachtungsweise der
Automatentheoriej hierbei wird von einer Menge diskreter Systemzustande aus
gegangen, die wiederum als Bedingungen fiir nachfolgende Ereignisse und damit
verbundene Zustandsiibergange fungieren. Diesen Gedanken aufgreifend, werden
in dem vorliegenden Buch Moglichkeiten aufgezeigt, diskret gesteuerte Systeme
mit Hilfe von Petri-Netzen, die auf die Dissertation von PETRI [35] im Jahre
1961 zuriickgehen, zu beschreiben und durch Einsatz mathematischer Methoden
zu analysieren. Unter der "Analyse" ist im folgenden die Uberpriifung von An
forderungen an das dynamische Netzverhalten zu verstehen, welche mit Blick auf
die Steuerungstechnik formuliert werden. Ahnlich wie die Modelle selbst hangen
auch die zur Analyse ausgewahlten Anforderungen, z.B. die der Lebendigkeit,
nicht von der Form, Struktur oder der physikalischen Natur der betrachteten
Systeme abo Aufgrund des zu erwartenden Aufwands werden nur solche Analy
severfahren beriicksichtigt, die eine Ubertragung auf Digitalrechner gestatten.
Kapitel 2 enthalt eine Zusammenstellung derjenigen Begriffe aus der Theorie der
Petri-Netze, die zum Verstandnis des behandelten Stoffes erforderlich sind. Ne
ben der Erlauterung dieser Begriffe dient dieses Kapitel auch zur Einfiihrung in
mathematische Schreibweisen, die unvermeidbare Ungenauigkeiten einer sprach
lichen Formulierung beheben konnen.
3
In Kapitel 3 wird die Modellbildung diskret gesteuerter Systeme mit Petri
Netzen behandelt, womit ein Briickenbau zwischen der Netztheorie und den be
trachteten Systemen erfolgt. Dazu wird zunachst ausgehend vom Gedankenmo
dell des Automaten die spezielle Eignung der Petri-Netze fiir die Beschreibung
nebenlaufiger Prozesse aufgezeigt. Hieraus ergeben sich Randbedingungen fiir die
Synthese bzw. Interpretation von Netzen und Netzkonstruktionen. SchlieBlich
werden die bereits angesprochenen Anforderungen an das dynamische Verhalten
der Netzmodelle formuliert.
Bei der Abbildung umfangreicherer Systeme verlieren die Petri-Netze schnell
die Ubersichtlichkeit und der Aufwand zur Analyse wachst erheblich. Dies gibt
AnlaB, in Kapitel 4 ein Konzept der hierarchischen Organisation von Petri
Netzen, die Teilsysteme in unterschiedlichen Abstraktionsniveaus beschreiben,
vorzustellen und mit Vorschlagen anderer Autoren zu vergleichen. Die Ausfiihrun
gen werden zeigen, daB die Abbildung zeitbehafteter Vorgiinge als Spezialfall
einer solchen hierarchischen Organisation angesehen werden kann, so daB auch
diese Fragestellung hier behandelt wird.
Zur Analyse von Netzen werden dann zwei vallig getrennte Wege beschritten.
Der in Kapitel 5 vorgestellte Weg sieht die Analyse eines Petri-Netzes auf der
Grundlage des Erreichbarkeits- bzw. des Uberdeckungsgraphen vor. Diese sind
gerichtete Graphen, die dem betreffenden Netz zugeordnet werden kannen und
vor der eigentlichen Analyse zu konstruieren sind. Zum Nachweis von Netzei
genschaften, die aus diesen Graphen nicht einfach zu entnehmen sind, finden
graphentheoretische Verfahren Anwendung, die die Zusammenhangseigenschaf
ten auswerten.
Alternativ zu dieser Vorgehensweise kannen durch Einsatz von Methoden der li
nearen Algebra Aussagen iiber das dynamische Verhalten eines Petri-Netzes auch
direkt aufgrund der Netzstruktur gewonnen werden. 1m Mittelpunkt von Kapitel
6 stehen daher die Ermittlung und Interpretation von S-und T -Invarianten. Da
mit werden dynamische Netzeigenschaften charakterisiert, die unabhiingig vom
Anfangszustand des Petri-Netzes sind. Da die Berechnung der Invarianten die
Lasung linearer diophantischer Gleichungssysteme erfordert, wird auch auf Ver
fahren zur Ermittlung ganzzahliger und positiver Losungen dieser Gleichungssy
sterne eingegangen.
Ais Beispiel einer in Kapitel 7 beschriebenen Anwendung der Analyseverfahren
dient ein stark vereinfacht betrachteter TransportprozeB von Containern, der Ne
benliiufigkeiten enthiilt und verklemmungsgefiihrdet ist. Mittels iterativer Aus
wertung der Analyseergebnisse wird ein Modell erarbeitet, welches als Grundlage
fiir eine verklemmungsfreie Steuerung dienen kann.