Molekulare Gasdynamik: Einführung in die kinetische Theorie der Gase und Lattice-Boltzmann-Methoden

230 Pages·2004·2.364 MB·German

by  Professor Dr.-Ing. Dieter Hänel (auth.)

Dieter Hanel
Moleltulare Gasdynamik
Berlin
Heidelberg
New York
Hongkong
London
aila and
Paris
To kio
ieter Hiinel
Mit 48 Abbildungen
Professor Dr.-Ing. Dieter Hanel
Universitat Duisburg-Essen
Fakultat fiir Ingenieurwissenschafte~l
Ins titut fiir Verbrennung und Gasdynamik
47048 Duisburg
[email protected]
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Vorwort
Das Ziel dieses Buches ist es, einen U¨berblick u¨ber die kinetische Theorie
derGase,ihreL¨osungsm¨oglichkeitenundAnwendungenausingenieurwissen-
schaftlicher Sicht zu geben.
Vorlesungen u¨ber Grundlagen der kinetischen Theorie der Gase sind Be-
standteildesStudiumsindenIngenieurwissenschaftenundNaturwissenschaf-
ten. So ist auch die Idee zu diesem Buch aus einer langj¨ahrigen Vorlesungs-
reihe u¨ber ,,Molekulare Gasdynamik” an der Fakult¨at fu¨r Ingenieurwissen-
schaften der Universit¨at Duisburg-Essen entstanden. In der deutschsprachi-
gen Literatur fehlt jedoch ein begleitendes Lehrbuch zur Einfu¨hrung in die
kinetische Theorie der Gase. Das, soweit mir bekannt, einzige Buch in deut-
scherSprachewurdevonA.Frohn1 [19]verfasst,indemdieTheorieinkurzer
und verst¨andlicher Form zusammengefasst wurde. Leider ist diese Taschen-
buchausgabeseitJahrennichtmehrerh¨altlich.DerAutordiesesBucheshofft,
mitdererweitertenDarstellungderkinetischenTheoriedieseLu¨ckezufu¨llen.
Die kinetische Theorie beschreibt die makroskopischen Eigenschaften ei-
nes Gases, wie Druck, Dichte, Temperatur oder Geschwindigkeit, u¨ber die
mikroskopische Bewegung von Atomen und Moleku¨len.
Einen ersten Einblick in die kinetische Theorie erh¨alt man aus einer ele-
mentaren Betrachtung der Gaskinetik, in der mit einfachsten, mikroskopi-
schen Modellen die fluid- und thermodynamischenVariablen einerStr¨omung
alsauchdieTransportgr¨oßenwieViskosit¨atoderW¨armeleitf¨ahigkeitausmo-
lekularkinetischerSichtdargestelltwerden.DiesesDarstellungeignetsichin-
besondere fu¨r einfu¨hrende Vorlesungenin die Grundlagender Str¨omungsme-
chanik.
Eine weitergehende Besch¨aftigung mit der kinetischen Theorie fu¨hrt auf
statistische Formulierungen der molekularen Bewegung und Dynamik. Die
Wahrscheinlichkeit, ein Moleku¨l in einem Phasenvolumen zu finden, wird
mittels einer molekularen Geschwindigkeitsverteilungsfunktion ausgedru¨ckt.
Ist diese bekannt, so k¨onnen aus ihren Momenten alle str¨omungsrelevanten,
makroskopischen Gr¨oßen ermittelt werden.
EineanalytischdarstellbareVerteilungsfunktionistdieMaxwell-Verteilung
fu¨rGaseimthermodynamischenGleichgewicht.Trotzdiesereinschr¨ankenden
1 Prof. Dr.rer. nat. Arnold Frohn,EmeritusamInstitut fu¨r Thermodynamikder
Luft- und Raumfahrtder Universit¨at Stuttgart
VI Vorwort
Annahme erlaubt die Maxwell-Verteilung, Details der molekularen Stoßme-
chanik, aber auch die Grundlagen der chemischen Reaktionskinetik herzu-
leiten. Allgemeine Nichtgleichgewichtsvorg¨ange erfordern jedoch die L¨osung
der Boltzmann-Gleichungzur Bestimmung der Verteilungsfunktion. Die Mo-
mente der Boltzmann-Gleichung und ihrer N¨aherung, dem BGK-Modell,
fu¨hren auf die makroskopischen Erhaltungsgleichungen von Masse, Impuls
und Energie einschließlich der molekularen Transportprozesse, wie Reibung
oder W¨armeleitung.
L¨osungen der Boltzmann-Gleichung erm¨oglichen somit ein theoretisches
Fundament der Kontinuumsmechanikund ihrerph¨anomenologischfestgeleg-
tenTransportvorg¨ange.AlsBeispielseienhierdieNavier-Stokes-Gleichungen
und der Newtonsche Spannungsansatz genannt, die sich aus einer N¨aherung
der Boltzmann-Gleichung ergeben. Daru¨ber hinaus bietet diese Theorie die
einzigeM¨oglichkeit,Ph¨anomenebeist¨arkerenAbweichungenvomthermody-
namischen Gleichgewicht zu erkl¨aren und quantitativ zu bestimmen. Dazu
geh¨oren insbesondere Str¨omungsvorg¨ange bei sehr geringen Dichten in der
Raumfahrt- oder Vakuumtechnik, aber auch Nichtgleichgewichtsvorg¨angein
der Chemie und Plasmaphysik.Die detaillierte BerechnungsolcherVorg¨ange
fu¨hrtnatu¨rlichaufumfangreicheundzumTeilkomplexeMathematik,dieden
UmfangeinerEinfu¨hrungindiekinetischeTheorieu¨berschreitet.Diemathe-
matischenAnforderungenandenLeserwerdendeshalbaufdasNotwendigste
begrenzt.
AufGrunddermathematischenKomplexit¨atderkinetischenTheorieund
der damit verbundenen Schwierigkeit, analytische L¨osungen zu finden, ge-
winnennumerischeL¨osungsverfahrenzunehmendeBedeutung,diesvorallem
durch die st¨andig steigende Rechnerkapazit¨at. In diesem Buch wird deshalb
nocheineEinfu¨hrunginausgew¨ahlte,gaskinetischeSimulationsmethodenge-
geben. Unter diesen Methoden wird im Detail auf die Lattice-Boltzmann-
Methodeneingegangen,diedirektaufdenhiervorgestelltenGrundlagenauf-
bauenundindernumerischenStr¨omungsmechanikalseffizienteSimulations-
methoden mittlerweile breite Verwendung finden.
DerAutoristalsStudentderLuft-undRaumfahrtanderRWTHAachen
in den Vorlesungen von Prof. Dr. A. Frohn zum ersten Male mit der kineti-
schen Theoriein Beru¨hrunggekommen.Die vonProf.Dr. A. Frohn in seiner
Vorlesung vermittelte Begeisterung fu¨r diese Theorie ist bis jetzt erhalten
geblieben und hat zu diesem Buch ebenso wie zu einigen Forschungsthemen
beigetragen. Die wissenschaftliche Besch¨aftigung mit diesen Problemstellun-
gen begann in der Promotionszeit am Stoßwellenlabor der RWTH Aachen
unter Prof. Dr. H. Gr¨onig mit experimentellen und theoretischen Untersu-
chungen zur Stoßwellenstruktur. Die Entwicklung und Anwendung numeri-
scher Methoden in der Str¨omungsmechanik war wesentliches Forschungsge-
biet w¨ahrendder T¨atigkeitam AerodynamischenInstitut ander RWTH Aa-
chenunterProf.Dr.E.Krause.ObwohlhierbeimeistProblemevonKontinu-
umsstr¨omungen bearbeitet wurden, spielten auch verdu¨nnte Gasstr¨omungen
Vorwort VII
in verschieden Projekten eine Rolle, wie zum Beispiel in Wiedereintrittspro-
blemen der Raumfahrt oder bei Isotopentrennverfahren. Mit der Berufung
aufeineProfessurfu¨rStr¨omungsmechanikanderUniversit¨atDuisburg-Essen
wurde neben anderen Vorlesungen zur Str¨omungsmechanik auch die Vorle-
sung,,MolekulareGasdynamik”u¨bernommen,ausder,wieobenerw¨ahnt,die
IdeezudiesemBuchkam.AlsAnfangderneunzigerJahredieerstenArbeiten
zu Lattice-Boltzmann-Methoden erschienen, wurden diese von Frau Dr. O.
Filippova2 und mir aufgegriffen und weiterentwickelt. Die Weiterentwicklun-
gen dieser Methoden fu¨hrten mittlerweile zu mehreren Forschungsprojekten,
die durch die Deutsche Forschungsgemeinschaft unterstu¨tzt wurden.
Duisburg, im Fru¨hjahr 2004 Prof. Dr.-Ing. Dieter H¨anel
2 jetzt EXACorporation, Lexington, USA
Inhaltsverzeichnis
1. Einfu¨hrung in die molekulare Gasdynamik................ 1
1.1 Zum Inhalt dieses Buches................................ 1
1.2 Einleitung ............................................. 4
1.3 Annahmen der molekularen Theorie ...................... 7
1.3.1 Moleku¨lmodelle .................................. 7
1.3.2 Molekulare Skalen ................................ 8
1.4 Gaskinetische Zustandsbereiche .......................... 9
1.4.1 Knudsen-Zahl Kn ................................ 9
1.4.2 Knudsen-Zahl, Reynolds-Zahl und Mach-Zahl ........ 10
1.4.3 Str¨omungsbereiche ............................... 11
1.4.4 Kontinuumsstr¨omung ............................. 13
1.4.5 Freie Moleku¨lstr¨omung............................ 14
1.5 Bezeichnungen thermodynamischer Gr¨oßen ................ 15
1.6 Molekulare Gr¨oßenordnungen ............................ 16
2. Elementare Gaskinetik ................................... 17
2.1 Makroskopische Eigenschaften eines Gases in Ruhe ......... 17
2.1.1 Molekulare ,,1/6”-Verteilung ...................... 17
2.1.2 Thermodynamische und kalorische Gr¨oßen .......... 19
2.1.3 Gemische idealer Gase ............................ 24
2.1.4 Absch¨atzung von Kollisionsparametern ............. 26
2.2 Molekulare Transportprozesse m¨aßig verdu¨nnter Gase ...... 28
2.2.1 Modell zur Herleitung der Transportprozesse......... 29
2.2.2 Schubspannung und Viskosit¨at ..................... 32
2.2.3 W¨armestrom und W¨armeleitf¨ahigkeit ............... 33
2.2.4 Prandtl-Zahl..................................... 35
2.2.5 Diffusionstrom und Diffusionskoeffizient ............. 36
2.2.6 Schmidt-Zahl .................................... 37
2.3 Molekularer Transport in freier Moleku¨lstr¨omung........... 38
2.3.1 Schubspannung und Viskosit¨at ..................... 40
2.3.2 W¨armestrom und W¨armeleitf¨ahigkeit ............... 41
2.3.3 Wandrandbedingung und Akkomodationskoeffizient... 42
X Inhaltsverzeichnis
3. Verteilungsfunktion und makroskopische Gr¨oßen ........ 45
3.1 Geschwindigkeitsverteilungsfunktion ...................... 45
3.1.1 Molekulare Geschwindigkeitsverteilungsfunktion ..... 47
3.2 Makroskopische Gr¨oßen aus der Verteilungsfunktion ........ 49
3.2.1 Dichte .......................................... 50
3.2.2 Thermische und Str¨omungsgeschwindigkeit .......... 50
3.2.3 Str¨omungsgeschwindigkeit ......................... 51
3.2.4 Thermische Eigengeschwindigkeit................... 51
3.2.5 Innere oder thermische Energie..................... 52
3.2.6 Temperatur...................................... 52
3.2.7 W¨armestrom .................................... 54
3.2.8 Mittlere, thermische Geschwindigkeit c0 ............. 55
3.2.9 Druck und Spannungstensor ....................... 55
3.2.10 Momente der Verteilungsfunktion .................. 59
4. Kinetische Theorie fu¨r Gleichgewicht ..................... 61
4.1 Maxwellsche Gleichgewichtsverteilung..................... 62
4.1.1 Formulierung aus Symmetrieannahmen.............. 62
4.1.2 Darstellungen der Gleichgewichtsverteilung .......... 66
4.1.3 Mittlere molekulare Geschwindigkeiten.............. 69
4.2 Einfache Anwendungen der Maxwell-Verteilung............. 70
4.2.1 Str¨omung durch eine Blende (Effusion).............. 70
4.2.2 Gasdiffusionsverfahren ............................ 72
4.3 Momente der Gleichgewichtsverteilung .................... 74
4.4 Molekulare Stoßbeziehungen ............................ 75
4.4.1 Stoßbeziehungen elastischer Zweierst¨oße............. 76
4.4.2 Stoß- oder Wirkungsquerschnitt .................... 77
4.4.3 Kollisionsparameter............................... 80
4.5 Reaktive Str¨omungsvorg¨ange............................. 82
4.5.1 Unelastischer Zweierstoß .......................... 83
4.5.2 Stoßzahl ,,reagierender”Moleku¨le .................. 84
4.5.3 Reaktionsgeschwindigkeit.......................... 84
4.5.4 Arrhenius-Gesetz................................. 85
4.5.5 Beispielreaktion .................................. 86
5. Boltzmann-Gleichung..................................... 89
5.1 Herleitung der Boltzmann-Gleichung...................... 90
5.1.1 Bilanz am Phasenvolumen......................... 91
5.1.2 Formen der Boltzmann-Gleichung .................. 95
5.2 Grenzbereiche der Boltzmann-Gleichung................... 96
5.2.1 Grenzfall freier Moleku¨lstr¨omung Kn→∞ .......... 96
5.2.2 Grenzfall einer Gleichgewichtsstr¨omungKn→0...... 97
5.3 Boltzmann-Gleichung und Entropie ....................... 99
5.3.1 Entropie und H-Wert ............................. 100
5.3.2 H-Theorem ...................................... 101
Inhaltsverzeichnis XI
5.4 Makroskopische Gleichungssysteme der Boltzmann-Gleichung 103
5.4.1 Momente der Boltzmann-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.4.2 Maxwellsche Transportgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.4.3 Erhaltungsgleichungen eines Fluides . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.4.4 Euler-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.5 BGK-Modell der Boltzmann-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.5.1 Eigenschaften des BGK-Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.5.2 H-Theorem fu¨r das BGK-Modell . .. .. .. . . . . . . . . . . . . 113
6. Boltzmann-Gleichung fu¨r Gasgemische.................... 115
6.1 Definitionen fu¨r Gemische . . . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.2 Momentengleichungen der Spezies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.2.1 Boltzmann-Gleichung fu¨r die Spezies . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.2.2 Momentengleichungen. . . .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.2.3 Erhaltungsgleichungen einer Spezies . .. .. . . . . . . . . . . . 121
6.3 Momentengleichungen des Gemisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.3.1 Weitere Diffusionseffekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.3.2 Reibungsspannungen in Gemischen . . . . . . . . . . . . . .. .. 124
6.4 H-Theorem fu¨r Gemische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.5 Gemische im thermodynamischen Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . 126
6.5.1 Gleichgewichtsfunktionen der Spezies . .. .. .. .. . . . . . . 127
7. Str¨omungen im Nichtgleichgewicht ....................... 131
7.1 Chapman-Enskog-Entwicklung fu¨r das BGK-Modell . . . . . . . . 132
7.1.1 Formulierung der Chapman-Enskog-Entwicklung . . . . . 132
7.1.2 Hierarchien der Chapman-Enskog-Entwicklung . . . . . . . 134
7.1.3 Nichtgleichgewichtsverteilung erster Ordnung . . . . . . . . 135
7.1.4 Transportgr¨oßen aus BGK-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.1.5 Vergleich derTransportgr¨oßen mit Kontinuumsans¨atzen140
7.1.6 Navier-Stokes-Gleichungen. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.2 Chapman-Enskog-Entwicklung fu¨r die Boltzmann-Gleichung. 144
7.2.1 Linearisierung der Boltzmann-Gleichung. . . . . . . .. .. .. 144
7.2.2 Transportgr¨oßen . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.3 Struktur einer Stoßwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.3.1 Zur Definition des Stoßwellenproblemes . . . . . .. .. .. .. 150
7.3.2 L¨osung der Euler-Gleichungen fu¨r eine Stoßwelle . .. .. 151
7.3.3 L¨osung der Navier-Stokes-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . 153
7.3.4 Gaskinetische Ans¨atze fu¨r Stoßstruktur . . . . . . . . . . . . . 158
7.3.5 Momentenmethode nach Mott-Smith. . . . . . . . . . . . . . . . 159
8. Numerische Verfahren zurLo¨sung der Boltzmann-Gleichung 163
8.1 Monte-Carlo-Direktsimulationsmethode(DSMC) . . . . . . . . . . . . 163
8.2 Lattice-Gas-Methoden . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166