Numerische Mathematik kompakt: Grundlagenwissen für Studium und Praxis

432 Pages·2004·11.15 MB·German

by  Priv.-Doz. Dr. Robert Plato (auth.)

Zur ersten Auflage:
"The author has had the courage to add to the many introduc
tions to numerical mathematics that are on the market another
one, and he and the publishing house are to be congratulated to
the appealing result of his endeavours. The treatise, based on
courses the author has taught, addresses students and prac
titioners of mathematics and other disciplines applying mathe
matical methods (e. g. computer science, economics, natural
and engineering sciences), and requires for its study and use
basic knowledge of mathematical analysis and linear algebra.
The presentation is concise (this is the meaning of the word
compact in the title), avoiding unnecessary redundancies, but
nevertheless is self-contained."
Zentralblatt der Mathematik
Prof. Dr. Rudolf Gorenflo, FU Berlin
,,( ... ) kompakte, schn6rkellose Darstellung, die schnell auf
Wesentliches kommt ( ... )"
Prof. Dr. Ansgar Hingel, Uni Mainz
Aus dem Programm ___________ ___
Numerische Mathematik
Numerische Mathematik kompakt
von R. Plato
Ubungsbuch zur Numerischen Mathematik
von R. Plato
Elementare Numerische Mathematik
von B. Schuppar
Numerische Mathematik fur Anfinger
von G. Opfer
Ubungsbuch zur Numerischen Mathematik
von J. Herzberger
Numerik linearer Gleichungssysteme
von A. Meister
Nichtlineare Optimierung
von W.Alt
Keine Probleme mit Inversen Problemen
von A. Rieder
Finanzderivate mit MATLAB®
von M. Gunther und A. Jungel
vieweg ________________- "
Robert Plato
Numerische Mathematik
kompakt
Grundlagenwissen fUr Studium und Praxis
2., iiberarbeitete Auflage
I I
vleweg
Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet iiber <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
Priv.-Doz. Dr. Robert Plato
Technische Universitiit Berlin
Institut fUr Mathematik
StraBe des 17. Juni 135
10623 Berlin
E-Mail: [email protected]
1. Auflage Juni 2000
2., iiberarbeitete Auflage September 2004
Aile Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlag/GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2004
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www.vieweg.de
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ist ohne Zustimmung des Verlags unzuliissig und strafbar. Das gilt insbe
sondere fUr Vervielfiiltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und
die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de
Druck und buchbinderische Verarbeitung: Lengericher Handelsdruckerei, Lengerich
Gedruckt auf siiurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
ISBN 978-3-528-13153-1 ISBN 978-3-322-93922-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-93922-7
v
Vorwort
Das vorliegende Lehrbuch ist hervorgegangen aus zwei jeweils vierstiindigen Vorlesungen tiber
Numerische Mathematik, die ich seit 1997 wiederholt an der Technischen Universitat Berlin
gehalten habe. Diese Vorlesungen sind in erster Linie von Studierenden der Wirtschafts- und
Technomathematik und zu einem kleineren Teil von Studierenden des Diplomstudiengangs Ma
thematik sowie der Physik und Informatik besucht worden.
In seiner jetzigen Form richtet sich das Lehrbuch an Studierende und Absolventen der Mathe
matik sowie benachbarter Facher wie Informatik, Natur- und Ingenieurwissenschaften an Uni
versitaten und Fachhochschulen. In kompakter Form werden zahlreiche grundlegende und fUr
die Anwendungen wichtige Themenkomplexe aus der Numerischen Mathematik behandelt:
• Interpolation, schnelle Fouriertransformation und Integration,
• direkte und iterative L6sung linearer Gleichungssysteme,
• iterative Verfahren fUr nichtlineare Gleichungssysteme,
• numerische L6sung von Anfangs- und Randwertproblemen
bei gew6hnlichen Differentialgleichungen,
• Eigenwertaufgaben bei Matrizen,
• Approximationstheorie und Rechnerarithmetik.
Auf die Behandlung der Numerik partieller Differentialgleichungen sowie der nichtlinearen Op
timierung wird aufgrund des angestrebten tiberschaubaren Umfangs verzichtet.
Das Bestreben dieses Lehrbuchs ist es, die vorliegenden Themen auf m6glichst elementare und
tibersichtliche Weise zu behandeln. Dies gilt auch fUr die Herleitung der Approximationseigen
schaften der vorgestellten numerischen Methoden, bei der jeweils lediglich Grundkenntnisse der
Analysis und der linearen Algebra vorausgesetzt werden. AuBerdem sind fUr viele der diskutier
ten Verfahren die jeweiligen Vorgehensweisen durch Bilder und Schemata veranschaulicht, was
das Erlemen der auftretenden Zusammenhange erleichtem sollte. Ftir zahlreiche der behandel
ten Verfahren werden die praktisch bedeutungsvollen Aufwandsbetrachtungen angestellt und
Pseudocodes angegeben, die sich unmittelbar in Computerprogramme umsetzen lassen. Die et
wa 120 vorgestellten Ubungsaufgaben unterschiedlichen Schwierigkeitsgrads sind fast alle im
Ubungsbetrieb verwendet worden und daher praxiserprobt.
Ich selbst habe die Vorlaufer dieses Lehrbuchs ohne weitere Themenauswahl als Vorlage fUr
Vorlesungen tiber Numerische Mathematik 1 und 2 verwendet. Dabei wurden die ersten sechs
Kapitel in Teil 1 und die Kapitel 7 bis einschlieBlich 13 in Teil 2 der Vorlesung behandelt.
M6glich ware es aber auch, im ersten Teil die Behandlung des sechsten Kapitels tiber numerische
Integration deutlich abzuktirzen. Stattdessen k6nnten dann im ersten Teil beispielsweise noch
die Grundlagen tiber Einschrittverfahren zur numerischen L6sung von Anfangswertproblemen
vi
bei gewohnlichen Differentialgleichungen (Kapitel 7) oder Relaxationsverfahren zur iterativen
Losung linearer Gleichungssysteme (KapitellO) vorgestellt werden.
Zu diesem Buch wird ein Online-Service angeboten, der unter
http://www.math.tu-berlin.de/numerik/plato/viewegbuch
abrufbar ist. Er umfasst Losungshinweise zu den vorgestellten Ubungsaufgaben und MATLAB
Programme zu einigen der in diesem Buch prasentierten Pseudocodes. AuBerdem werden tiber
diesen Online-Service im Laufe der Zeit Abschnitte tiber weitere in diesem Buch nicht behan
delte Themen beziehungsweise eine Liste der eventuell anfallenden Korrekturen angeboten. An
regungen, ntitzliche Hinweise und Verbesserungsvorschlage zu diesem Lehrbuch sind jederzeit
willkommen underreichenmich [email protected].
Mein Dank gilt meinen Kollegen Prof. Dr. R. D. Grigorieff und Dipl. Math. Etienne Emmrich
fUr viele niitzliche Anregungen, die in der vorliegenden Fassung weitestgehend beriicksichtigt
sind. Den Vorlesungsteilnehmem Dipl. Inf. Till Tantau und cando math. Olivier Pfeiffer sowie
einigen weiteren Studierenden sind zahlreiche kleine aber wichtige Verbesserungen zu verdan
ken. AuBerdem danke ich Prof. Dr. Chuck Groetsch, Prof. Dr. Martin Hanke-Bourgeois und
Prof. Dr. Hans-Jiirgen Reinhardt ftir die Untersttitzung bei der DurchfUhrung dieses Buchpro
jekts und Frau Ulrike Schmickler-Hirzebruch yom Verlag Vieweg fUr die stets angenehme Zu
sammenarbeit.
Berlin, im Mai 2000 Robert Plato
Vorwort zur zweiten Auftage
Ftir die zweite Autlage ist das Layout etwas veriindert worden, und zur Vereinheitlichung der
Notation sind einige Umbenennungen erfolgt. Die Literaturhinweise wurden aktualisiert, der
Index erweitert und Fehler beseitigt. Die Abschnitte tiber positiv definite Matrizen und das GM
RES-Verfahren wurden etwas modifiziert, wobei dies auf Anregungen von Prof. Dr. Rembert
Reemtsen (TU Cottbus) beziehungsweise G. FuB (TV Berlin) zuriickgeht. AuBerdem sind in
einigen Kapiteln die einfUhrenden Bemerkungen erweitert worden.
Unter der im Vorwort zur ersten Autlage genannten Adresse wird weiterhin ein Online-Service
angeboten. Mittlerweile ist ein Ubungsbuch ([78]) entstanden, das vollstiindige Losungswege
zu den meisten der in diesem Buch vorgestellten Ubungsaufgaben sowie zu weiteren Aufgaben
enthalt. AuBerdem werden dort noch ein paar spezielle Anwendungen wie etwa die digitale
Audio- und Bildkompression etwas eingehender behandelt.
Danken mochte ich der Christian-Albrechts-Universitat zu Kiel, wo ich die Moglichkeit hat
te, die erste Autlage des vorliegenden Buches vier Semester lang in Vorlesungen einzusetzen.
vii
AuBerdem mOchte ich dem DFG Forschungszentrum "Mathematik fur Schliisseltechnologien"
(FZT 86) in Berlin fur Unterstiitzung und dem Vieweg Verlag fUr die emeut angenehme Zusam
menarbeit danken.
Berlin, im Juni 2004 Robert Plato
viii
Inhaltsverzeichnis
Vorwort v
Inhaltsverzeichnis viii
1 Polynominterpolation 1
1.1 Allgemeine Vorbetrachtungen und Landausche Symbole 1
1.1.1 Landausche Symbole . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Existenz und Eindeutigkeit bei der Polynominterpolation 3
1.2.1 Die Lagrangesche Interpolationsformel . . . . . 3
1.2.2 Eine erste Vorgehensweise zur Berechnung des interpolierenden Polynoms 4
1.3 Neville-Schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Die Newtonsche Interpolationsformel, dividierte Differenzen 7
1.5 Der bei der Polynominterpolation auftretende Fehler 10
1.6 Tschebyscheff-Polynome ......... . 12
Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise 16
Ubungsaufgaben .............. . 17
2 Splinefunktionen 20
2.1 EinfUhrende Bemerkungen 20
2.2 Interpolierende lineare Splinefunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Die Berechnung interpolierender linearer Splinefunktionen . 21
2.3 Minimaleigenschaften kubischer Splinefunktionen ..... 22
2.4 Die Berechnung interpolierender kubischer Splinefunktionen 24
2.4.1 Voriiberlegungen........ 24
2.4.2 Natiirliche Randbedingungen .. 26
2.4.3 Vollstiindige Randbedingungen 26
2.4.4 Periodische Randbedingungen . 27
2.4.5 Existenz und Eindeutigkeit der betrachteten interpolierenden kubischen
Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Fehlerabschlitzungen fUr interpolierende kubische Splines . 29
Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise 33
Ubungsaufgaben ................ . 34
3 Diskrete Fouriertransformation und Anwendungen 35
3.1 Diskrete Fouriertransformation ......... . 35
3.2 Anwendungen der diskreten Fouriertransformation 36
3.2.1 Fourierreihen ............ . 36
3.2.2 Trigonometrische Interpolation, Teill ... 38
INHALTSVERZEICHNIS ix
3.2.3 Trigonometrische Interpolation, Teil 2 . 39
3.3 Schnelle Fourier-Transformation (FFT) .. 42
3.3.1 EinfUhrende Bemerkungen . . . . . 42
3.3.2 Der grundlegende Zusammenbang . 42
3.3.3 Bit-Umkehr . . . . . . . . . . .. 44
3.3.4 Der FFT -Algorithmus in der Situation N = 2q 46
3.3.5 Aufwandsbetrachtungen fUr den FFT - Algorithmus . 48
3.3.6 Pseudocode fUr den FFT - Algorithmus in der Situation N = 2q 48
Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise 49
Ubungsaufgaben .............. . 49
4 LOsung linearer Gleichungssysteme 52
4.1 Gestaffelte lineare Gleichungssysteme 52
4.1.1 Obere gestaffelte Gleichungssysteme 52
4.1.2 Untere gestaffelte Gleichungssysteme 53
4.2 Der GauB-Algorithmus ......... . 54
4.2.1 EinfUhrende Bemerkungen . . . . . 54
4.2.2 GauB-Algorithmus mit Pivotsuche 57
4.3 Die Faktorisierung P A = LR 57
4.3.1 Permutationsmatrix ..... . 58
4.3.2 Frobeniusmatrizen . . . . . . 60
4.3.3 Die Faktorisierung P A = LR 62
4.4 LR-Faktorisierung . . . . . . . . . . 65
4.5 Cholesky - Faktorisierung positiv definiter Matrizen 67
4.5.1 Grundbegriffe................ 67
4.5.2 Die Berechnung einer Faktorisierung A = LLT fUr positiv definite Ma-
trizen A E ]RNxN • • • • • • • • • . • 70
4.5.3 Eine Klasse positiv definiter Matrizen 70
4.6 Bandmatrizen........... 71
4.7 Normen und Fehlerabschlitzungen 72
4.7.1 Normen.......... 73
4.7.2 Spezielle Matrixnormen . 76
4.7.3 Die Konditionszahl einer Matrix 79
4.7.4 StOrungsresultate fUr Matrizen . 80
4.7.5 Fehlerabschiitzungen fUr fehlerbehaftete Gleichungssysteme 81
4.8 Orthogonalisierungsverfahren .................... 82
4.8.1 Elementare Eigenschaften orthogonaler Matrizen . . . . . . 83
4.8.2 Die Faktorisierung A = QR mittels Gram-Schmidt-Orthogonalisierung 84
4.8.3 Die Faktorisierung A = QS mittels Householder-Transformationen.. 85
4.8.4 Anwendung 1: Stabile Losung schlecht konditionierter Gleichungssy-
sterne Ax = b 88
4.8.5 Anwendung 2: Lineare Ausgleichsrechnung . . . . . . . . . . . . . .. 88
x INHALTSVERZEICHNIS
Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise 90
Ubungsaufgaben .............. . 91
5 Nichtlineare Gleichungssysteme 94
5.1 Vorbemerkungen . . . . . . 94
5.2 Der eindimensionale Fall . . 95
5.2.1 Ein allgemeines Resultat 95
5.2.2 Das Newton-Verfahren im eindimensionalen Fall 96
5.3 Der Banachsche Fixpunktsatz ............ . 97
5.4 Das Newton-Verfahren im mehrdimensionalen Fall .. 100
5.4.1 Einige Begriffe aus der Analysis ....... . 100
5.4.2 Das Newton-Verfahren und seine Konvergenz 102
5.4.3 Nullstellenbestimmung bei Polynomen 104
Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise 108
Ubungsaufgaben .......... . 108
6 Numerische Integration von Funktionen 111
6.1 Interpolatorische Quadraturformeln ....... . 112
6.2 Spezielle interpolatorische Quadraturformeln .. . 113
6.2.1 Abgeschlossene Newton-Cotes-Formeln . 113
6.2.2 Andere interpolatorische Quadraturformeln 115
6.3 Der Fehler bei der interpolatorischen Quadratur . . 115
6.4 Genauigkeit abgeschlossener Newton-Cotes-Formeln 119
6.4.1 Der Beweis von Lemma 6.15. 121
6.5 Summierte Quadraturformeln . . . . 123
6.5.1 Summierte Rechteckregeln . 123
6.5.2 Summierte Trapezregel . . . 124
6.5.3 Summierte Simpson-Regel 125
6.6 Asymptotik der summierten Trapezregel 126
6.6.1 Die Asymptotik . 126
6.7 Extrapolationsverfahren. 127
6.7.1 Grundidee.... 127
6.7.2 Neville-Schema 128
6.7.3 Verfahrensfehler bei der Extrapolation . 129
6.8 GauBsche Quadraturformeln . . . 131
6.8.1 Einleitende Bemerkungen . . . . . . . 131
6.8.2 Orthogonale Polynome . . . . . . . . . 131
6.8.3 Optimale Wahl der Stutzstellen und Gewichte . 135
6.8.4 Nullstellen von orthogonalen Polynomen als Eigenwerte 137
6.9 Beweis der Asymptotik fur die summierte Trapezregel 139
6.9.1 Bemoulli-Polynome ..... . 139
6.9.2 Der Beweis von Theorem 6.22 ....... . 140