Table Of ContentWilli Tömig
Numerische Mathematik
rur Ingenieure und Physiker
Band 2: Eigenwertprobleme und
numerische Methoden
der Analysis
Mit 37 Abbildungen
Springer-Verlag Berlin Heidelberg N ew York 1979
Dr. rer. nat. WILLI TÖRNIG
Professor an derTechnischen Hochschule Darmstadt,
Fachbereich Mathematik
Schloßgartenstraße 7
6100 Darmstadt
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Törnig, Willi:
Numerische Mathematik fLir Ingenieure und Physiker
Wi1li Törnig. -Berlin, Heidelberg, New York : Springer.
Bd. 2. Eigenwertprobleme und numerische Methoden der Analysis. -1979.
ISBN 978-3-642-96523-4 ISBN 978-3-642-96522-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-96522-7
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© Springer-Verlag Berlin, Heidelberg 1979
Softcover reprint of the hardcover I st edition 1979
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2060/30201543210
Vorwort
Der vorliegende zweite Band "Numerische Mathematik für Ingenieure und Physiker"
soll wie der erste mit einer Auswahl von wichtigen numerischen Verfahren vertraut
machen. Dabei werden nur solche Verfahren betrachtet, die für technische und phy
sikalische Anwendungen von Bedeutung sind. Die zugehörigen theoretischen Unter
suchungen werden nur so weit geführt, wie es für das Verständnis notwendig ist.
Trotzdem hoffe ich, daß das Buch, das ebenso wie der bereits erschienene erste
Band ein Lehr- und Nachschlagewerk sein will, auch manchen an den Anwendungen
interessierten Mathematiker anspricht.
Der Band enthält in fortlaufender Numerierung mit Band 1 vier Teile. In Teil IV wer
den einige Verfahren zur numerischen Abschätzung und Berechnung der Eigenwerte
und Eigenvektoren von Matrizen beschrieben. Dabei ist, wie auch in anderen Teilen
des Buches, eine Beschränkung auf nur wenige grundlegende und bewährte Methoden
notwendig. Das Kapitel 10 enthält neben dem Jacobi- und dem LR-Verfahren auch
Methoden zur Berechnung der Eigenwerte einer Hessenberg-Matrix. Vor allem im
Hinblick auf die Berechnung der Eigenwerte großer Matrizen wird ferner ein Ver
fahren zur Reduktion einer Matrix auf Hessenbergform beschrieben. Der Teil V ent
hält Methoden zur Interpolation, Approximation und numerischen Integration von Funk
tionen. Die klassische Interpolation und Approximation durch Polynome wird knapp
dargestellt, da ihre Bedeutung für technische und physikalische Anwendungen nicht
sehr weitreichend ist. In Kapitel 12 werden die Grundlagen der Spline-Interpolation
für lineare und kubische Splines untersucht. Das Kapitel 13 enthält relativ ausführlich
numerische Quadratur- und Kubatur-Verfahren, wobei auch kurz auf die Berechnung
uneigentlicher Integrale eingegangen wird.
Ein für Ingenieure und Physiker besonders wichtiges Gebiet ist die numerische Lösung
von gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungsproblemen. In Teil VI werden
Verfahren zur Lösung von Anfangs-, Rand- und Eigenwertproblemen von gewöhnlichen
Differentialgleichungen beschrieben. Bei den Anfangswertproblemen beschränken wir
uns auf die Betrachtung von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen erster
Ordnung, auf die sich gewöhnliche Differentialgleichungen beliebiger Ordnung stets
VI Vorwort
leicht reduzieren lassen. Außerdem untersuchen wir nur Einschritt-Verfahren. Bei
den Rand- und Eigenwertproblemen beschreiben wir Differenzenverfahren und Va
riationsmethoden, wobei besonders auf die Methode der finiten Elemente eingegan
gen wird. Das Gebiet der numerischen Lösung partieller Differentialgleichungs
probleme wird in Anbetracht seiner hervorragenden Bedeutung für viele technische
Bereiche in Teil VII z"Yar relativ ausführlich behandelt, dennoch kann nur auf wenige
grundlegende Methoden eingegangen werden. An geeigneten Stellen wird daher auf
weitergehende Literatur hingewiesen. Zur numerischen Lösung von Anfangs- und
Anfangs-Randwert-Problemen hyperbolischer und parabolischer Differentialglei
chungen betrachten wir ausschließlich Differenzenverfahren. Bei Randwertproblemen
elliptischer Differentialgleichungen untersuchen wir neben den Differenzenverfahren
vorwiegend Ritz-Verfahren und die Methode der finiten Elemente. Dabei wird auch
die Anwendung dieser Methode bei nichtlinearen Randwertproblemen beschrieben.
Wegen ihrer Bedeutung für die Strömungsmechanik werden Anfangswertprobleme
quasilinearer hyperbolischer Systeme erster Ordnung in Kapitel 17 betrachtet. Zu
ihrer numerischen Lösung werden sowohl Charakteristikenverfahren als auch Diffe
renzenverfahren in gleichmäßigen Gittern entwickelt. Erfahrungsgemäß erwerben
nur wenige Ingenieure während ihres Studiums an Technischen Hochschulen fundierte
Kenntnisse über partielle Differentialgleichungen. Daher werden die zum Verständnis
der numerischen Verfahren notwendigen theoretischen Grundlagen jeweils kurz er
klärt oder zitiert.
Um das Verständnis zu erleichtern, werden wie im ersten Band reichlich erläuternde
Beispiele und Skizzen in den Text eingestreut.
Die FORTRAN-Programme wurden von Frau G. Schumm geschrieben, Prof. Dr. K.
Graf Finck v. Finckenstein und die Herren Dr. W. Höhn, Dipl.-Math. R. Bock,
Dipl. -Math. M. Gipser, Dipl. -Math. E. Wilzek haben mir mit vielen Hinweisen ge
holfen und die Korrekturen mitgelesen, Frau B. Schulte zur Surlage und Fräulein H.
Krämer haben das maschinengeschriebene Manuskript hergestellt. Ihnen allen gilt
mein herzlicher Dank.
Darmstadt, Mai 1979 W. Törnig
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsübersicht Band 1 •••••••.••• XIII
Teil IV Eigenwertaufgaben bei Matrizen 1
9. Grundlagen, Abschätzungen, Vektoriteration. 3
9.1 Eigenwerte und Eigenvektoren • . . . . • 3
9.1.1 Das charakteristische Polynom. 3
9.1.2 Eigenwerte spezieller Matrizenklassen. 4
9.1.3 Eigenwerte komplexer Matrizen. . . • . 7
9.2 Beispiele für das Auftreten von Eigenwertproblemen 10
9.2.1 Ein Schwingungsproblem •. .. ... . .. .•.• 10
9.2.2 Ein Sturm-Liouville-Eigenwertproblem und das Differenzen-
verfahren • . • . • . . . • . 12
9.3 Abschätzungen von Eigenwerten 14
9.3.1 Die Lage der Eigenwerte 15
9.3.2 Eine Fehlerabschätzung bei hermiteschen Matrizen 18
9.4 Vektoriteration und inverse Iteration. 21
9.4.1 Vektoriteration nach v. Mises. 21
9.4.2 Inverse Iteration. 24
Aufgaben • • • . . • . • . • . • . 27
10. Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten 29
10.1 Das Jacobi-Verfahren. • . 29
10.1.1 Der Algorithmus. 29
10.1.2 Konvergenz des Verfahrens. 32
10.2 Das Verfahren von Givens • . . . . 37
10.2.1 Die Verfahrensvorschrift 37
10.2.2 Eigenschaften des Verfahrens 39
10.3 Berechnung der Eigenwerte einer Hessenberg-Matrix 40
10.3.1 Berechnung des charakteristischen Polynoms 40
10.3.2 Berechnung der ersten Ableitung des charakteristischen
Polynoms •.•.•.•••.•.•.•.•.•.•. 42
10.3.3 Der Fall einer symmetrischen Matrix .•.•.•••.•.. 43
VIII Inhaltsverzeichnis
10.4 Das LR-Verfahren ..•.• 44
10.4.1 Der Algorithmus. 44
10.4.2 Eigenschaften des Algorithmus 45
10.5 FORTRAN-Unterprogramme •.• 47
10.5.1 Das Jacobi-Verfahren •. 47
10.5.2 Das Verfahren von Givens •. 48
Aufgaben .. 50
Teil V Interpolation, Approximation und numerische Integration. • • • . . • . • .. 51
11. Interpolation und Approximation • . 53
11.1 Interpolation durch Polynome. 53
11.1.1 Das Lagrangesche Interpolationspolynom 53
11.1.2 Das Restglied bei der Lagrange-Interpolation 56
11. 1. 3 Das Newtonsche Interpolationspolynom . . . . 58
11. 2 Gleichabständige Stützwerte . Interpolation in zwei Variablen. • • 61
11.2.1 Das Newtonsche Interpolationspolynom 61
11. 2.2 Darstellung des Fehlers. . . . . . . . . . 62
11.2.3 Interpolation bei Funktionen von zwei unabhängigen Veränder-
lichen • . • . • . 64
11. 3 Hermite-Interpolation. 67
11.3.1 Eine spezielle Interpolationsaufgabe 67
11.3.2 Das allgemeine Hermitesche Interpolationspolynom • 71
11. 4 Approximation durch Polynome. . . • • . • . • . • . 72
11. 4.1 Das allgemeine Approximationsproblem. 73
11. 4. 2 Die Polynomapproximation • • . • . • . • 74
11. 5 Approximation durch allgemeinere Funktionen 76
11.5.1 Approximation durch eine Linearkombination von Funktionen. 76
11.5.2 Approximation durch eine Linearkombination von
Orthogonalfunktionen • • . • . • . • • 79
11. 6 Approximation mit Orthogonalpolynomen • 80
11.6.1 A pproximationsgenauigkei t • . • • • 80
11.6.2 Das E. Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren • 82
11. 6.3 Legendresche Polynome • . . • • . . • • . . . • . . . . . • 85
11.6.4 Orthogonalpolynome bezüglich einer Gewichtsfunktion • 87
11. 7 Trigonometrische Approximation. . • . • . 88
11.8 Approximation empirischer Funktionen • 91
11.8.1 Die Methode der kleinsten Fehlerquadratsumme • 91
11. 8. 2 Approximation durch Polynome • • . • • • . • 93
11. 8.3 Approximation periodischer Funktionen. • 94
Aufgaben •. 95
Inhaltsverzeichni s IX
12. Spline-Interpolation 97
12.1 Interpolation durch stückweise lineare Funktionen. 97
12.1.1 Die Konstruktion des Polygonzuges • . • . . . 97
12.1.2 Darstellung mit Hilfe von Basisfunktionen • 100
12.2 Definition der kubischen Splines • . . • . • . • . 101
12.2.1 Eigenschaften der Spline-Funktion • • 101
12.2.2 Die mathematische Definition des Splines. . • . . 102
12.3 Der kubische Interpolationsspline • 104
12.3.1 Berechnung des Splines. 104
12.3.2 Der Algorithmus 107
12.4 Fehlerbetrachtungen • . . 109
12.5 FORTRAN-Programm 111
12.6 Beispiel. 113
Aufgaben • . . • 114
13. Numerische Integration. . • • . . • • . . . . . . . . 115
13.1 Quadraturformeln vom Newton-Cotes-Typ 115
13.1.1 Interpolations-Quadraturformeln 115
13.1.2 Die Newton-Cotes-Formeln • 116
13.2 Summierte Quadraturformeln . 122
13.2.1 Das Verfahren ..•.. , 122
13.2.2 Das Restglied summierter Quadraturformeln 124
13.3 Romberg-Integration. . 126
13.3.1 Das Prinzip •. 126
13.3.2 Der Algorithmus 127
13.3.3 Der Fehler bei der Romberg-Integration • 130
13.4 Das Gaußsche Quadraturverfahren. 133
13.4.1 Eine Optimalitätsforderung 133
13.4.2 Berechnung der Stütz stellen und Gewichte 134
13.4.3 Ergänzungen. 138
13.5 Numerische Kubatur. 139
13.5.1 Interpolations-Kubaturformeln. . 139
13.5.2 Ein einfaches summiertes Kubaturverfahren. . • 143
13.6 Ergänzungen. . • . . . . . . . • . . . . . . • . . . . . . . . • . . 145
13.6.1 Numerische Berechnung uneigentlicher Integrale. 145
13.6.2 Numerische Berechnung von Integralen mit Singularitäten. • 147
13.7 FORTRAN-Unterprogramm 149
Aufgaben • . . . . . • . • . . . . . • . 150
x Inhaltsverzeichnis
VI Numerische Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen. 153
14. Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen. 155
14.1 Einfache Einschritt-Verfahren. • • . . • • • • . . . • . • . • 155
14.1.1 Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen 1. Ordnung. 155
14.1.2 Explizite Einschritt-Verfahren. 157
14.1.3 Das Polygonzugverfahren • •• . 158
14.1.4 Verbesserte Polygonzugverfahren. 160
14.2 Runge-Kutta-Verfahren. • • 162
14.2.1 Verfahren von Heun 162
14.2.2 Das klassische Runge-Kutta-Verfahren 163
14.2.3 Runge-Kutta-Verfahren für Systeme von Differential-
gleichungen. • • . • • 164
14.3 Konsistenz und Konvergenz 167
14.3. 1 Konsistente Verfahren • 167
14.3.2 Die Konsistenzordnung einiger Einschritt-Verfahren. 169
14.3.3 Ein Satz über die Konvergenzordnung 171
14.3.4 Systeme von Differentialgleichungen. 175
14.4 Fehlerbetrachtungen. Ergänzungen 178
14.4.1 Rundungsfehler • •• . 178
14.4.2 Fehlerabschätzungen 180
14.5 FORTRAN -Unterprogramm 183
14.6 Beispiel. 185
Aufgaben. • • • 187
15. Rand- und Eigenwertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen 189
15.1 Problemstellung. Einige Ergebnisse der Theorie. • . . 189
15.1.1 Definition des allgemeinen Randwertproblems. 189
15. 1. 2 Selbstadjungierte Differentialgleichungen. . • . • 192
15.1.3 Randwertprobleme bei Systemen gewöhnlicher Differential-
gleichungen 1. Ordnung. . • . . . . . . • . • . • . • • • • . • • • • . 194
15.1. 4 Randbedingungen beim Problem der Balkenbiegung ••••••.•. 195
15.2 Differenzenverfahren . . . . • . • • • . • • . . . . • 197
15.2.1 Lineare Randwertprobleme 2. Ordnung 197
15.2.2 Nichtlineare Randwertprobleme 2. Ordnung 200
15. 2. 3 Konvergenz de s Differenzenverfahrens 204
15.3 Variationsmethoden und Ritzsches Verfahren. 209
15.3.1 Randwertproblem und Variationsproblem • 209
15.3.2 Das Ritzsche Verfahren. . . . • . • • • . . . . 215
15.3.3 Zur praktischen Durchführung des Ritzschen Verfahrens 217
Inhaltsverzeichnis XI
15.4 Die Methode der finiten Elemente 220
15.4.1 Stückweise lineare Ansatzfunktionen • 220
15.4.2 Kubische Splines als Ansatzfunktionen • 224
15.4.3 Fehlerordnung • Ergänzungen •••.••• 227
15.5 Differenzenverfahren zur Lösung einfacher Eigenwertprobleme 232
15.5.1 Das Eigenwertproblem ••.. 232
15.5.2 Das Differenzenverfahren .. 233
Aufgaben ••••••••.•••••••..•... 236
VII Numerische Lösung von partiellen Differentialgleichungen • 239
16. Differenzenverfahren zur numerischen Lösung von Anfangs- und Anfangs
Randwertproblemen bei hyperbolischen und parabolischen Differential-
gleichungen. . • . • . • . . . . • . . • . . . . 241
16.1 Klassifizierung. Charakteristiken. • . • . . • . • • • . • • • • • . • • • • • 241
16.1.1 Lineare, halblineare und quasilineare Gleichungen zweiter
Ordnung. • • . • 241
16.1.2 Typeneinteilung • 242
16.1.3 Charakteristiken 245
16.2 Lineare und halblineare hyperbolische Anfangswertprobleme zweiter
Ordnung • • • . • • • . . . • . • . • . . • . • . • . • . • 246
16.2.1 Normalform und Anfangswertproblem 246
16.2.2 Das Differenzenverfahren . • • . • . • • 249
16.3 Explizite Differenzenverfahren für lineare parabolische Anfangs-
Randwertprobleme zweiter Ordnung 253
16.3.1 Problemstellung. ..•• ••.• .. .•• ... ..• . 253
16.3.2 Ein explizites Einschritt-Differenzenverfahren. 255
16.3.3 Konvergenz des Verfahrens. • • . • • • . • . • . • . 258
16.4 Implizite Differenzenverfahren für lineare parabolische Anfangs-
Randwertprobleme zweiter Ordnung. 266
16.4.1 Konstruktion der Verfahren. 266
16.4.2 Konvergenz der Verfahren. 269
16.4.3 Nichtlineare Probleme 274
Aufgaben .. 277
17. Hyperbolische Systeme 1. Ordnung 279
17.1 Einige Grundlagen der Theorie 279
17.1.1 Klassifizierung • 279
17.1.2 Normalform ••• 281
17.1.3 Charakteristiken 283
17. 1 • 4 Das Anfangs wertpro ble m 283
17.1.5 Beispiele hyperbolischer Systeme 1. Ordnung in der
Strömungsmechanik .•••.......•••..••••..•• 286
