Table Of ContentМинистерство образования и науки Российской Федерации
РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
НЕФТИ И ГАЗА имени И.М. ГУБКИНА
Кафедра прикладной математики и компьютерного моделирования
Э.В. Калинина
И.В. Ретинская
В.С. Ретинский
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
В MICROSOFT EXCEL
Москва 2014
УДК 519.2
Рецензент:
В.Г. Домрачеев, д.т.н., проф., лауреат гос. премии СССР
Калинина Э.В., Ретинская И.В., Ретинский В.С.
Спектральный анализ временных рядов в MICROSOFT
EXCEL. – М.: Издательский центр РГУ нефти и газа имени
И.М. Губкина, 2014. – 29 с.
В пособии рассматривается один из методов построения модели вре-
менного ряда. При этом данные разлагаются на три составляющие: тренд,
периодическую компоненту и шум. Для выделения тренда используется
регрессионный анализ, а для моделирования периодической составляю-
щей – разложение в ряд Фурье. В пособии подробно рассмотрен пример
построения модели временного ряда с использованием пакета «Анализ
данных» и статистических функций Microsoft Excеl.
Авторы выражают благодарность Алене Юрьевне Бугай, выпускнице
аспирантуры кафедры, за помощь в подготовке материалов.
© Калинина Э.В., Ретинская И.В.,
Ретинский В.С., 2014
© РГУ нефти и газа имени
И.М. Губкина, 2014
2
Введение
За последние десятилетия прикладные методы и соответствую-
щие им пакеты прикладных программ, связанные с анализом и про-
гнозированием временных рядов, развивались очень быстро. Среди
них можно упомянуть, например, нейронные сети, метод авторегрес-
сии и проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС). Такое
развитие связано, с одной стороны, с потребностями общества, а с
другой, с увеличением быстродействия компьютеров. Часто такое
прогнозирование (предсказание) требуется вести в режиме реального
времени. Все методы можно условно разделить на три группы. Во-
первых, методы, где присутствует математическая модель, позво-
ляющая объяснить физическую природу временного ряда. Во-вторых,
чисто эмпирические методы, где прогнозирование ряда ведется лишь
по критерию точности предсказания без анализа его природы, и на-
конец, в-третьих, смешанные методы. Для предсказания в режиме ре-
ального времени все чаще используются методы второй группы. В
данном пособии рассматривается метод, относящийся к первой груп-
пе, который позволяет оценить наличие колебаний во временных ря-
дах и дает возможность задуматься над природой этих колебаний.
3
I. ВРЕМЕННОЙ РЯД И ЕГО СОСТАВЛЯЮЩИЕ
Как известно [1, 4], временным рядом называют последователь-
ность наблюдений, упорядоченных по времени и отстоящих друг от
друга на равные промежутки времени. С точки зрения математиче-
ской теории, временной ряд является реализацией случайного про-
цесса − неслучайной функцией аргумента t (времени) – и представля-
ет собой результат экспериментов (опытов).
Основной чертой, выделяющей анализ временных рядов среди
других видов статистического анализа, является существенность по-
рядка, в котором производятся наблюдения. Если во многих задачах
наблюдения статистически независимы, то во временных рядах они,
как правило, зависимы, и характер этой зависимости может опреде-
ляться положением наблюдений в последовательности [1, 4].
Почти в каждой области встречаются явления, которые интересно
и важно изучать в их развитии и изменении во времени.
Цели изучения временных рядов достаточно разнообразны. Мож-
но использовать ряд для предсказания будущего поведения на осно-
вании знания прошлого, управлять процессом, порождающим ряд,
выяснять механизм, порождающий ряд, или просто описать харак-
терные особенности ряда.
Типичные временные ряды содержат несколько составляющих [1,
4]:
• тренд или систематическое движение;
• эффект сезонности (периодическая составляющая);
• «случайная» или «нерегулярная» компонента.
Для описания временных рядов используются математические
модели, в которые включают как одну из составляющих, так и сумму
нескольких из них.
Тренд представляет собой общую систематическую линейную или
нелинейную компоненту, которая изменяется во времени и характе-
4
ризует долговременные изменения наблюдений «в среднем». Сезон-
ная составляющая – это более или менее регулярные периодические
колебания в измеряемой последовательности. Случайная составляю-
щая (с математическим ожиданием равным нулю и подчиняющаяся
некоторому закону распределения) может включать в себя и ошибки
наблюдения [1, 4].
Наиболее легкой для обнаружения, выделения и изучения являет-
ся сезонная составляющая, а метод ее выделения называют спек-
тральным анализом.
5
II. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУРЬЕ
Одна из целей спектрального анализа − распознавание периодиче-
ских колебаний различной длины. Для этого временной ряд раскла-
дывают по периодическим функциям − набору синусов и косинусов с
различными частотами, а затем определяют наиболее существенные и
значимые из них [1, 3, 4].
Временной ряд рассматривается как сумма многих периодических
компонент.
Пусть имеются значения некоторого наблюдаемого признака или
характеристики x(t), заданные в дискретные моменты времени t = i·Δ,
i i
где Δ − интервал между отдельными наблюдениями, а целое число i
меняется от 1 до N.
Предположим, что общее число наблюдений является четным, т.е.
N = 2·n [1, 3, 4].
Значение временного ряда в момент времени t аппроксимируется
i
моделью:
n n
x(t ) = x + ∑ α cos(2πf t )+ ∑β sin(2πf t )+ e , (1)
i k k i k k i t
k=1 k=1
где k – гармоника ряда k =1, n; f = k / (NΔ) − частота k-й гармоники
k
ряда; e – ошибка наблюдения ({e ,} − последовательность независи-
t t
мых, нормально распределенных случайных величин с нулевым сред-
2
ним значением и одинаковой дисперсией σ ); {x, α , β , k =1, n} −
e k k
неизвестные параметры, оценки или числовые значения которых на-
ходятся по данным измерений x(t) с помощью метода наименьших
i
квадратов.
В случае нечетного значения N последнее наблюдение обычно от-
брасывают.
Оценки для коэффициентов x, α , β , полученные по методу наи-
k k
меньших квадратов, имеют вид:
6
1 N
x = ∑ x(t ),
i
N
i=1
2 N
α = ∑ x(t )cos(2πf t ),
k i k i
N
i=1
2 N
β = ∑ x(t )sin(2πf t ), (2)
k i k i
N
i=1
k =1, n,
где x(t ) − значение наблюдаемой характеристики в момент t
.
i i
В ряде случаев модель (1) удобнее представить, выделив в явном
виде амплитуды и фазы гармоник:
n
x(t) = x + ∑ R cos(2πf t −ϕ )+ e , (3)
k k k t
k=1
где
2 2
R = α +β ,
k k k
⎛ β ⎞
ϕ = arctg k , (4)
⎜ ⎟
k
⎝ α ⎠
k
1 NΔ
f = , T = .
k k
T k
k
Величины R , ϕ , T , f являются, соответственно, амплитудой, фа-
k k k k
зой, периодом и частотой колебания гармоники с номером k.
Для оценки периодической составляющей в модели (1) использу-
ется также периодограмма.
Оценка дисперсии величины x(t), являющаяся мерой интенсивно-
i
сти флуктуации величин x(t) относительно среднего значения всех
i
измерений x , может быть представлена в форме разложения на со-
ставляющие по отдельным частотам
7
1 N 1 n−1
2 2 2 2 2
S = ∑ (x(t )− x) = ∑ (α +β )+α (5)
i k k n
N i=1 2 k=1
или
1
S2 = ∑R2 , k =1, n,
k
2
k
где N = 2·n, т.е. общее число наблюдений – четная величина. При не-
четном N = 2·n−1 слагаемое α в выражении (5) исчезает.
n
Разложение в формуле (5) можно представить в виде графика
зависимости средней интенсивности флуктуаций гармоники R2 =
k
= I( f )=α2 +β2 от частоты f . Такой график называется линейчатым
k k k k
спектром Фурье или периодограммой [1, 4].
Использование периодограммы позволяет выявить наиболее зна-
чительные или доминирующие периодические колебания в динамике
временного ряда.
После нахождения R , ϕ , T , f (соответственно, амплитуды, фазы,
k k k k
периода и частоты колебания гармоники с номером k) необходимо
проверить статистическую значимость данных величин с помощью
критерия Фишера либо с помощью анализа вкладов в дисперсию до-
минирующих гармоник.
Сравнивая дисперсии периодической компоненты и случайной со-
ставляющей временного ряда, можно установить, насколько значимо
их различие, что является количественным критерием выделения
гармонической компоненты, скрытой шумом. В частности, пороговые
значения интенсивности флуктуации можно определить при помощи
критерия Фишера
I( f )/ ν
k 1 > F(α,ν ,ν ), (6)
2 1 2
S / ν
2
где I( f )=α2 +β2 − значение периодограммы (квадрата амплитуды)
k k k
для частоты f , F (α, ν , ν ) – критическая точка распределения Фише-
k 1 2
8
ра, (она находится по статистическим таблицам для F-распределения
при заданных значениях уровня значимости α), ν – число степеней
1
свободы, приходящихся на гармонику ряда Фурье, ν = N−1 – число
2
степеней свободы всего ряда, α – выбранный уровень значимости
критерия.
Из соотношения (5) следует, что при четном числе наблюдений
имеются n-1 пар степеней свободы, которые связаны с парами коэф-
фициентов (α , β ), для них ν = 2; еще одна степень свободы ν = 1
k k 1 1
связана с коэффициентом α .
n
Таким образом, из неравенства (6) можно установить пороговые
значения интенсивности флуктуации, в частности, для порогового
значения амплитуды R получаем:
кр
2
σ
R = F(α,ν ,ν )⋅ ⋅2⋅ν . (7)
кр 1 2 1
ν
2
По критерию Фишера определяются только те доминирующие
гармоники ряда, которые статистически значимо превосходят флук-
туации, обусловленные шумом.
Более удобно при определении значимости флуктуации использо-
вать безразмерные величины вкладов доминирующих гармоник в
дисперсию ряда, которые вычисляются по формуле:
2 2 2
R α +β
ρ2 = k ⋅100%= k k ⋅100% (8)
k 2 n−1
2S 2 2
∑ (α +β )
k k
k
где ρ2 − вклад доминирующих гармоник в дисперсию ряда в процен-
k
тах.
Основными гармониками принято считать те, у которых
n
2
∑ ρ ≥80%.
k
k=1
Анализ Фурье позволяет выделять доминирующие гармоники с
9
периодом T , которые вносят основной вклад в дисперсию процесса.
k
В связи с этим можно переписать модель (3) в виде:
m
x(t )= x+ ∑ R cos(2πf t −ϕ ), (9)
i k k i k
k=1
где m – число доминирующих гармоник.
На практике при анализе периодических процессов ϕ фазы часто
k
не принимают во внимание, в этом случае модель (9) может пред-
ставляться в следующем виде:
m m
x(t ) = x + ∑ α cos(2πf t )+ ∑β sin(2πf t ). (10)
i k k i k k i
k=1 k=1
Таким образом, использование критерия Фишера и анализа вкла-
дов в дисперсию доминирующих гармоник позволяет упростить мо-
дель за счет использования ограниченного числа гармоник.
10
