Table Of ContentP. F. Filtschakow
Numerische und graphische
Methoden der
angewandten Mathematik
Mit 170 Bildern
Vieweg . Braunschweig
Originaltitel:
II.
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qHCJIeHHble H rpacllHqeclme MeTOnbI HpHKJIanHOii MaTeMaTHKH
Erschienen im Verlag Naukowa Dumka, Kiew
Deutsche Obersetzung: Prof. Dr. Ferdinand Cap, Innsbruck, und
Prof. Dr. Gottfried Tinhofer, Miinchen
Verlagsredaktion: Alfred Schubert
1975
AIle Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg &; Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1975
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1975
Die Vervielfiltigung und Obertragung einzelner Textabschnitte, Zeichnungen oder Bilder, auch
flir Zwecke der Unterrichtsgestaltung, gestattet das Urheberrecht nur, wenn sie mit dem Verlag
vorher vereinbart wurden. 1m Einzelfall mu1.\ iiber die Zahlung einer Gebiihr tiir die Nutzung
fremden geistigen Eigentums entschieden werden. Das gilt tiir die Vervielfaltigung durch alle
Verfahren einschlieL\lich Speicherung und jede Vberlragung auf Papier, Transparente, Filme,
Bander, Platten und andere Medien.
Satz: Friedr. Vieweg + Sohn, Braunschweig
ISBN-13: 978-3-528-08339-7 e-ISBN-13: 978-3-322-86000-2
DOl: 10.1007/978-3-322-86000-2
III
Vorwort
Numerische und graphische Methoden der angewandten Mathematik umfassen einen
derart weiten Problemkreis, d~ ihre Behandlung in einer einzigen Arbeit unmoglich ist.
Bei der Auswahl des Materials legt der Autor dieses Handbuches daher den groBten Wert
auf die Behandlung von Fragen, die bei der LOsung der verschiedensten technischen Pro
bleme immer wieder auftreten, in der Literatur aber bisher kaum behandelt worden sind.
Allgemeine Gesichtspunkte, die fur eine Darstellung numerischer Methoden not
wendig sind, werden in straffer Form dargeboten, wobei auch auf die bereits vorhandene
Literatur verwiesen wird. Die zitierten Arbeiten umfassen nahezu das gesamte Gebiet der
angewandten Mathematik.
Sehr ausfuhrlich werden Rekursionsformeln fur das Rechnen mit Potenzreihen be
trachtet (Multiplikation, Division, Potenzieren, Umkehrung von Potenzreihen mit reellen
oder komplexen Koefflzienten), ferner numerische Methoden zur konformen Abbildung,
die die Oberfuhrung gegebener einfach-oder zweifach zusammenhangender Bereiche mit
beliebiger Genauigkeit gestatten, Methoden zur Bestimmung der Konstanten der
Christoffel-Schwarz-Integrale sowie Methoden zur Losung von nichtlinearen Systemen
von algebraischen und transzendenten Gleichungen.
Urn der Bedeutung gerecht zu werden, die den Differentialgleichungen in Theorie
und Anwendung zukommt, wurde in Kapitel6 sehr ausfuhrlich die Verwendung von
Potenzreihen zur Integration von nichtlinearen Differentialgleichungen und zur Bestim
mung von Eigenwerten behandelt.
Das Handbuch ist fur einen breiten Leserkreis gedacht. Fur seinen Gebrauch sind
keine besonderen mathematischen Vorkenntnisse notwendig. Es genugt eine mathema
tische Grundausbildung. Die Darstellung des gesamten Stoffes wurde durch zahlreiche
Beispiele mit Zahlenangaben illustriert. Der Leser hat daher die Moglichkeit, die ihm
interessant erscheinenden Beispiele nachzuvollziehen. Ohne aktive Teilnahme am Stoff
wird sich der Leser kaum das Wissen und die Obung aneignen, die fur eine weitere selbstiin
dige Arbeit notig sind. Wie bemerkte doch Bernhard Shaw sehr treffend: "Wer es versteht,
macht es selbst. Wer es nicht selbst zu tun versteht, lehrt es anderen. Wer es anderen nicht
zu lehren versteht, lehrt, wie man es lehren soll".
SchlieBlich mochte der Au tor den Herren J. A. Mitropolski und J. D. Sobolow fur
eine Reihe von Ratschlligen und Bermerkungen danken, die zu einer Verbesserung der
Darstellung zahlreicher Kapitel des Buches fuhrten.
Der Autor ware allen Lesern fur weitere kritische Bemerkungen und Anregungen
dankbar, die man an folgende Adresse richten moge: Kiew 4, ul. Repina 2, Isdatel'stwo
"Naukowa dumka".
DerAutor
IV
Inhaltsverzeichnis
Kapitell Grundbegriffe 1
1. Einflihrende Bermerkungen 1
2. Naherungszahlen 2
3. Der absolute und der relative Fehler 7
4. Addition und Subtraktion von Naherungszahlen 10
5. Multiplikation, Division, Potenzieren und Radizieren 13
6. Einige rationale Rechenverfahren 18
7. Die Durchflihrungsform von Rechnungen und ihre Uberpriifung 27
Kapitel 2 Tabellierung nnd Interpolation 30
8. Herstellung einer Tabelle nach einer gegebenen Formel 30
9. Rekursionsformeln 34
10. Endliche Differenzen 37
11. Interpolation. Die Formel von Gregory-Newton 44
12. Zentrale Differenzen. Die Interpolationsformeln von Bessel und Everett 52
13. Direkte Interpolation aus den Stiitzpunkten. Subtabellierung 59
14. Die Interpolationsformel von Lagrange. Extrapolation und umgekehrte
Interpolation 73
15. Tabellen mit zwei Eingangen. Die Uberpriifung von Tabellen 80
Obung zu Kapitel 2 84
Kapitel 3 Niiherungsmethoden znr LOsung von Gleichungen nnd Gleichnngs-
systemen 86
16. Die Losung eines Systems von linearen algebraischen Gleichungen nach der Elimi-
nationsmethode 86
17. Numerische Losung von Gleichungen mit einer Unbekannten. Eine graphische
Methode zur Isolierung der Wurzeln 92
18. Die Newtonsche Methode oder die Tangentenmethode 100
19. Die Methode der linearen Interpolation oder die Sehnenmethodel07
20. Die Iterationsmethode 110
21. Die Methode der polynomialen Approximation 114
22. Die Losung eines Systems von nichtlinearen Gleichungen. Die Methode der
linearen Approximation 132
23. Die Methode der Variation der Parameter 139
24. Die Losung einer nichtlinearen Gleichung und eines Systems solcher Gleichungen
im komplexen Bereich 163
Obung zu Kapitel 3 174
Kapitel 4 Das Rechnen mit Potenzreihen 176
25. Einflihrende Bemerkungen 176
26. Funktionenreihen. Gleichmiil.\ige Konvergenz 184
27. Potenzreihen. Der Konvergenzradius 185
28. Rechnen mit Potenzreihen. Rekursionsformeln 190
29. Die Methode der unbestimmten Koeffizienten. Die mote Potenz einer Reihe 197
30. Die Umkehrung von Potenzreihen 202
Obung zu Kapitel 4 211
Inhaltsverzeichnis V
Kapitel 5 Niiherungsmethoden bei der Differentiation und Integration 212
32. Numerische Differentiation 212
33. Graphische Differentiation 216
33. Numerische Integration 219
34. Integration mit Hilfe von Potenzreihen 228
35. Graphische Integration 236
36. Das Polarplanimeter 239
Ubung zu Kapitel 5 240
Kapitel 6 Die Integration gewohnlicher Differentialgleichungen 243
37. Die Fragestellung 243
38. Die Methode von Adams-Krylow 247
39. Uber die Genauigkeit der Methode von Adams-Krylow 254
40. Gleichungen hoherer Ordnung 258
41. Die Integration von Differentialgleichungen mit Hilfe von Potenzreihen.
Das Cauchysche Problem 262
42. Beriicksichtigung singuJarer Punkte 275
43. Die geometrische Bedeutung einer Gleichung erster Ordnung.
Die Riccatische Gleichung 286
44. Systeme von Gleichungen 308
45. Randwertprobleme 324
46. Die Bestimmung von Eigenwerten. Das Sturm-Liouvillesche Problem 325
47. Die Bestimmung der Eigenwerte bei nichtlinearen Differentialgleichungen 356
48. Gleichungen, die nicht nach der hochsten Ableitung aufgelost sind 364
49. Die Untersuchung der Losung in der Umgebung eines Pols und eines
wesentlich singuliiren Punktes. Potenzreihen im komplexen Bereich 377
50. Konvergenzverbesserimg bei den Reihen fur die lakobischen
elliptischen Funktionen 398
51. Die Verwendung verallgemeinerter Potenzreihen. Die Gleichung von Moigno.
Die Gleichung von Thomas-Fermi 408
52. Abschlief.knde Bemerkungen 431
Ubungen zu Kapitel 6 434
Kapitel 7 Konforme Abbildung 435
53. Die Methode der trigonometrischen Interpolation. Die Abbildung des Inneren
eines Bereiches 435
54. Die Abbildung des iiu/.\eren Bereiches 454
55. Die Abbildung zweifach zusammenhiingender Bereiche mit Hilfe der
trigonometrischen Interpolation 468
56. Eine weitere Methode zur konformen Abbildung zweifach zusammenhiingender
Bereiche 479
57. Die Bestimmung der Konstanten des Integrals von Christoffel-Schwarz mit
Hilfe von verallgemeinerten Potenzreihen 484
58. Der Rechengang. Beispiele 494
59. Die Bestimmung der Konstanten des Integrals von Christoffel-Schwarz mit
Hilfe der analytischen Fortsetzung 511
60. Die Bestimmung der Konstanten des Integrals von Christoffel-Schwarz mit
Hilfe eines Analogmodells mit elektrisch leitendem Papier 522
61. Kurze Ubersicht tiber die Arbeiten zur Elektromodellierung 533
Ubung zu Kapitel 7 538
VI Inhaltsverzeichnis
Kapitel 8 Graphische Methoden zur LOsung einiger Filtrierungsprobleme 539
62. Die Aufgabenstellung. Die graphische LOsung fUr eine Schiirze mit einer 539
Spundwand bei T =0 0
63. Die Bestimmung der Hauptcharakteristiken der Filtrierung 543
64. Graphisch-anaIytische Behandlung nicht vertiefter Schiirzen mit mehreren
Spundwanden 548
65. Graphisch-analytische Behandlung von vertieften Schiirzen mit mehreren
Spundwanden 551
66. Graphisch-analytische Behandlung von Schiirzen mit praktischen Profilen 557
67. Graphische ReaIisierung der Abbildung E (8) 566
68. Graphisch-analytische Behandlung von Schiirzen bei endlicher Tiefe des
wasserdurchIassigen Grundes 570
69. Die Behandlung ebener drainierter Schiirzen bei T =0 0 578
70. Graphisch-analytische Behandlung von drainierten Schiirzen mit praktischem
Profil fur T ~ 00 588
71. Die Behandlung von Schiirzen in zweischichtigen Medien 603
72. Der hydrodynamische Effekt der Spundwand 611
73. tiber die Drainierung von Schiirzen und iiber Htihlungen an der
Beriihrungslinie zwischen hydrotechnischen Anlagen und dem Grund 621
74. tiber die Konstruktion unterirdischer Konturen mit vorgegebenem
Filtrierungsbereich 623
75. tiber die Genauigkeit der graphisch-anaIytischen Methoden zur Berechnung
von Schiirzen. AbschIiel.\ende Bermerkung 631
tibung zu Kapitel 8
Kapitel9 Die Methode der k1einsten Quadrate. Die Interpolation
experimenteUer Daten ("Fehlerrrechnung") 637
76. Die Grundgleichungen 637
77. Die Rechenmethode 640
78. Empirische Gleichungen 646
79. Die Integration einer Funktion von zwei unabhangigen Variablen mit Hilfe
einer Modellierung durch Widerstandspapier 652
tibung zu Kapitel 9 659
Kapitell0 Elemente der Nomographie 661
80. Nomogramme und ihr Verwendungszweck 661
81. Die Funktionaiskaia 663
82. Nomogramme aus DoppelskaIen 671
83. Netznomogramme .676
84. Nomogramme aus Ausgleichspunkten 687
85. Zusammengesetzte Nomogramrne. Nomogramme mit binaren Feldern 703
tibungen zu Kapitel 10
Inhaltsverzeichnis VII
Anhang 713
Tabelle I. Binomialkoeffizienten 715
Tabelle II. Koeffizienten zur Interpolation nach der Formel von Gregory-Newton 715
Tabelle III. Koefflzienten zur Interpolation nach der Formel von Everett 716
Tabelle IV. KoefflZienten zur direkten Interpolation aus Stiitzpunkten 718
Tabelle V. KoefflZienten fUr die konforme Abbildung zweifach zusammen-
hiingender Bereiche nach der Methode der trigonometrischen Interpolation 722
Nomogramm 1. Reduzierte volle Filterergiebigkeit (Einlage am Ende des
Buches)
Nomogramm 2. Reduzierter Druck bei T ~ 00
=
Nomogramm 3. Reduzierter Druck bei T 00
Nomogramm 4. Reduzierte Fluf.\funktion bei T =
00
Literatur 738
Sachwortveneichnis 759
1
Kapitel 1. Grundbegriffe
1. Einfiihrende Bemerkungen
Wir wollen die folgende einfache Aufgabe losen: Ein Fahrgast wohnt 1247 m vom
Bahnhof entfernt. Der lug fahrt urn 17 h 38 min. Wann muB der Fahrgast von zu Hause
weggehen, wenn die mittlere Geschwindigkeit eines Fu~glingers 6 km/h ist?
Die Losung der Aufgabe erhalten wir sofort:
t = 1264070·06 0 mm. = 12, 47m·m = 12 mm. 28,2s .
In Wirklichkeit wird jedoch kaurn jemand diese mathematisch genaue Losung ver
wenden. Die Rechnung ist zwar exakt durchftihrbar. Kann man aber ebenso exakt den
Abstand vom Bahnhof messen? Kann man liberhaupt den Weg eines Fu~glingers messen,
ohne dabei Fehler in Kauf zu nehmen? Kann ein Fu~ganger in der Stadt, die voll von
Menschen und Fahrzeugen ist, die sich in allen moglichen Richtungen bewegen, liber
haupt langs einer streng definierten Kurve gehen? Und ist die Geschwindigkeit von
6 km/h wirklich genau bestimmt?
Mit anderen Worten, niemand wird in dem gegebenen Fall einer ,,mathematisch
exakten" Losung gegenliber einer "praktischen" Losung den Vorzug geben. Man wird
zur Ansicht kommen, d~ man 12 ... 15 min frtiher weggehen mu~ und gibt zur Sicher
heit noch einige Minuten hinzu.
Wozu also in diesem Fall Sekunden und lehntelsekunden berechnen und eine
hohere Genauigkeit anstreben, als man in der Praxis verwenden kann?
Die Mathematik ist eine exakte Wissenschaft. Aber der Begriff ,,Exaktheit" bedarf
einer Konkretisierung. Urn diese zu erreichen, muB man beim lahlbegriff beginnen, da
von der Exaktheit der lahlen, d. h. von der Richtigkeit der Ausgangsgro~en, die Exakt
heit der Rechenergebnisse in hohem M~e abhangt.
Flir die lahlen gibt es drei Quellen: die Messung, die Ziihlung und die Durchfiihrung
mathematischer Operationen. Keine Messung Hi~t sich absolut genau durchftihren. Jedes
Me~gerlit ist mehr oder weniger mangelhaft. Zwei Beobachter, die mit demselben Gerlit
dieselbe Gro~e messen, erhalten in der Regel geringfligig unterschiedliche Ergebnisse.
Eine vollkommene Obereinstimmung der Ergebnisse ist selten.
Die Me~fehler setzen sich aus einem Apparaturfehler und einem Beobachtungs
fehler zusammen. Man erkennt dies bereits an einem einfachen Versuch.
Mit Hilfe eines Lineals mit Millimetereinteilung und eines Zirkels oder eines Winkel
messers konstruieren wir ein Rechteck ABCD mit den Seiten AB = 180 mm und
BC = 130 mm und messen mit demselben Lineal die Diagonalen AC und BD, indem
wir mit dem Auge die Llingen bis auf 0,1 mm genau ablesen. Hierauf berechnen wir
das Produkt AC . BD der erhaltenen lahlen. Bei mehrrnaliger Wiederholung dieses Ver-
2 Kapitel 1. Grundbegriffe
suches konnen wir uns davon iiberzeugen, d~ sich Ergebnisse sowohl untereinander als
auch vom exakten Wert unterscheiden, der nach dem Pythagoraischen Lehrsatz gleich
AC . BD = AC2 = AB2 + BC2 = 49300 mm2
ist.
~t man den Versuch von einer Gruppe von Leuten durchftihren, so sind die
Unterschiede noch eindrucksvoller.
Bereits ein so einfaches Me~gerat wie ein Lineal mit Millimetereinteilung hat
einen ,,Apparaturfehler". Die Kanten und Fliichen des Lineals weichen namlich gering
fiigig von idealen Geraden und Ebenen abo Die Striche der Millimeterskala lassen sich
nicht in absolut gleichen Abstanden ziehen. A~erdem besitzen diese Striche eine be
stirnmte Dicke. Bei einer Messung konnen wir daher ein Ergebnis nicht genauer erhalten,
als es die Strichdicke erlaubt. Die Me~ergebnisse und Konstruktionen hangen also auch
von den Eigenschaften der benotigten Instrumente abo
Wir wenden uns nun der zweiten Quelle fUr Zahlen zu, der Ziihlung. 1st die Anzahl
der abzuziihlenden Gegenstande klein und zeitlich konstant, so erhalten wir ein absolut
exaktes Ergebnis. Aber kann man zum Beispiel behaupten, d~ am 31. Marz 1966 die
Einwohnerzahl von Japan wirklich 101624894 betragen hat, wie sie vom Japanischen
Justizministeriurn angegeben wurde? In Wirklichkeit schwankt doch die Einwohnerzahl
eines Landes oder einer Stadt urn ihren eigenen Mittelwert (und zwar sogar wiihrend des
Zeitintervalls, in dem die Ziihlung erfolgt), da stiindlich oder sogar injeder Minute Ein
wohner ein-oder abreisen, geboren werden oder sterben.
Auch mathematische Operationen kann man oft nicht fehlerlos durchftihren. Beirn
Wurzelziehen, bei der Bestirnmung des Sinus, beirn Logarithmieren und auch beim Divi
dieren (falls das Ergebnis sich nicht als Dezimalbruch ausdriicken la~t) kann man nicht
immer absolut genau sein.
Man sieht also, da~ exakte Zahlen sehr selten vorkommen. Am haufigsten fmdet
man sie noch als KoeffIzienten bei verschiedenen mathematischen Ausdriicken und
Formeln.
Wir betrachten nun die andere Seite der Fragestellung. Benotigt man in der Praxis
absolute Genauigkeit und welchen Wert hat ein angeniihertes Ergebnis?
Wieder benutzen wir Beispiele. Jeder wird sich mit der Antwort begniigen, d~.
der Zug bei moglicher Verfriihung oder Verspatung im Bereich von 15 s urn 10 h 47 min
ankommt. Oblicherweise sagt man in so einem Fall urn 10 h 47 min ± 15 s. Diese Ant
wort wird urnso mehr zufriedenstellen, als der Begriff der Ankunft des Zuges selbst eine
Unbestimmtheit in sich triigt. Als Ankunft kann man den Zeitpunkt betrachten, in dem
der Zug auf den Bahnsteig einfahrt, oder wenn die Lokomotive zum Stillstand kommt,
oder wenn der letzte Wagen stehen bleibt, der sich auf Grund der Tragheit noch etwas
weiter bewegt.
Bei der Planung einer elektrischen Oberlandleitung oder einer Gasleitung wird nie
mand die Abstiinde zwischen den Stiitzen auf Millimeter genau oder die Rohrdicke auf
Mikrometer genau berechnen wollen. Die Saatgutmenge bemilit man in der Regel bis
auf einige Kilogramm pro Hektar usw.
1. Einflihrende Bemerkungen 3
In der Technik und im Bauwesen fertigt man Einzelteile oder Bauwerke nur
innerhalb einer bestimmten Genauigkeit, die durch die sogenannten Toleranzen definiert
ist. Diese Toleranzen reichen von Bruchteilen von Mikrometern bis zu ganzen Millimetern
oder Zentimetern oder sogar Dezimetern, je nach dem Material, den Gesamtausm~en
und dem Verwendungszweck der Einzelteile oder Bauwerke. Bei bestimmten Ausm~en
der Einzelteile hat es daher nicht den geringsten Sinn, die Berechnungen mit einer hohe
ren Genauigkeit durchzufiihren, als notwendig ist.
Zusammenfassend kommen wir zu dem folgenden Ergebnis:
1. Die Ausgangsangaben ftiT eine Rechnung sind in der Regel mit Fehlern behaftet,
d. h. es handelt sich urn Naherungswerte.
2. Diese Fehler tibertragen sich, meist in gesteigertem M~e, auf die Rechenergeb
nisse. In der Praxis sind keine exakten Angaben erforderlich. Man begntigt sich
mit Resultaten mit gewissen erlaubten Fehlern, deren Gr6~e innerhalb gegebener
Schranken liegen mu~.
Bei den me is ten technischen Anwendungen liegen die zugelassenen Fehler im Be
reich von 0,1 ... 5 %. Bei vielen wissenschaftlichen Problem en der heutigen Technik je
doch liegen die zugelassenen Fehler im Bereich von Tausendsteln von Prozenten und
darunter. Beim Start des ersten ktinstlichen Mondsatelliten von einer Zwischenumlauf
bahn im Weltraum, der am 31. Marz 1966 erfolgte, mu~te man die zweite kosmische
Anfangsgeschwindigkeit (vo ~ 11200 m/s) mit einer Genauigkeit von einigen Zentimetern
pro Sekunde sicherstellen, da schon ein derartig geringfugiger Fehler einen sehr starken
Einflu~ auf die Bahnparameter ausgetibt hatte. Die Apparatur hatte dadurch zu einem
Sonnensatelliten statt zu einem Mondsatelliten werden konnen. Noch hohere Genauigkeit
mu~te man bei der Berechnung und beim Bau eines gigantischen Synchrozyklotrons ge
wahrleisten. Der Ringmagnet einer Anlage mit einem Durchmesser von rund 1,5 km mu~te
zum Beispiel mit einer Genauigkeit bis auf Mikrometer berechnet, verfertigt und installiert
werden.
3. Die geforderte Genauigkeit eines Resultats kann man nur dann gewahrleisten,
wenn die Ausgangsdaten hinreichend genau sind und wenn man alle Fehler in
Betracht zieht, die durch die Rechnung selbst entstehen.
4. Rechnungen mit Naherungszahlen fUhrt man naherungsweise aus und versucht
bei der L6sung jedes konkreten Problems, den Aufwand an Arbeit und Zeit
minimal zu halten.
Die Regeln und Gesetze der Arithmetik gelten nur unter der Voraussetzung, d~
alle Zahlen genau sind. Wenn man daher eine Rechnung mit Naherungszahlen nach den
tiblichen Verfahren durchfUhrt, so vergeudet man viel Zeit ftiT das Auffinden von (bei
der moglichen Genauigkeit) unn6tigen Ziffern und erzeugt einen falschen Eindruck von
Genauigkeit, die in Wirklichkeit nicht vorhanden isLA. N. Krylow zum Beispiel, der
Begrtinder der Theorie der Schiffe, dem man auch die erste systematische Darstellung
der Naherungsrechnung verdankt, hat eine gro~e Anzahl von Berechnungen bei der Pla
nung von Schiffen tiberprtift und festgestellt, d~ manchmal bis zu 90 % der Rechenarbeit
tiberfliissig war.
