Table Of ContentSpecificationDevelopment
Mechanical Vibration and Shock Analysis
Third edition – Volume 5
Specification
Development
Christian Lalanne
Firsteditionpublished2002byHermesPentonLtd©HermesPentonLtd2002
Secondeditionpublished2009inGreatBritainandtheUnitedStatesbyISTELtdandJohnWiley&
Sons,Inc.©ISTELtd2009
Thirdeditionpublished2014inGreatBritainandtheUnitedStatesbyISTELtdandJohnWiley&Sons,
Inc.
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LibraryofCongressControlNumber: 2014931645
BritishLibraryCataloguing-in-PublicationData
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ISBN978-1-84821-643-3(Setof5volumes)
ISBN978-1-84821-648-8(Volume5)
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Table of Contents
ForewordtoSeries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
ListofSymbols. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxi
Chapter1.ExtremeResponseSpectrumofaSinusoidalVibration . . . . . 1
1.1.Theeffectsofvibration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.Extremeresponsespectrumofasinusoidalvibration . . . . . . . . . . . 2
1.2.1.Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2.Caseofasinglesinusoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.3.Generalcase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.4.Caseofaperiodicsignal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.5.Caseofnharmonicsinusoids. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.6.Influenceofthedephasingbetweenthesinusoids. . . . . . . . . . . 11
1.3.Extremeresponsespectrumofasweptsinevibration. . . . . . . . . . . 13
1.3.1.Sinusoidofconstantamplitudethroughoutthesweeping
process. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2.Sweptsinecomposedofseveralconstantlevels. . . . . . . . . . . . 17
Chapter2.ExtremeResponseSpectrumofaRandomVibration . . . . . . 21
2.1.Unspecifiedvibratorysignal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.Gaussianstationaryrandomsignal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.1.Calculationfrompeakdistribution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2.Useofthelargestpeakdistributionlaw. . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.3.Responsespectrumdefinedbyktimesthermsresponse . . . . . . 34
2.2.4.OtherERScalculationmethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.LimitoftheERSatthehighfrequencies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4.Responsespectrumwithup-crossingrisk . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
vi SpecificationDevelopment
2.4.1.Completeexpression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4.2.Approximaterelation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.3.ApproximaterelationURS–PSD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4.4.Calculationinahypothesisofindependenceofthreshold
overshoot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4.5.UseofURS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.5.Comparisonofthevariousformulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.6.Effectsofpeaktruncationontheaccelerationtimehistory. . . . . . . . 66
2.6.1.Extremeresponsespectracalculatedfromthetimehistorysignal . 66
2.6.2.Extremeresponsespectracalculatedfromthepower
spectraldensities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.6.3.Comparisonofextremeresponsespectracalculatedfromtime
historysignalsandpowerspectraldensities . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.7.Sinusoidalvibrationsuperimposedonabroadbandrandom
vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.7.1.Realenvironment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.7.2.Caseofasinglesinusoidsuperimposedtoawidebandnoise . . . . 70
2.7.3.Caseofseveralsinusoidallinessuperimposedonabroadband
randomvibration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.8.Sweptsinesuperimposedonabroadbandrandomvibration. . . . . . . 83
2.8.1.Realenvironment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.8.2.Caseofasinglesweptsinesuperimposedtoawidebandnoise. . . 84
2.8.3.Caseofseveralsweptsinessuperimposedonabroadband
randomvibration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.9.Sweptnarrowbandsonawidebandrandomvibration. . . . . . . . . . . 85
2.9.1.Realenvironment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.9.2.Extremeresponsespectrum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Chapter3.FatigueDamageSpectrum ofaSinusoidalVibration . . . . . . 89
3.1.Fatiguedamagespectrumdefinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.2.Fatiguedamagespectrumofasinglesinusoid . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.3.Fatiguedamagespectrumofaperiodicsignal . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.4.Generalexpressionforthedamage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.5.FatiguedamagewithotherassumptionsontheS–Ncurve. . . . . . . . 98
3.5.1.Takingaccountoffatiguelimit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.5.2.CaseswheretheS–Ncurveisapproximatedbyastraightline
inlog–linscales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.5.3.ComparisonofthedamagewhentheS–Ncurvesarelinearin
eitherlog–logorlog–linscales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.6.Fatiguedamagegeneratedbyasweptsinevibrationona
single-degree-of-freedomlinearsystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.6.1.Generalcase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
TableofContents vii
3.6.2.Linearsweep. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.6.3.Logarithmicsweep. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.6.4.Hyperbolicsweep. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.6.5.Generalexpressionsforfatiguedamage . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.7.Reductionoftesttime. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.7.1.Fatiguedamageequivalenceinthecaseofalinearsystem . . . . . 121
3.7.2.Methodbasedonfatiguedamageequivalenceaccording
toBasquin’srelationship . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.8.NotesonthedesignassumptionsoftheERSandFDS . . . . . . . . . . 124
Chapter4.FatigueDamageSpectrumofaRandomVibration. . . . . . . . 125
4.1.Fatiguedamagespectrumfromthesignalasfunctionoftime. . . . . . 125
4.2.Fatiguedamagespectrumderivedfromapowerspectraldensity. . . . 127
4.3.SimplifiedhypothesisofRayleigh’slaw. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.4.CalculationofthefatiguedamagespectrumwithDirlik’s
probabilitydensity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.5.Up-crossingriskfatiguedamagespectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.6.Reductionoftesttime. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.6.1.Fatiguedamageequivalenceinthecaseofalinearsystem . . . . . 144
4.6.2.Methodbasedonafatiguedamageequivalenceaccordingto
Basquin’srelationshiptakingaccountofvariationofnaturaldamping
asafunctionofstresslevel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.7.Truncationofthepeaksofthe“input”accelerationsignal . . . . . . . . 149
4.7.1.Fatiguedamagespectracalculatedfromasignalasafunction
oftime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.7.2.Fatiguedamagespectracalculatedfrompowerspectral
densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.7.3.Comparisonoffatiguedamagespectracalculatedfromsignals
asafunctionoftimeandpowerspectraldensities . . . . . . . . . . . . . . 151
4.8.Sinusoidalvibrationsuperimposedonabroadbandrandom
vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.8.1.Caseofasinglesinusoidalvibrationsuperimposedonbroadband
randomvibration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.8.2.Caseofseveralsinusoidalvibrationssuperimposedona
broadbandrandomvibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.9.Sweptsinesuperimposedonabroadbandrandomvibration. . . . . . . 161
4.9.1.Caseofonesweptsinesuperimposedonabroadbandrandom
vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.9.2.Caseofseveralsweptsinessuperimposedonabroadband
randomvibration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.10.Sweptnarrowbandsonabroadbandrandomvibration. . . . . . . . . . 162
viii SpecificationDevelopment
Chapter5.FatigueDamageSpectrumofaShock . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.1.Generalrelationshipoffatiguedamage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.2.Useofshockresponsespectrumintheimpulsezone . . . . . . . . . . . 167
5.3.Damagecreatedbysimpleshocksinstaticzoneoftheresponse
spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Chapter6.InfluenceofCalculationConditionsofERSsandFDSs . . . . . 171
6.1.VariationoftheERSwithamplitudeandvibrationduration. . . . . . . 171
6.2.VariationoftheFDSwithamplitudeanddurationofvibration . . . . . 175
6.3.ShouldERSsandFDSsbedrawnwithalinearorlogarithmic
frequencystep? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.4.WithhowmanypointsmustERSsandFDSsbecalculated?. . . . . . . 177
6.5.DifferencebetweenERSsandFDSscalculatedfromavibratory
signalaccordingtotimeandfromitsPSD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.6.InfluenceofthenumberofPSDcalculationpointsonERS
andFDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.7.InfluenceofthePSDstatisticalerroronERSandFDS. . . . . . . . . . 192
6.8.InfluenceofthesamplingfrequencyduringERSandFDS
calculationfromasignalbasedontime. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.9.Influenceofthepeakcountingmethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.10.Influenceofanon-zeromeanstressonFDS . . . . . . . . . . . . . . . 206
Chapter7.TestsandStandards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.1.Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.1.1.Standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.1.2.Specification. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.2.Typesoftests. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.2.1.Characterizationtest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.2.2.Identificationtest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.2.3.Evaluationtest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.2.4.Finaladjustment/developmenttest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
7.2.5.Prototypetest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
7.2.6.Pre-qualification(orevaluation)test. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
7.2.7.Qualification. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
7.2.8.Qualificationtest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
7.2.9.Certification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.2.10.Certificationtest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.2.11.Stressscreeningtest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.2.12.Acceptanceorreception . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.2.13.Receptiontest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.2.14.Qualification/acceptancetest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
TableofContents ix
7.2.15.Seriestest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
7.2.16.Samplingtest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
7.2.17.Reliabilitytest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
7.3.Whatcanbeexpectedfromatestspecification?. . . . . . . . . . . . . . 223
7.4.Specificationtypes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
7.4.1.Specificationrequiringinsitutesting . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
7.4.2.Specificationsderivedfromstandards. . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
7.4.3.Currenttrend. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
7.4.4.Specificationsbasedonrealenvironmentdata. . . . . . . . . . . . . 232
7.5.Standardsspecifyingtesttailoring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
7.5.1.TheMIL–STD810standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
7.5.2.TheGAMEG13standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
7.5.3.STANAG4370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
7.5.4.TheAFNORX50–410standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Chapter8.UncertaintyFactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
8.1.Need–definitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
8.2.Sourcesofuncertainty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
8.3.Statisticalaspectoftherealenvironmentandofmaterialstrength . . . 249
8.3.1.Realenvironment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
8.3.2.Materialstrength . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
8.4.Statisticaluncertaintyfactor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
8.4.1.Definitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
8.4.2.Calculationofuncertaintyfactor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
8.4.3.Calculationofanuncertaintyfactorwhenthereal
environmentisonlycharacterizedbyasinglevalue . . . . . . . . . . . . . 292
Chapter9.AgingFactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
9.1.Purposeoftheagingfactor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
9.2.Agingfunctionsusedinreliability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
9.3.Methodforcalculatingtheagingfactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
9.4.Influenceoftheaginglaw’sstandarddeviation . . . . . . . . . . . . . . 299
9.5.Influenceoftheaginglawmean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
Chapter10.TestFactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
10.1.Philosophy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
10.2.Normaldistributions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
10.2.1.Calculationoftestfactorfromtheestimationofthe
confidenceintervalofthemean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
10.2.2.Calculationoftestfactorfromtheestimationofthe
probabilitydensityofthemeanstrengthwithasampleofsizen. . . . . . 310
x SpecificationDevelopment
10.3.Log–normaldistributions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
10.3.1.Calculationoftestfactorfromtheestimationofthe
confidenceintervaloftheaverage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
10.3.2.Calculationoftestfactorfromtheestimationofthe
probabilitydensityofthemeanofthestrengthwithasampleof
sizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
10.4.Weibulldistributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
10.5.Choiceofconfidencelevel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
Chapter11.SpecificationDevelopment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
11.1.Testtailoring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
11.2.Step1:analysisofthelife-cycleprofile.Reviewofthe
situations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
11.3.Step2:determinationoftherealenvironmentaldataassociated
witheachsituation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
11.4.Step3:determinationoftheenvironmenttobesimulated . . . . . . . 325
11.4.1.Need. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
11.4.2.Synthesismethods. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
11.4.3.Theneedforareliablemethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
11.4.4.SynthesismethodusingPSDenvelope . . . . . . . . . . . . . . . . 328
11.4.5.Equivalencemethodofextremeresponseandfatigue
damage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
11.4.6.Synthesisoftherealenvironmentassociatedwithanevent
(orsub-situation). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
11.4.7.Synthesisofasituation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
11.4.8.Synthesisofalllifeprofilesituations . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
11.4.9.Searchforarandomvibrationofequalseverity . . . . . . . . . . . 342
11.4.10.Validationofdurationreduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
11.5.Step4:establishmentofthetestprogram . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
11.5.1.Applicationofatestfactor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
11.5.2.Choiceofthetestchronology. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
11.6.Applyingthismethodtotheexampleofthe“roundrobin”
comparativestudy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
11.7.Takingenvironmentintoaccountinprojectmanagement. . . . . . . . 366
Chapter12.InfluenceofCalculationConditionsofSpecification . . . . . . 375
12.1.Choiceofthenumberofpointsinthespecification(PSD) . . . . . . . 375
12.2.InfluenceoftheQfactoronspecification(outsideoftime
reduction) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
12.3.InfluenceoftheQfactoronspecificationwhenduration
isreduced. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
