Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen: Nichtsteife, steife und differential-algebraische Gleichungen

516 Pages·2012·4.47 MB·German

by  Karl Strehmel

Numerik gewöhnlicher
Differentialgleichungen
Karl Strehmel • Rüdiger Weiner
Helmut Podhaisky
Numerik gewöhnlicher
Differentialgleichungen
Nichtsteife, steife und differential-
algebraische Gleichungen
2., überarbeitete und erweiterte Aufl age
Prof. Dr. Karl Strehmel Dr. Helmut Podhaisky
Universität Halle Universität Halle
Deutschland Deutschland
Prof. Dr. Rüdiger Weiner
Universität Halle
Deutschland

ISBN 978-3-8348-1847-8 ISBN 978-3-8348-2263-5 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-8348-2263-5
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Vorwort
Seit dem Erscheinen des Buches Numerik gew¨ohnlicher Differentialgleichungen“
”
der beiden erstgenannten Autoren sind mehr als 15 Jahre vergangen. In dieser
Zeit gab es zahlreiche neue Entwicklungen auf dem Gebiet der numerischen Be-
handlung von Anfangswertaufgaben gew¨ohnlicher und differential-algebraischer
Gleichungen, die das vorliegende Buch widerspiegelt. Es stellt daher keine u¨ber-
arbeitete FassungdesBuchesvonStrehmel/Weiner dar,sondernwurdeinhaltlich
neu konzipiert. Dazu trug die Hinzugewinnung des dritten Autors Helmut Pod-
haisky wesentlich mit bei.
Wir haben neue Diskretisierungsmethoden fu¨r gew¨ohnliche Differentialgleichun-
gen,dieinletzterZeitverst¨arktuntersuchtwerden,indieDarstellungeinbezogen,
dazu geh¨oren Peer-Methoden und exponentielle Integratoren. Der Behandlung
steifer Differentialgleichungen unddifferential-algebraischer Gleichungenwirdein
breiter Raum einger¨aumt. Als Anwendungsgebiete fu¨r differential-algebraische
Gleichungen haben wir elektrische Netzwerke und mechanische Mehrk¨orpersys-
teme aufgenommen.
Das Buch wendet sich an Studenten der Mathematik, Informatik, Physik und
Ingenieurwissenschaften sowie an Anwender aus Forschung und Industrie, die
sich mit der numerischen L¨osung von gew¨ohnlichen Differentialgleichungen und
differential-algebraischen Gleichungen befassen. Große Teile des Buches k¨onnen
fu¨r Grund- und Spezialvorlesungen zur numerischen Behandlung gew¨ohnlicher
und differential-algebraischer Gleichungen verwendet werden. Das Buch kann
auchalsbegleitendes Materialfu¨rdieMathematikausbildunganFachhochschulen
genutzt werden. Ferner soll es in der Praxis t¨atigen Mathematikern, Naturwis-
senschaftlern und Ingenieuren als Nachschlagewerk dienen.
Vorausgesetzt werden Kenntnisseder Analysis, der linearen Algebra und der Nu-
merischen Mathematik, wie sie in den Mathematik-Grundvorlesungen geboten
werden.
Die ersten sechs Kapitel (Teil I) sind der numerischen Behandlung nichtsteifer
Differentialgleichungen gewidmet, die Kapitel 7 bis 12 (Teil II) behandeln stei-
fe Differentialgleichungen und die Kapitel 13 und 14 (Teil III) die Theorie und
Numerik differential-algebraischer Gleichungen.
In Kapitel 1 stellen wir verschiedene Beispiele von Anfangswertproblemen vor,
diedanninsp¨aterenKapitelnzurVeranschaulichungverschiedenerL¨osungseigen-
vi
schaften und als Testprobleme fu¨r numerische Methoden genutzt werden. Ferner
sind im Text weitere Beispiele aus verschiedenen Anwendungsgebieten zur Illus-
tration eingefu¨gt. Zahlreiche Abbildungen tragen zum besseren Verst¨andnis des
Stoffes bei.
Am Ende von Teil I und II werden verschiedene Integratoren anhand bekannter
Testbeispiele verglichen und typische Eigenschaften aufgezeigt. Eine allgemei-
ne Einsch¨atzung soll dem Anwender Anhaltspunkte fu¨r die Auswahl eines fu¨r
sein Problem geeigneten Verfahrens geben. Wir stellen bekannte Matlab- und
Fortran-Programme vor und gehen auf Fragen der Implementierung ein.
Am Ende eines jeden Kapitels ist ein Abschnitt Weiterfu¨hrende Bemerkungen“
”
aufgenommen worden, der zur Erweiterung des behandelten Stoffes dient und
Hinweise auf zus¨atzliche Literatur gibt. Dies tr¨agt auch zu dem recht umfangrei-
chen Literaturverzeichnis bei. An einigen Stellen wird bewusst auf Beweise ver-
zichtet und stattdessen auf entsprechende Originalarbeiten bzw. Monographien
verwiesen. Die jedem Kapitel beigefu¨gten U¨bungsaufgaben dienen zur Vertiefung
des behandelten Stoffes und der Vervollst¨andigung von Beweisen.
Es ist uns ein Bedu¨rfnis, allen zu danken, die zum Gelingen dieses Projektes
beigetragen haben.
Unser besonderer Dank gilt Martin Arnold fu¨r ausfu¨hrliche Diskussionen, fu¨r
viele hilfreiche Kommentare und A¨nderungsvorschl¨age, die wesentlich zur Ver-
besserung der Darstellung beitrugen, insbesondere bei differential-algebraischen
Gleichungen.
Kristian Debrabant und Bernhard A. Schmitt danken wir fu¨r das Lesen und
Korrigieren einzelner Kapitel sowie fu¨r zahlreiche Verbesserungsvorschl¨age, Ro-
bert Fiedler fu¨r die sorgf¨altige Durchsicht des gesamten Manuskriptes und fu¨r
Vorschl¨age zur Textgestaltung. Unser Dank geht ferner an Christian Großmann,
der uns ermutigte, dieses Buchprojekt zu starten, und an John Butcher fu¨r sein
Interesse an diesem Buch.
Den Kollegen der Arbeitsgruppe Numerische Mathematik“ des Institutes fu¨r
”
Mathematik der Universit¨at Halle danken wir fu¨r anregende Diskussionen, Un-
terstu¨tzung in Detailfragen und fu¨r das angenehme Arbeitsklima. Frau Ulrike
Schmickler-HirzebruchundFrauBarbaraGerlach vomVerlagSpringerSpektrum
danken wir fu¨r die freundliche Zusammenarbeit.
Abschließend danken wir unseren Familien, ohne deren Verst¨andnis die Fertig-
stellung des Buches nicht m¨oglich gewesen w¨are.
Halle/Saale, Januar 2012 Die Autoren
Inhaltsverzeichnis
I Nichtsteife Differentialgleichungen 1
1 Theoretische Grundlagen 1
1.1 Einfu¨hrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Existenz, Eindeutigkeit und Sensitivit¨at . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Einschrittverfahren 20
2.1 Einfu¨hrung in klassische Diskretisierungsverfahren . . . . . . . . . 20
2.2 Konsistenz und Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Rundungsfehleranalyse bei Einschrittverfahren . . . . . . . . . . . 29
2.4 Runge-Kutta-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.1 Struktur der Runge-Kutta-Verfahren . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.2 Ordnungsaussagen und B-Reihen . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.3 Explizite Runge-Kutta-Verfahren bis zur Ordnung vier . . . 49
2.4.4 Explizite Runge-Kutta-Verfahren h¨oherer Ordnung . . . . . 55
2.5 Fehlersch¨atzung und Schrittweitensteuerung . . . . . . . . . . . . . 57
2.5.1 Fehlersch¨atzung mittels Richardson-Extrapolation . . . . . 59
2.5.2 Fehlersch¨atzung mittels eingebetteter Verfahren . . . . . . . 64
2.5.3 PI-Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.6 Stetige explizite Runge-Kutta-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.7 Weiterfu¨hrende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3 Explizite Extrapolationsverfahren 79
3.1 Asymptotische Entwicklung des globalen Fehlers . . . . . . . . . . 79
3.2 Gespiegelte und symmetrische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3 Der Extrapolationsvorgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.4 Das Gragg-Bulirsch-Stoer-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.5 Explizite Runge-Kutta-Verfahren beliebiger Ordnung . . . . . . . . 93
3.6 Bemerkungen zur Schrittweiten- und Ordnungssteuerung. . . . . . 94
viii Inhaltsverzeichnis
3.7 Weiterfu¨hrende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4 Lineare Mehrschrittverfahren 99
4.1 Adams-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.1.1 Explizite Adams-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.1.2 Implizite Adams-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.2 Allgemeine lineare Mehrschrittverfahren auf ¨aquidistantem Gitter . 105
4.2.1 Konsistenz und Ordnungsaussagen . . . . . . . . . . . . . . 106
4.2.2 Lineare Differenzengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.2.3 Nullstabilit¨at und erste Dahlquist-Schranke . . . . . . . . . 121
4.2.4 Schwach stabile lineare Mehrschrittverfahren . . . . . . . . 128
4.2.5 Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.3 Pr¨adiktor-Korrektor-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.4 Lineare Mehrschrittverfahren auf variablem Gitter . . . . . . . . . 141
4.4.1 Adams-Verfahren auf variablem Gitter . . . . . . . . . . . . 141
4.4.2 Konsistenz, Stabilit¨at und Konvergenz . . . . . . . . . . . . 144
4.4.3 Adams-Verfahren in Nordsieckform . . . . . . . . . . . . . . 149
4.5 Schrittweiten- und Ordnungssteuerung in PECE-Verfahren . . . . 153
4.6 Weiterfu¨hrende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5 Explizite Peer-Methoden 164
5.1 Definition der Methoden und Konsistenz . . . . . . . . . . . . . . 164
5.2 Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.3 Superkonvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.4 Implementierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.5 Weiterfu¨hrende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6 Numerischer Vergleich nichtsteifer Integratoren 182
6.1 Vergleichskriterien und spezielle Integratoren . . . . . . . . . . . . 182
6.2 Numerische Tests von Verfahren fu¨r nichtsteife Systeme . . . . . . 184
II Steife Differentialgleichungen 191
7 Qualitatives L¨osungsverhalten von Differentialgleichungen 191
7.1 Ljapunov-Stabilit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.2 Einseitige Lipschitz-Konstante und logarithmische Matrixnorm . . 194
7.3 Differentialgleichungen als dynamische Systeme . . . . . . . . . . . 200
Inhaltsverzeichnis ix
7.4 Steife Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.4.1 Charakterisierung steifer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.4.2 Auftreten steifer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8 Einschritt- und Extrapolationsverfahren 212
8.1 Implizite Runge-Kutta-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
8.1.1 Die vereinfachenden Bedingungen. . . . . . . . . . . . . . . 213
8.1.2 Gauß-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
8.1.3 Radau-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
8.1.4 Lobatto-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
8.1.5 Kollokationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
8.1.6 Diagonal-implizite Runge-Kutta-Verfahren. . . . . . . . . . 231
8.1.7 Stetige implizite Runge-Kutta-Verfahren . . . . . . . . . . . 233
8.2 Stabilit¨at von Runge-Kutta-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . 234
8.2.1 Die Stabilit¨atsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
8.2.2 A-Stabilit¨at, A(α)-Stabilit¨at und L-Stabilit¨at . . . . . . . . 238
8.2.3 Pad´e-Approximationen der Exponentialfunktion . . . . . . 240
8.2.4 A-Stabilit¨at von Runge-Kutta-Verfahren hoher Ordnung . . 243
8.2.5 A-Stabilit¨at von SDIRK-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . 245
8.2.6 AN-stabile Runge-Kutta-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . 248
8.2.7 BN-stabile Runge-Kutta-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . 250
8.2.8 Stabilit¨atsgebiete expliziter Runge-Kutta-Verfahren . . . . 258
8.3 Ordnungssterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
8.4 Das Konzept der B-Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
8.4.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
8.4.2 B-Konsistenz und B-Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . 267
8.5 W-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
8.6 Implementierung impliziter Runge-Kutta-Verfahren . . . . . . . . . 275
8.6.1 L¨osung der nichtlinearen Gleichungssysteme . . . . . . . . . 275
8.6.2 Fehlersch¨atzung und Schrittweitensteuerung . . . . . . . . . 281
8.7 ROW- und W-Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
8.7.1 Herleitung der Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
8.7.2 Konsistenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
8.7.3 Stabilit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
8.7.4 Bemerkungen zur Implementierung . . . . . . . . . . . . . . 292
8.7.5 Partitionierte Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
8.7.6 Krylov-W-Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
8.8 Bemerkungen zu Extrapolationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . 306
8.9 Weiterfu¨hrende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
8.10 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
x Inhaltsverzeichnis
9 Lineare Mehrschrittverfahren 314
9.1 Stabilit¨atsgebiete und zweite Dahlquist-Schranke . . . . . . . . . . 314
9.2 BDF-Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
9.2.1 Darstellung und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . 323
9.2.2 Nordsieck-Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
9.3 One-Leg-Methoden und G-Stabilit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
9.4 Weiterfu¨hrende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
9.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
10 Linear-implizite Peer-Methoden 342
10.1 Definition der Verfahren und Konsistenzaussagen . . . . . . . . . . 342
10.2 Stabilit¨at und Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
10.3 Bestimmung konkreter Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
10.4 Verallgemeinerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
10.5 Weiterfu¨hrende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
10.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
11 Exponentielle Integratoren 354
11.1 Motivation und theoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . 354
11.2 Exponentielle Runge-Kutta-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . 357
11.3 Exponentielle Mehrschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
11.4 Exponentielle Peer-Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
11.5 Fragen der Implementierung und numerische Illustration . . . . . . 374
11.6 Adaptive Runge-Kutta-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
11.7 Weiterfu¨hrende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
11.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
12 Numerischer Vergleich steifer Integratoren 390
III Differential-algebraische Gleichungen 396
13 Theorie differential-algebraischer Gleichungen 396
13.1 Einfu¨hrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
13.2 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . 397
13.2.1 Eigenschaften linearer DAEs . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
13.2.2 Weierstraß-Kronecker-Normalform . . . . . . . . . . . . . . 399
13.3 Indexbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
13.3.1 Der Differentiationsindex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
13.3.2 Der St¨orungsindex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
13.4 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
13.4.1 Elektrische Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422