METODI ITERATIVI PER I SIST

49 Pages·2012·0.86 MB·Italian

Normeedistanze
Autovaloriedautovettori
Matriciconvergenti
Metodiiterativi
Corso diLaurea in Ingegneria Informatica
Corso di Analisi Numerica
8 - METODI ITERATIVIPER I SISTEMI LINEARI
Lucio Demeio
Dipartimento di Scienze Matematiche
LucioDemeio DipartimentodiScienzeMatematiche AnalisiNumerica: MetodiIterativi
Normeedistanze
Autovaloriedautovettori
Matriciconvergenti
Metodiiterativi
1 Norme e distanze
2 Autovalori ed autovettori
3 Matrici convergenti
4 Metodi iterativi
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Norme e distanze
Norme
Una norma in Rn `e una funzione . :Rn R tale che
|||| →
x 0 x Rn;
|| ||≥ ∀ ∈
x =0 x=0;
|| || ⇐⇒
αx = α x ;
|| || | ||| ||
x+y x + y ;
|| ||≤|| || || ||
Considereremo due norme notevoli in Rn:
La norma l (o norma euclidea): se x=(x ,x ,...,x )T
2 1 2 n
x = n x2;
|| ||2 i=1 i
La norma l (norma infinito): x =max x
pP∞ || ||∞ 1≤i≤n| i|
La norma l rappresenta la (ben nota) distanza euclidea dall’origine. In R2,
2
il luogo dei punti(vettori) per i quali x R`eun cerchio diraggio R,
2
|| || ≤
mentre il luogo deipuntiper i quali x R`e un quadratodi lato R.
∞
|| || ≤
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Norme e distanze
Esempio con le norme
Sia x=( 1, 2,0). Allora: x =√5 e x =2.
2 ∞
− − || || || ||
Verifiche
E` facile verificare che le norme l ed l soddisfano le propriet`a elencate
2 ∞
all’inizio. Per esempio,
x+y ∞ =max1≤i≤nxi+yi max1≤i≤n(xi + yi)
|| || | |≤ | | | |
max1≤i≤nxi +max1≤i≤nyi = x ∞+ y ∞
≤ | | | | || || || ||
||x+y||22 = X(xi+yi)2 = X(x2i +yi2+2xiyi)
i=1,n i=1,n
x 2+ y 2+2 x y
≤|| ||2 || ||2 || ||2|| ||2
e quindi x+y x + y
2 2 2
|| || ≤|| || || ||
Nel penultimo passaggio `estata applicata la disuguaglianza di
Cauchy-Schwarz: xTy x y .
≤|| |||| ||
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Norme e distanze
Distanza
Dati due vettori x,y R2, si definisce distanza tra x e y la norma
∈
del vettore differenza,
d(x,y)= x y
|| − ||
Ovviamente, ogni norma porta con s´e una distanza.
Limiti e convergenza
Si dice che una successione di vettori x(k) ∞ Rn converge ad un
vettore x Rn rispetto ad una data n{orma}k=.1s∈e, per ogni ε>0,
∈ ||||
esiste un intero N(ε) tale che x(k) x <ε per ogni k N(ε).
|| − || ≥
Theorem
La successione x(k) Rn converge ad x Rn rispetto alla norma
{ }∈ ∈
l se e solo se lim x(k) =x per ogni i=1,2,..,n.
∞ k→∞ i i
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Norme e distanze
Dimostrazione
Supponiamo che x(k) x rispetto a . . Allora, dato ε>0, esiste
∞
{ }→ ||||
N(ε) t.c., per ogni k≥N(ε), ||x(k)−x||∞ =max1≤i≤n|x(ik)−xi|<ε.
Questo implica che|x(ik)−xi|<ε perogni i=1,2,...,n, e quindila tesi.
Viceversa, sia limk→∞x(ik) =xi per ogni i=1,2,..,nAllora, datoε>0,
esistono Ni(ε) t.c. |x(ik)−xi|<ε per k>Ni(ε). Sia
N(ε)=max1≤i≤nNi(ε). Sek>N(ε) allora
msuaccxe1s≤sii≤onne|x(ixk)(k−) xai|d=x.||x(k)−x||∞ <ε, cheimplica la convergenza della
{ }
Norme equivalenti(senza dimostrazione)
Tuttele normein Rn sono equivalenti rispetto alle propriet`a di
convergenza: se unasuccessione x(k) x rispetto a . , allora converge
rispetto a qualunquealtra norma{ . ′}. P→er le norme vis||te||qui,vale la
||||
relazione . . √n . .
∞ 2 ∞
|||| ≤|||| ≤ ||||
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Norme e distanze
Convergenza: esempio
Sia
T
1 3
x(k) = 1,2+ , ,e−k sink
{ } k k2
(cid:18) (cid:19)
Abbiamo
1
lim 2+ =2
k→∞ k
3
lim =0
k→∞k2
lim e−k sink =0
k→∞
e quindi x(k) (1,2,0,0)T.
{ }→
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Norme e distanze
Norme delle matrici
Sia M lo spazio vettoriale delle matrici reali n n. Una norma su
n
M `e una funzione . :M R tale che ×
n n
|||| →
A 0 A M ;
n
|| ||≥ ∀ ∈
A =0 A=0;
|| || ⇐⇒
αA = α A ;
|| || | ||| ||
A+B A + B ;
|| ||≤|| || || ||
AB A B ;
|| ||≤|| |||| ||
Distanza
Si definisce distanza tra due matrici A e B la norma della differenza
A B:
−
d(A,B)= A B
|| − ||
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Norme e distanze
Norme delle matrici (teorema)
Se . `e unanorma sui vettori in Rn, allora
||||
Az
||A||=max||x||=1||Ax||=max||z||=6 0|| z ||
|| ||
`e unanorma su Mn, chevienedetta norma naturale o indotta. Da qui
in poi, salvo eccezioni, useremo sempre questa norma matriciale. L’ultima
uguaglianza segue dal fatto che, se z ha norma non nulla, allora z/ z ha
|| ||
norma unitaria.
Corollario
Dal teorema precedente,segue che,per ogni z=0, per ogni A Mn e per
6 ∈
ogni norma naturale su Mn abbiamo che
Az A z .
|| ||≤|| |||| ||
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Norme e distanze
Norme delle matrici
Le norme naturali che considereremo sono quelle indotte dalle norme
gi`a viste per i vettori:
||A||∞ =max||x||∞=1||Ax||∞
||A||2 =max||x||2=1||Ax||2,
dette rispettivamente norma l e norma l .
∞ 2
Theorem (Norma infinito)
Sia A= a una matrice n n. Si ha allora
ij
{ } ×
n
A =max a
∞ 1≤i≤n ij
|| || | |
j=1
X
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