Numerische Mathematik für Ingenieure

350 Pages·1985·7.176 MB·German

by  Prof. Dipl.-Math. Jürgen Becker, Prof. Dr.-Ing. Hans-Joachim Dreyer, Prof. Dr. Wolfhart Haacke, Prof. Dipl.-Math. Rudolf Nabert (auth.)

Numerische Mathematik
für Ingenieure
Von Prof. Dipl.-Math. Jürgen Becker
Prof. Dr.-Ing. Hans-Joachim Dreyer
Prof. Dr. Wolfhart Haacke
Prof. Dipl.-Math. RudolfNabert
2., überarbeitete Auflage
Mit 113 Bildern, 108 Beispielen und 52 Aufgaben
B. G. Teubner Stuttgart 1985
Verfasser:
Prof. Dipl.-Math. Jürgen Becker
Prof. Dr. Wolfhart Haacke
Prof. Dipl.-Math. Rudolf Nabert
Universität-Gesamthochschule-Paderborn
Prof. Dr.-Ing. Hans-Joachim Dreyer
Fachhochschule Hamburg
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Numerische Mathematik für Ingenieure / von
Jürgen Becker ". - 2. überarb. Auf!. -
Stuttgart : Teubner, 1985.
ISBN 978-3-519-12950-9 ISBN 978-3-322-94003-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-94003-2
NE: Becker, Jürgen [Mitverf.]
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ren ist.
© B. G. Teubner, Stuttgart 1977
Satz: G. Hartmann, Nauheim
Umschlaggestaltung: W. Koch, Sindelfingen
4 Vorwort
Leser zur Vertiefung seines Wissens anregen. Die zum Teil umfangreichen Lösungen sind ausführ
lich in einem Anhang zusammengefaßt, so daß sich das Buch auch zum Selbststudium eignet.
Bei vielen in diesem Buch behandelten Problemkreisen werden mehrere Verfahren entwickelt. In
all diesen Fällen kann keinem Verfahren beim Einsatz in den Ingenieurwissenschaften ein absoluter
Vorzug gegeben werden, vielmehr ist bei unterschiedlichen Aufgaben und bei unterschiedlichem
Einsatz der Hilfsmittel (Taschenrechner, kleine oder größere Rechenanlage) einmal das eine, ein
mal das andere Verfahren vorzuziehen. Zum Verständnis sind mathematische Kenntnisse erforder
lich, wie sie z.B. im Mathematik-Kurs eines technischen Studienganges an einer Fachhochschule an
geboten werden und in dem im gleichen Verlag erschienenen Lehrbuch "Brauch, W.; Dreyer, H.-J.;
Haacke, W.: Mathematik für Ingenieure" zu finden sind.
Die einzelnen Abschnitte sind absichtlich so gefaßt worden, daß sie unabhängig voneinander gele
sen werden können. Hierdurch bedingt, müssen an einigen wenigen Stellen Begriffe erläutert wer
den, die thematisch einem anderen Abschnitt zugeordnet werden könnten. Durch vielfache Bezüge
zwischen den Abschnitten wird dafür gesorgt, daß der Zusammenhang jederzeit zu erkennen ist.
Die Auswahl der Themengebiete ist auf die Praxis des Ingenieurs zugeschnitten. Der einführende
Abschnitt behandelt Fehlerarten, Fehlerfortpflanzung und Fehlerbeurteilung, der zweite Ein-und
Mehrschrittverfahren zur Bestimmung von Nullstellen nichtlinearer Funktionen (insbesondere
Polynome) und Funktionensysteme . Der numerischen Handhabung linearer Gleichungssysteme
ist der dritte Abschnitt gewidmet, einschließlich des Eigenwertproblems sowohl fur diagonalähn
liche als auch ftir beliebige Matrizen. Die aus der Baustatik stammende und bisher hauptsächlich in
der Kontinuumsmechanik angewandte Methode der finiten Elemente wird, ihrer wachsenden
Bedeutung entsprechend, in einem eigenen Abschnitt behandelt, der zugleich eine Anwendung
der Lösungsmethoden der linearen Algebra darstellt. Die Methode der finiten Elemente hat beson
ders im Fahrzeug-, Flugzeug-und Schiffbau sowie im Hochbau und Behälterbau bereits vielfältige
Anwendungen gefunden. Der folgende Abschnitt enthält wichtige Interpolations-und Approxima
tionsmethoden, insbesondere die Spline-Interpolation und die Tschebyscheff-Approximation unter
Betonung ihrer Bedeutung für die Berechnung technisch bedeutsamer Funktionen auf Rechenan
lagen. Für Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen werden rechnergerechte
Ein-und Mehrschrittverfahren sowie das Extrapolationsverfahren dargeboten. Rand-und Eigen
wertprobleme fur gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen werden mit Hilfe unterschied
licher Differenzenverfahren an Beispielen aus der Mechanik behandelt. Der letzte Abschnitt enthält
Algorithmen zur bildlichen Darstellung numerisch ermittelter räumlicher Gebilde auf Sicht-und
Zeichengeräten. Er gibt dem Ingenieur eine wertvolle Hilfe bei den rasch an Bedeutung gewinnen
den Aufgaben aus der graphischen Datenverarbeitung.
Das Buch wendet sich in gleicher Weise an die künftigen wie an die bereits in der Praxis tätigen
Ingenieure, die den sich ständigen verändernden Anforderungen gewachsen sein müssen. Die Autoren
hoffen, daß der Leser durch dieses Buch zur kritischen Beurteilung numerischer Verfahren und der
mit deren Hilfe in Rechenanlagen gewonnenen riesigen Zahlenmengen angeregt wird, wodurch eine
nutzbringende Anwendung der Numerik und Informatik auf technische Probleme gefördert wird.
In der vorliegenden 2. Auflage wurden bekanntgewordene Druckfehler sowie Versehen korrigiert.
Für die von den Lesern gegebenen Hinweise danken die Autoren. In Abschnitt 1 wurde fer-
ner der Algorithmusbegriff deutlicher herausgearbeitet sowie in Abschnitt 4.4.3 die Berechnungs
methode aufgrund der Berücksichtigung der Symmetrie wirkungsvoller eingesetzt.
Hamburg, Paderborn, im Winter 1984/85 Die Verfasser
Vorwort
Die praktische Tätigkeit des Ingenieurs hat sich in den letzten Jahrzehnten grundlegend gewandelt.
Die Beherrschung komplexer, technisch ausgefeilter, wirtschaftlich rentabler Gebilde, die Beurtei
lung ihrer Einsatzmöglichkeiten, ihre Weiterentwicklung und die Schaffung neuer, dem technologi
schen Stand angepaßter Systeme wird von ihm ganz selbstverständlich erwartet, denn diese gibt es
in allen Bereichen der ingenieurmäßigen Forschung und Entwicklung, angefangen von den ersten
Entwürfen bei der Automobilkonstruktion über Großmaschinenkonstruktion bis hin zum Raum
flug auf der einen Seite, von Problemen des Baubetriebs bei Großbaustellen bis hin zu komplizier
ten statischen Berechnungen auf der anderen Seite. Hierzu benötigt der Ingenieur das entspre
chende Rüstzeug. Der Rechenschieber für die überschlägige Berechnung einer groben Näherung
muß dem entsprechend ausgestatteten, nach Möglichkeit programmierbaren, Taschenrechner, in
vielen Fällen auch der Rechenanlage, weichen, da sich nur mit ihnen die komplizierten Algorith
men, die hinter den technischen Systemen stehen, in erträglicher Zeit mit erträglichen Kosten in
der erforderlichen Genauigkeit berechnen lassen. Vom Ingenieur wird natürlich weit mehr verlangt
als die bloße Beherrschung dieser Hilfsmittel. Daher orientiert sich die Darstellung dieses Buches
jeweils an der nachstehend aufgeführten Reihenfolge:
Problemstellungen aus der Praxis,
Herausarbeitung des mathematischen Modells,
Aufsuchen eines geeigneten Verfahrens (Algorithmus) zur LÖs\.lng,
Überprüfung, in welchen Fällen dieses Verfahren zu einer Lösung des Problems führt,
Rückübertragung der so gefundenen Lösung auf das Praxisproblem.
Bei allen diesen Schritten wird besonders darauf geachtet, daß dem Ingenieur eine gesunde Skep
sis gegenüber den Methoden und Verfahren vermittelt wird, um ihn davon zu überzeugen, daß die
Ergebnisse, die ein Rechner liefert, nicht kritiklos hingenommen werden sollten, da sie zwar richtig
gerechnet, aber aufgrund fehlerhafter Eingaben und ungeeigneter Programme falsch sein können.
Für die rechnerische Handhabung mathematischer Modelle bietet die numerische Mathematik
grundlegende Methoden, die weit über die wenigen klassischen Verfahren hinausreichen, welche im
Rahmen einer mathematischen Kursvorlesung behandelt werden können. Mit Hilfe der automati
sierten Datenverarbeitung ist die Numerik in den letzten zwanzig Jahren sowohl durch Bahnung
neuer Wege als auch durch den Ausbau bekannter Verfahren bemerkenswert weiterentwickelt wor
den.
In dem vorliegenden Buch versuchen die Autoren, dieser Entwicklung gerecht zu werden und die
numerische Mathematik in dem Umfang und der Auswahl anzubieten, wie es die modernen inge
nieurmäßigen Aufgaben erfordern, zugleich aber auch den Ingenieur bei der Aufstellung passender
Modelle zu unterstützen, da hiervon die Auswahl geeigneter Algorithmen wesentlich beeinflußt
wird. Eine lückenlose theoretische Begründung der vorgestellten, auf die Verwendung von Rech
nern besonders abgestimmten Verfahren würde den Rahmen dieses Buches sprengen und dem
Ingenieur wenig nützen. Hierzu dienen die zahlreichen Verweise auf die weiterführende Literatur.
Stattdessen zeigen viele Beispiele den gesamten Weg von der technischen Fragestellung eines Pro
blems bis zur praktischen Auswertung der Resultate. Aufgaben am Ende jedes Abschnitts sollen den
Inhalt
1 Fehler und Fehlerfortpflanzung (W. Haacke)
1.1 Maschinenzahlen ............................................. 11
1.2 Fehlerarten ................................................. 14
1.3 Fehlerfortpflanzung ........................................... 15
1.4 In-und Output von Algorithmen ................................... 20
1.5 Aufgaben zu Abschnitt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22
2 Nullstellen (I. Becker)
2.1 Auflösung einer Gleichung mit einer Unbekannten ....................... 24
2.1.1 Regula falsi ............................................. 28
2.1.2 Methode der sukzessiven Approximation ......................... 32
2.1.3 Newtonsches Näherungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36
2.2 Auflösung zweier Gleichungen mit zwei Unbekannten .................... . 39
2.2.1 Methode der sukzessiven Approximation ........................ . 39
2.2.2 Newtonsches Näherungsverfahren .............................. . 42
2.3 Reelle und komplexe Nullstellen ganzer rationaler Funktionen mit reellen KoeffIzien-
ten ...................................................... . 44
2.3.1 Horner-Schema zur Polynomberechnung. Newton-Verfahren ............ . 49
2.3.2 Methode von Bernoulli .................................... . 56
2.3.3 Bairstow-Verfahren 64
2.3.4 Nachiteration .......................................... . 69
2.4 Aufgaben zu Abschnitt 2 ........................................ . 76
3 Lineare Algebra (I. Becker)
3.1 Lineare Gleichungen. Lineare Systeme. Stiefel-Austauschverfahren 77
3.2 Berechnung der Kehrmatrix ...................................... . 85
3.3 Lösung linearer Gleichungssysteme ................................ . 89
3.3.1 Verkürztes Stiefel-Verfahren ................................. . 89
3.3.2 Determinante einer quadratischen Matrix ........................ . 91
3.3.3 Verketteter Gauß-Algorithmus ................................ . 93
3.3.4 Nachiteration .......................................... . 98
3.3.5 Gauß-Seidel-Einzelschrittverfahren zur iterativen Lösung linearer Gleichungs-
systeme ............................................... . 102
3.4 Eigenwerte und Eigenvektoren bei Matrizen .......................... . 108
3.4.1 Stiefel-Algorithmus ...................................... . 112
3.4.2 Von Mises-Verfahren ...................................... . 120
3.5 Aufgaben zu Abschnitt 3 ........................................ . 131
6 Inhalt
4 Elementare Einführung in die Methode der finiten Elemente (H.-J. Dreyer)
4.1 Einleitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 133
4.2 Zug-Druck-Stabe1emente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 135
4.2.1 Die Steifigkeitsmatrix eines Zugstabelementes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 135
4.2.2 Umrechnung von Elementkoordinaten in Strukturkoordinaten . . . . . . . . . . .. 136
4.2.3 Stabwerk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 137
4.3 Biegestabelement ............................................. 140
4.3.1 Steifigkeitsmatrix ......................................... 140
4.3.2 Gesamtsteifigkeitsmatrix zweier benachbarter Elemente gleicher Richtung 144
4.3.3 Biegestabsystem ......................................... 145
4.4 Dreieckförmiges Scheibenelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 148
4.4.1 Spannung und Dehnung .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 148
4.4.2 Steifigkeitsmatrix des dreieckförmigen Scheibenelementes ............. 149
4.4.3 Struktur aus Dreieckelementen ............................... 152
4.5 Aufgaben zu Abschnitt 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 159
5 Interpolation und Approximation (R. Nabert)
5.1 Interpolations-und Approximationsaufgaben der Technik ................... 160
5.2 Interpolation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 163
5.2.1 Differenzenschemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 164
5.2.2 Interpolationsformeln von Lagrange und Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 168
5.2.3 Interpolation bei Funktionen mit zwei Veränderlichen ................. 175
5.2.4 Spline-Interpolation ....................................... 177
5.3 Approximation von Funktionen ................................... 185
5.3.1 Approximation im Gaußschen Sinne ............................. 186
5.3.2 Approximation im Tschebyscheffschen Sinne ....................... 193
5.3.3 Approximation elementarer Funktionen ......................... 208
5.4 Numerische Integration ......................................... 211
5.4.1 Das Verfahren von Romberg ................................... 213
5.4.2 Gaußsche Integration ....................................... 218
5.4.3 Monte-Carlo-Methoden ...................................... 220
5.4.4 Vergleich der Integrationsverfahren ............................. 222
5.5 Numerische Differentiation ....................................... 222
5.6 Aufgaben zu Abschnitt 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
6 Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen (W. Haacke)
6.1 EinfUhrung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 229
6.1.1 Euler-Verfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 231
6.1.2 Verfahren von Adams-Bashfort ................................ 233
6.2 Einschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 234
6.2.1 Der Ansatz von Runge-Kutta ................................. 236
6.2.2 Das Verfahren von Gill ..................................... 238
Inhalt 7
6.3 Mehrschrittverfahren ........................................... 242
6.3.1 Die Mittelpunktsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 243
6.3.2 Der Ansatz von Hamming ................................... 244
6.3.3 Anlaufrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 246
6.3.4 Schrittweitenänderung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 247
6.4 Extrapolationsverfahren .................................... . . . .. 248
6.5 Zusammenfassung ............................................. 251
6.6 Aufgaben zu Abschnitt 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 252
7 Rand-und Eigenwertaufgaben (H.-J. Dreyer)
7.1 Differenzenverfahren ........................................... 254
7.1.1 Herleitung einfacher Differenzenformeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 254
7.1.2 Verbesserung der Formeln ................................... 255
7.1.3 Mehrstellenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 258
7.1.4 DifferenzenausdIÜcke bei partiellen Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 259
7.2 Lineare Randwertaufgabe bei gewöhnlichen Differentialgleichungen. Träger auf zwei
Stützen mit veränderlicher Biegesteifigkeit ............................ 261
7.2.1 Geschlossene Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 262
7.2.2 Berechnung mit einfachen Differenzenformeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 262
7.2.3 Berechnung mit dem verfeinerten Verfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 265
7.2.4 Berechnung mit dem Mehrstellenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 266
7.2.5 Vergleich der Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 267
7.3 Nichtlineare Randwertaufgabe. Träger mit großer Durchbiegung ............... 269
7.3.1 Lösung der linearisierten Aufgabe ............................... 270
7.3.2 Aufstellen der Differenzengleichung für die nichtlineare Aufgabe ........... 271
7.3.3 Lösung des Ersatzsystems mit Iterationsverfahren ................... 271
7.4 Eigenwertaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen. Der an einem Ende ein
gespannte und am anderen Ende gelenkig gefiihrte Knickstab . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
7.4.1 Herleitung der Differentialgleichung und Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 274
7.4.2 Berechnung mit dem einfachen Differenzenverfahren .................. 275
7.4.3 Mehrstellenverfahren .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 278
7.4.4 Fehlerbetrachtungen ....................................... 281
7.5 Randwertaufgabe bei partiellen Differentialgleichungen. Biegung einer Rechteckplatte 282
7.5.1 Vertikal unverschieblicher momentfreier Rand ...................... 283
7.5.2 Vertikal unverschieblicher eingespannter Rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 285
7.5.3 Aufspalten der Differentialgleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 286
7.5.4 Fehlerbetrachtungen ....................... . . . . . . . . . . . . . . .. 288
7.6 Aufgaben zu Abschnitt 7 ......................................... 289
8 Numerische Geometrie (R. Nabert)
8.1 Querschnitte von Flugzeug-und Schiffsrümpfen und ihre analytische Behandlung 290
8.2 Einführung homogener Koordinaten und einfache Anwendungen. . . . . . . . . . . . . .. 292
8.3 Kollineare Abbildungen in der Ebene und im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 296
8.3.1 Allgemeine Formeln ....................................... 297
8.3.2 Parallelprojektion und Perspektiven ............................. 300
8 Inhalt
8.4 Verwendung von Kegelschnitten und ihre analytische Behandlung ............. 306
8.5 Aufgaben zu Abschnitt 8 ......................................... 313
9 Anhang
9.1 Lösungen zu den Aufgaben 315
9.2 Weiterftihrende Literatur ......................................... 342
Sachverzeichnis ................................................... 345
I Fehler und Fehlerfortpflanzung
Bei der Lösung von technischen Problemen ist es erforderlich, für die untersuchten physikalischen
Größen (z.B. Kräfte, Momente, mechanische Spannungen, Arbeit, Leistung) Werte wie etwa Grenz
werte, Nennwerte, Abweichungen, zulässige Werte usw. zu bestimmen. Physikalische Größen werden
dabei als ein Produkt aus Zahlenwert mal Einheit angegeben. Bestimmung und Verarbeitung dieser
Zahlenwerte im Hinblick auf Fehler und Fehlerfortpflanzung bei der numerischen Rechnung sollen
in diesem Kapitel behandelt werden.
Die auftretenden reellen Zahlen - komplexe Zahlen können hier als Paare reeller Zahlen angesehen
werden - sind in den meisten Fällen une n d I ich e Dez i mal b r ü c h e. Sie werden, da die
Stellenzahl bei der numerischen Rechnung begrenzt ist, durch end I ich e Dez i mal b r ü c h e
und gelegentlich dur'ch rationale Zahlen ersetzt. Diese insbesondere für die Datenverarbeitung (DV)
aufbereiteten Zahlen nennt man M a s chi n e n z a h I e n. Durch den Übergang auf Maschinen
zahlen und besonders beim Rechnen mit Maschinenzahlen treten numerische Abweichungen auf,
die sich als Fehler bemerkbar machen und bei der Rechnung fortpflanzen können. Die für reelle
Zahlen gültigen Rechenregeln gelten dann nicht mehr uneingeschränkt. Die folgenden zwei Bei
spiele sollen zeigen, wie beim Rechnen mit Maschinenzahlen das Ergebnis von den Rechenopera
tionen beeinflußt wird.
Beispiell.l [2] Bild 1.1 zeigt eine Kugel, die einen Zylinder vom Radius R und zugleich zwei
aufeinander senkrecht stehende Ebenen berührt. Man bestimme ihr Volumen.
Die gesuchte Kugel habe den Radius r = AM. Es ist OB = R + r + r • ..j2'. Nach Pythagoras gilt
2R2 = (R + r + r·.Ji.)2
oder R + r + r.J2 = R0
Hieraus folgt o
v'2 - I
r=Rv'2+1
R
Damit wird das Kugelvolumen
(0 _
V = "43 nR 3 Tl + II ) 3
Die Berechnung des Terms
v'2 - 1)3
(
0+
I
Bild 1.1 Kugel und Zylinder
soll nun genauer untersucht werden.
Es gilt die Identität
3
(..JJ22+ - 1I ) =(yM2 -1)6 =(3-2yr2;;: ) 3 =99-70Vr;2;:
10 I Fehler und Fehlerfortpflanzung
Es werde zunächst 0 "" 7/5 = 1,4 gewählt und dieser Wert in die vier Terme eingesetzt
(~
0 _ IV "" -
1. ( 1)3 = _1_ = 0 004630
0+1) J.... + I 216 '
5
""G -IJ
2. (-/2 - 1)6 = 1566~5 = 0,004096
~) ~5
3. (3 - 20)3 "" (3 - 2 • 3 = I = 0,008000
7
4. 99 - 700 "" 99 - 70 • - = I
5
v'2 ""
Wählt man dagegen eine genauere Näherung 17/12 = 1,416, so erhält man entsprechend
(~\3 (H-
"" _1)3 125
I. \0 = 24389 = 0,005125
+ I) lJ.... + I
12
2. (0 - 1)6 "" ( 1172 _ 1)6 29185569258 4 = 0,005233
~D3 2~6
3. (3 - 20)3 "" (3 - 2' = = 0,004630
17 I
4. 99-7" '2""99-70' -=--=-0166667
VYL. 12 6 '
Alle diese Werte sollten den exakten Wert 0,0050506339 gut annähern, die zweite Gruppe besser
als die erste. In jeder Gruppe erwartet man auf Grund der Identität gleiche Ergebnisse.
Außerdem ist
99 - 70 • v'2 = y'98oT - V9800 = y'98oT I .J98OO
9801 + 9800
V9800 werde mit 4, 6, 8 bzw. 10 geltenden Ziffern bestimmt und dann der mittlere mit dem
rechten Term verglichen.
98,99 0,01 0,00505076
98,9949 0,0051 0,00505064
98,994949 0,005051 0,00505063
98,99494936 0,00505064 0,00505063
Dieses Beispiel zeigt: Treten Differenzen fast gleich großer Zahlen auf, dann können sich erhebliche
Abweichungen vom exakten Wert ergeben. Durch Umformungen, bei denen die Differenzbildung
vermieden wird, kann dieser Auslöschungseffekt oft deutlich verringert werden.