Table Of ContentProbleme und Resultate der Wissenschaftstheorie
und Analytischen Philosophie, Band III
W. Stegmiiller/M. Varga von Kibed:
Strukturtypen der Logik
Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo
Berichtigungen
S.IS, Z.7 Y.U.: Vor dem letzten Absatz ist folgender Absatz einzufligen: Die
beiden folgenden Kapitel, Kap. 14 und Kap. 15, folgen der
Darstellung yon H. D. EBBINGHAUS, J. FWM und W. THOMAS
in ihrer 'Einflihrung in die Mathematische Logik' (EBBING
HAUS et al. [I]).
Zu ersetzender Ausdruck Neuer Ausdruck
S. 34, Z. 11 Y.U.: .) (flir aile M,Nr;K).)
S. 36, Z. I: (ah ... ,an) '(ah ... ,an)'
S. 58, Z. 14/15: eine Formel ein Satz
S. 5S, Z. 2 Y.U.: Die Negation einer Die Negation eines
p-F ormel ist aber eine Satzes yom Typ p ist aber
IX-Formel! ein Satz yom Typ IX!
S. 59, Z. 3/4: eine Formel ein Satz
S. 78, Z. 8 der Anmerkung: Priidikat' 'Priidikat'
S. 79, Z. 9, sowie drei
Zeilen oberhalb (2), sowie
Z. 9 Y.U.: 91[-1' "',-n]
S. 79, zwei Zeilen
unterhalb (I): eine Formel ein Satz
S. 121, Z. 3 Y.U.: Satz 23 Th.4.2.1
S. 125, Z. 2: Ih ~B
S. 138, Z. 10 Y.U.: (~J (AI)
S. 139, dritter Abs. yon
4.3.4, letzte Zeile: fasch falsch
S. 140, Z. S unterhalb
der Tabelle: Oem Leser 1m Leser
S. 215, Z. 3/4: Der Beginn Yon Z. 4 gehiirt noch zur Behauptung (b), so daB
diese also mit 'yon ((J(u).' schlieBt. Die Begriindung in Z.4
beginnt mit: 'Denn llach DeC
S. 233, Z. 7: 6(A*)
S. 233, Z. 10: b(--, B)
S. 244, Z. 1 v.u. (in (I')): Vi
S. 245, Z. 7:
~ ~
S. 301, Z. 10: Hier und gelegentlich im weiteren Text von Kap. 9-11 wird
'FormeI' Yerwendet, obwohl 'Satz' priiziser wiire; so z. B. auf
S. 316, Z. 2 Y.U., S. 319, Z.I yon (I) und (2), S. 320, Z. 19 Y.U.
und S. 321. Z. 7
S. 308, Z. 7 V.u.: Th.9 Th.9.1
S. 315: Zu Beginn der ersten Zeile des dritten Absatzes ist folgender
Satz einzufiigen:
Reine Formeln bzw. reine Siitze sind solche ohne Objektpara
meter.
S. 318, Z. 10: von Siitzen von reinen Sii tzen
S. 320, Z. 5: /j-Formeln /j-Siitzen
S. 320, Z. 18 v.u.: /j-Formeln Siitze vom Typ D
S. 336, Z. 8: Der Ausdruck 'von B6' ist zu streichen!
S. 357, Z. 7 v.u.: V V
S. 368, Z. 2: Ax[a] rAx[ar
S. 368, Z. 1 v.u.: {nf-TAzi\[k:J} {nl f-TA'Ii[k:]}
S. 381, R2., Z. 2: NE, rNE,'
S. 383, Z. 1: Th. 13.1 Th. 13.2
S. 384, Z. 24: nach Def. von 'erfiillt' nach LV.
S. 386, Z. 20: r.....,H' definiert M.) E erfiillt r.....,w;
also gilt:
r.....,H' definiert M.)
S. 386, Z. 7 v.u.: ¢W ¢p
S. 392, Z. 10 v.u.: t, und t2 t, noch t2
S. 393, Z. 15: Variablen freien Variablen
S. 394, Z. 5 oberhalb
Hilfssatz 2: (=g(Eg(E))!) (= g(E g(E))!)
S. 394, Z. 12 v.u.: g(Eg(E)) g(Eg(E))
S. 396, Z. 11: der jeder
S. 396, Z. 11 v.u.: r(IX)(fO)HlX))" r(IX)«fO)l(IX))"
S.396,Z.3im Bew.von
Hilfssatz 4: F(g(EE)) F(g(EE))
S. 408, Z. 11 v.u.: wobei S wobei SO
S. 459, Z. 9 v.u.: Funktion L Funktion L
S. 489, Z. 12: und Schritt 1 und Teill
S. 505, einfiigen: Dummett, N., Elements of Intuitionism, Oxford 1977.
AufSeite 343 ist ein sachlicher Fehler zu korrigieren, auf den uns dankenswerterweise Karl
Popper aufrnerksam gemacht hat. Die folgenden vier Anweisungen beziehen sich aile auf diese
Seite.
Auf Zeile 18 und Zeile 19 von oben ist der Satz zu streichen: 'Giidel ist bei der Beweisskizze
... von Bernays entdeckt wurde.'
AufZeile 14 bis Zeile 12 von unten ist der Satz zu streichen: '(Der fragliche Beweis ... Giidels
Arbeit.),
AufZeile 20 und 21 von oben ist der Satz: ' ... der Ableitbarkeit einer bestimmten Formel .. .'
zu ersetzen durch: ' ... der Ableitbarkeit bestimmter Formeln .. .'.
Auf Zeile 22 von oben ist '§ 5.2' zu ersetzen durch: '§ 5.1c'.
S 372, Z. 10 v.u.}
zu ergiinzen: sofern n = r A '
S. 372, Z. I v.U.
Wolfgang Stegmiiller
Matthias Varga von Kib6d
Probleme und Resultate der Wissenschaftstheorie
und Analytischen Philosophie, Band III
Strukturtypen der Logik
Studienausgabe, Teil B
Normalformen. IdentiHit und Kennzeichnung.
Theorien und definitorische Theorie-Erweiterungen.
Kompaktheit. Magische Mengen. Fundamentaltheorem.
Analytische und synthetische Konsistenz. UnvollsUindigkeit
und Unentscheidbarkeit
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York Tokyo
1984
Professor Dr. Dr. Wolfgang Stegmiiller
Dr. Matthias Varga von Kibed
Seminar fiir Philosophie, Logik und Wissenschaftstheorie
Universitiit Miinchen
LudwigstraBe 31, 0-8000 Miinchen 22
Oieser Band enthiilt die Kapitel6 bis 12 der unter dem Titel "Probleme und Resultate der
Wissenschaftstheorie und Analytischen Philosophie, Band III, Strukturtypen der Logik"
erschienenen gebundenen Gesamtausgabe
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Stegmiiller, Wolfgang: Probleme und Resultate der Wissenschaftstheorie und analytischen
Philosophie/Wolfgang Stegmiiller; Matthias Varga von Kibed. - Studienausg. -
Berlin; Heidelberg; New York: Springer
Teilw. verf. von Wolfgang Stegmiiller
NE: Varga von Kibed, Matthias:
Bd. 3 --> Stegmiiller, Wolfgang: Strukturtypen der Logik
Stegmiiller, Wolfgang: Strukturtypen der Logik/Wolfgang Stegmiiller; Matthias Varga von Kibed. -
Studienausg. - Berlin; Heidelberg; New York: Springer
(Probleme und Resultate der Wissenschaftstheorie und analytischen Philosophie /
Wolfgang Stegmiiller; Matthias Varga von Kibed; Bd. 3)
NE: Varga von Kibed, Matthias:
Teil B (1984).
ISBN-13: 978-3-540-12212-8 e-ISBN-13: 978-3-642-61725-6
001: 10.1007/978-3-642-61725-6
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des Nachdruckes, der Entnahme von Abbildungen, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem
oder iihnlichem Wege und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen bleiben, auch bei nur auszugsweiser
Verwertung, vorbehalten. Die Vergiitungsanspriiche des § 54, Abs.2 UrhG werden durch die "Verwertungs-
gesellschaft Wort", Miinchen, wahrgenommen.
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1984
Softcover reprint of the hardcover 1st Edition 1984
Herstellung: Briihlsche Universitiitsdruckerei, GieBen
2142/3140-543210
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 6. Normalformen. . . . . . . . . . . 231
6.1 Dualform.............. 231
6.2 Adjunktive und konjunktive Normalform 234
6.3 Priinexe Normalform. . . . . . . . . 238
6.4 Skolem-Normalform......... 239
6.5 Distributive Normalform ("Hintikka-Normalform") 241
Kapitel 7. Identitiit . . . 260
7.1 i-Semantik... 260
7.2 Anzahlquantoren 268
7.3 Der Kennzeichnungsoperator 269
Kapitel 8. Theorien . . . . . . . . 280
8.1 Entscheidbarkeit und Aufziihlbarkeit 280
8.2 Theorien erster Stufe . . . . . . 281
8.3 Definitorische Theorieerweiterung . 284
TeillI. Metalogische Ergebnisse
Kapitel 9. Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
9.0 SMULLYANS Behandlung von Bewertungs- und Interpretationssemantik 295
9.1 Allgemeines. Ein "direkter" (synthetischer) Beweis des Kompaktheitssatzes . 298
9.2 Deduzierbarkeitsversion des Kompaktheitssatzes . . . . . . . . . . . . 302
9.3 Analytische oder "Giidel-Gentzen"-Varianten des Kompaktheitstheorem-
beweises .......................... . 302
9.4 Synthetische oder "Lindenbaum-Henkin"-Varianten des Kompaktheits
theorembeweises. . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
9.5 Eine analytische Variante des Beweises von LINDENBAUM 311
KapitellO. Das Fundamentaltheorem der Quantorenlogik 315
10.1 SMULLYANS magische Mengen 315
10.1.1 Reguliire Mengen . . . . . . . . . . . . . 315
10.1.2 Magische Mengen ............ . 317
10.1.3 Kompaktheitstheorem. Liiwenheim-Skolem-Theorem 321
10.2 Das Fundamentaltheorem der Quantorenlogik (Abstrakte Fassung des Satzes
von HERB RAND ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
IOJ Ein Beweis des Fundamentaltheorems auf der Grundlage des Baumverfahrens 324
10.4 Direkter und verschiirfter Volistiindigkeitsbeweis des axiomatischen Kalkiils A 325
IV Inhaltsverzeichnis
Kapiteill. Analytiscbe und synthetiscbe Konsistenz. Zwei Typen von VolIstiindigkeits
beweisen: solche yom Giidel-Gentzen-Typ und solcbe yom Henkin-Typ. . . . . . . 330
11.1 F ormale Konsistenz in axiomatischen Kalkiilen und analytische Konsistenz . 330
11.2 Analytisches Konsistenz-Erfiillbarkeitstheorem und Godelsche
VOllstiindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
11.3 Formale Konsistenz in axiomatischen Kalkiilen und synthetische Konsistenz . 335
11.4 Synthetisches Konsistenz-Erfiillbarkeitstheorem und Henkinsche
Vollstiindigkeit . . . . . . . . . . . . . 336
Kapitel12. Unvollstandigkeit und Unentscbeidbarkeit . 342
12.0 Vorbemerkungen ... 342
12.1 Sprachen erster Stufe. . . 345
12.2 Theorien erster Stufe . . . 348
12.3 Die Theorie erster Stufe N 350
12.4 Berechenbarkeit und Entscheidbarkeit 351
12.4.1 Intuitive Vorbemerkungen zu den Begriffen der Aufziihlbarkeit, Entscheid
barkeit und Berechenbarkeit. . . . 351
12.4.2 Rekursive Funktionen und Priidikate 356
12.5 Sequenzzahlen. . . . . . . 360
12.6 Ausdruckszahlen. . . . . . . .. 362
12.7 Formale Repriisentierbarkeit. . . . 365
12.8 Unentscheidbarkeit und Unvollstiindigkeit . 366
Von der gebundenen Ausgabe des Bandes "Probleme und Resultate der Wissenschafts
theorie und Analytischen Philosophie, Band III, Strukturtypen der Logik" sind folgende
weitere Teilbiinde erschienen:
Studienausgabe Tell A: Junktoren und Quantoren. Baumverfahren. Sequenzenlogik.
Dialogspiele. Axiomatik. Natiirliches SchlieBen. Kalkiil der Positiv- und Negativteile.
Spielarten der Semantik
Studienausgahe Teil C: Selbstreferenz. Tarski-Siitze und die Undefinierbarkeit der
arithmetischen Wahrheit. Abstrakte Semantik und algebraische Behandlung der Logik.
Die beiden Siitze von LINDSTROM
Kapitel6
N ormalformen
Bei der Untersuehung bestimmter Fragestellungen, wie z. B. des
Informationsgehaltes oder der Giiltigkeit von Satzen A der formal en
Spraehe Q, erweist es sieh als zweekmaBig, Formeln in eine dem un
tersuehten Aspekt besonders angemessene normierte Gestalt zu trans
formieren. Das Transformat A' eines Satzes A wird als eine Normalform
von A bezeiehnet werden. Die wiehtigsten und bekanntesten Normal
form bildungen stellen wir hier kurz zusammen. Wir besehranken uns
dabei auf die Bildung von Normalformen geschlossener Formeln, also
von Satzen. Das Transformat A' wird dabei jeweils, unabhangig von der
Art der betraehteten Normalformbildung, mit A logiseh aquivalent sein.
Wie die angegebenen Beweise zeigen, sind die Transformationen in allen
angegebenen Fallen efJektiv: Zu jedem A IaBt sieh das Transformat A'
mechanisch erzeugen (vgl. aueh Kap. 12).
6.1 Dualform
Wir beginnen die Auflistung jedoeh mit einer anderen Art von
Transformatbildung: den sogenannten Dualformen. 1m Gegensatz zu den
anderen spater aufgefUhrten Formen von Normalformbildung gilt fUr
diese Transformate:
(1) Die Dualform A eines Satzes A ist i. a. nieht mit A logiseh
aquivalent; vielmehr ist A' genau dann l-giiltig, wenn A l-kon
tradiktoriseh ist (vgl. Th. 6.1).
(2) Der Begriff ,Dualform' ist wesentlieh zweistellig. Wahrend bei den
folgenden Normalformbegriffen von einer Forme! sinnvoll gesagt
werden kann, sie be fin de sieh (bzw. befinde sieh nieht) in Normal
form, ohne naeh der oder den Formeln, deren Transformat sie ist,
zu fragen, gilt fUr Dualformen: Jeder Satz von Q (ohne Vor
kommnisse von --+ und +-+) ist Dualform genau eines Satzes von
Q. (Der Dualformbegriff wird aber nur fUr solche Satze von Q
definiert, in denen --+ und +-+ nicht vorkommen. Daher ist der
Begriff ,Dualform' einstellig gebraueht uninteressant.)
232 Normalformen
Wir kommen nun zur Definition dieser Art von Transformaten. /\
und v heil3en duale Junktoren; /\ und V heil3en duale Quantoren.
Definition der Dualform: 1st A ein Satz von Q, in dem ---> und +-+
nicht auftreten, so heil3t der Satz A *, der aus A durch Ersetzung aller
Junktoren /\ und v und aller Quantoren /\ und V durch die zu ihnen
dualen (Junktoren bzw. Quantoren) entsteht, die Dualform von A.
Man beachte, dal3 zu jedem Satz von Q ein logisch aquivalenter Satz
von Q ohne ---> und +-+ effektiv gewonnen werden kann, indem man z. B.
(a) Ih(A--->B)+-+(,A v B)
und
(b) Ih(A+-+B)+-+((A/\B)v(,A/\ ,B))
fUr eine rekursive Definition beniitzt. Bezeichnet man dann die Dualform
eines so gewonnenen Satzes als Dualform des urspriinglichen Satzes, so
konnen mehrere Satze dieselbe Dualform haben:
So ist z. B. /\ x(, Px /\ Qx) in diesem Sinne sowohl Dualform von
V x(,Px v Qx) wie von V x(Px---> Qx). Fal3t man (a) als Definition von
---> vermoge , und v auf, verschwindet diese Mehrdeutigkeit wieder.
Beispiel fUr eine Dualformbildung:
/\ x V y((, Py v Qf(y)) /\ ,Rxy) v V x(Px /\ ,Qf(x)) v V xRxx
hat die Dualform
V x /\ y((, Py /\ Qf(y)) V ,Rxy) /\ /\ x(Px V ,Qf(x)) /\ /\ xRxx.
Wahrend der erste Satz I-giiltig ist, ist seine Dualform /-kontradiktorisch;
und dies ist kein Zufall, denn es gilt ganz allgemein:
Th. 6.1 Fur aile Siitze A, B von Q, in denen ---> und +-+ nicht
vorkommen, gilt:
(a) Ein Satz ist genau dann I-gilltig, wenn dies auch die Negation seiner
Dualform ist, d. h.
IhA Ih,A*,
~
(b) Antecedens und Konsequens l-gultiger Konditionale durfen bei
Dualformbildung vertauscht werden, d. h.
IhA--->B ~ IhB*--->A*,
(c) Dualformbildung erhiilt l-Aquivalenz, d. h.
IhA+-+B ~ IhA*+-+B*.
Beweis: Zu jeder I-Bewertung b von Q existiert auch die folgende
E
komplementiire l-Bewertung 6 von QE:
Dualform 233
(i) Flir jeden elementaren Satz A von QE sei b(A)=w ~ b(A)=f;
(ii) flir jeden komplexen Satz A von Q sei b(A) gemaB (Rj) und (Rq)
E
definiert.
Dann gilt flir aIle Satze A von QE' in denen -4 und +-+ nieht vorkommt:
(1) b(A)=t=b(A*).
Beweis dureh Induktion naeh dem Grad n von A. Flir n = 0 ist n. Def.
b(A)=t= b(A) =b(A*), da dann A mit A* identiseh ist. Flir n>O liegt einer
der Falle vor:
1. A=iB. Dann ist A*=iB*, und es gilt
b(iB)=w ~ b(B)=f (Ri)
~ b(B*)=w LV.
~ b(iB*)=f (Ri).
2. A =B /\ C. Dann ist A* =B* v C*, und es gilt
b(B /\ C)=w ~ b(B)=b(C)=w (R/\)
~ b(B*)=b(C*)=f LV.
~ b(B* v C*) = f (R v ).
3. A = B v C. Dann ist A * = B* /\ C*, und es gilt analog zu 2.
b(BvC)=w ~ b(B*/\C*)=f (Rv),LV.,(R/\).
4. A= J\xB[x]. Dann ist A*= VxB*[x], und es gilt!
b(J\xB[x])=w ~ b(B[u])=w, flir aIle u von QE (R J\)
~ b(B*[u]) = f, flir aIle u von Q LV.
E
~ b(VxB*[x])=f (RV).
5. A= VxB[x]. Dann ist A*= J\xB*[x], und es gilt! analog zu 4.
b(VxB[x])=w ~ b(J\xB*[x])=f (RV),LV.,(RJ\).
Damit ist (1) bewiesen. Wie man sieh leicht klarmaeht, gilt:
(2) Die Menge alIer l-Bewertungen b ist identisch mit der Menge
ihrer komplementaren l-Bewertungen b.
Dann folgt:
(a) IhA ~ Abb(A)=w ~ Abb(A*)=f (naeh (1))
~ Abb(A*)=f(nach(2)) ~ 11-1iA*.
(b) IhA-4B ~ IhiA v B ~ Ihi(iA v B)* (naeh (a))
~ Ihi(iA* /\ B*) ~ IhB*-4A*.
(c) IhA+-+B ~ IhA-4B A IhB-4A
~ IhB*-4A* A IhA*-4B* (naeh (b))
~ 11-1A*+-+B*. D
1 Streng genom men ist B*[x] nicht definiert, da Beine Nennform ist. Hier, wie weiter im
Text, ist damit die Dualform (B[x])* von B[x] gemeint. (Fur offenes B[x] sei B[x]*
ganz analog wie fUr Satze definiert.)
