Mathematik für Chemiker: Methoden, Beispiele, Anwendungen und Aufgaben

536 Pages·2004·0.67 MB·German

by  Prof. Dr. rer. nat. Ernst-Albrecht Reinsch (auth.)

Ernst-Albrecht Reinsch
Mathematik fur Chemiker
Ernst Albrecht Reinsch
Mathematik fur
Chemiker
Methoden, Beispiele,
Anwendungen und Aufgaben
Teubner
B. G. Teubner Stuttgart· Leipzig· Wiesbaden
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Prof. Dr. rer. nat. Ernst-Albrecht Reinsch
Ernst-Albrecht Reinsch - Jahrgang 1931 - wurde im Herbst 1961 an der Universitat MOnchen im Fach
gebiet "Organische Chemie" promoviert. Er widmete sich im AnschluB daran bei Professor Hartmann
dem Studium der Theoretischen Chemie. Er habilitierte sich in Frankfurt fUr das Fachgebiet
"Physikalische Chemie" und war am dortigen Fachbereich in der Zeit von 1979 bis 2001 fUr die
Mathematik-Ausbildung der Chemiestudenten verantwortlich. Aus dieser Zeit stammen seine Erfah
rungen in der Lehre, die dem vorstehenden Werk zugrunde liegen.
1. Auflage Januar 2004
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ISBN-13:978-3-519-00443-1 e-ISBN-13:978-3-322-80060-2
DOl: 10.1007/978-3-322-80060-2
Vorwort
"Mathematik fiir Chemiker" ist - didaktisch gesehen - in der Regel ein heikles Unterfan
gen. Mathematik ist, anders als Chemie, eine auf Abstraktionen beruhende Disziplin, die
ihre eigene Begabung und Zuneigung braucht, urn sich richtig auf sie einzulassen. Nun hat
aber der Chemiker seine eigenen Interessen und auch ganz andere Begabungen als sie die
Mathematik benotigt. Entsprechend unbeliebt ist eine einfuhrende Mathematik-Vorlesung.
Nun ist es leider so, daB eine chemische Ausbildung ohne Mathematik nicht auskommt. 1m
wesentlichen ist es die Physikalische Chemie, die mehr hOhere Mathematik verlangt als in
der Schule vermittelt werden kann, und die deshalb ebenfalls in der Beliebtheitsskala des
Chemiestudenten nicht gerade ganz oben steht. Nichtsdestotrotz bildet sie die theoretische
Grundlage fur die gesamte Chemie, und sie mehr oder weniger zu umgehen fiihrt zu einer
bedenklichen Verengung des Wissens. Es besteht also die Notwendigkeit, dem Chemiker ein
gewisses Grundwissen an Mathematik beizubringen, obwohl Mathematik eigentlich mehr
verlangt als eine beilaufige Beschaftigung mit ihr. Andererseits muB sich der Studienaufwand
fiir ein Nebenfach in Grenzen halten. Es ist schwierig, das richtige MaB zwischen diesen
gegensatzlichen Polen zu finden. Mathematiker werden alles ablehnen, was nicht ganz sauber
deduziert worden ist und Chemiker finden das Wenige, was ihnen zugemutet werden muB,
oft noch "viel zu schwer" oder uberflussig.
Ich weiB nicht, ob mir mit dem vorliegenden Werk ein Zwischenweg zwischen Vermittlung
mathematischer Grundlagen und der Anwendung mathematischer Methoden in der Chemie
(oder Physik) gelungen ist, - trotz meiner langjahrigen Erfahrung in der Lehre dieses Ge
bietes. Ich habe mich jedenfalls bemuht, so viel wie moglich zu begrunden, und da, wo eine
vollstandige Begrundung zu weit fuhren wurde, dies auch ehrlich gesagt. Dennoch wird der
Mathematiker zahllose Unzulanglichkeiten aufspuren konnen, die nicht dadurch entstanden
sind, daB das Buch sonst zu umfangreich geraten ware (man kann auch schwierige Dinge
kurz ausdrucken!). Ursache ist vielmehr, daB eine bestimmte Art von Abstraktionsvermogen
nicht vorausgesetzt wurde, weil es bei Chemikern eher selten anzutreffen ist.
Meine Richtlinie fiir die Stoffauswahl war zunachst durch das, was an Mathematik in den
Vorlesungen uber Physikalische Chemie benotigt wird, vorgegeben: also fur Thermodyna
mik, chemische Kinetik, Statistik, Spektroskopie und die Anfangsgrunde der Theorie der
chemischen Bindung. Daruber hinaus war es mein Bestreben, auch dem Leser, der mehr als
dieses Minimum an Mathematik benotigt, wenigstens eine gute Grundlage fur Themen zu
bieten, die als Erweiterungen in Frage kommen. Dies durfte insbesondere fiir diejenigen, die
sich mit der Theoretischen Chemie etwas naher befassen mochten, von Nutzen sein, und der
eventuelle Einstieg in weiterfiihrende Literatur dann leichter fallen. Diejenigen Leser, die auf
ein Fachgebiet abzielen, in dem sie voraussichtlich wenig Mathematik benotigen, brauchen
6 Vorwort
sich also nicht durch den gesamten, hier behandelten Stoff zu arbeiten. In der Einleitung
habe ich Hinweise gegeben, welche Abschnitte ffir diese Gruppe entbehrlich sind. Ffir sie
verbleiben dann etwas fiber 300 Seiten Stoff.
Alles in allem hoffe ich, Ihnen ein Buch an die Hand zu geben, welches seinen Zielen gerecht
wird, - das heiBt eben, Ihnen das notwendige mathematische Rfistzeug ffir ein erfolgreiches
Chemie-Studium zu vermitteln, und das in einer Form, die fUr den Nicht-Mathematiker
noch verdaulich ist. Vielleicht finden Sie dann auch ein wenig Gefallen an der Mathematik.
Mein Dank gilt an erster Stelle Berrn Prof. B. Brutschy yom Institut fUr Physikalische
und Theoretische Chemie, der mir durch die groBzfigige Uberlassung von Arbeitsraum im
Institut und Moglichkeiten zur Datenverarbeitung die Abfassung zumindest sehr erleichtert
hat. Darfiber hinaus mochte ich K.-H. Gericke danken, der mir nfitzliche Hinweise zur
Verstandlichkeit der Darstellung geben konnte. Besonderen Dank aber schulde ich meiner
Frau, die die mfihevolle Arbeit des Korrekturlesens auf sich genommen hat.
Frankfurt, Januar 2004
Ernst-Albrecht Reinsch
Inhalt
1 Zahlen 15
1.1 Grundbegriffe der Mengenlehre . 15
1.1.1 Elemente, Mengen und Teilmengen . 15
1.1.2 Mengen-Operationen . 16
1.1.3 Abbildungen 17
1.2 Reelle Zahlen . . . 18
1.2.1 Ganze Zahlen . . . 19
1.2.2 Rationale Zahlen . 20
1.2.3 Irrationale Zahlen 23
1.3 Komplexe Zahlen . 25
1.3.1 Die Gaufische Zahlenebene 25
1.3.2 Addition und Subtraktion . 27
1.3.3 Multiplikation mit einer reellen Zahl 28
1.3.4 Darstellung von z in Polarkoordinaten . 29
1.3.5 Multiplikation ..... 31
1.3.6 Darstellung durch eicp 32
1.3.7 Potenzen und Division. 33
1.3.8 Wurzeln ........ . 34
1.4 Polynome und ihre Nullstellen 35
1.4.1 Polynome ......... . 36
1.4.2 Nullstellen von Polynomen 37
1.4.3 Partialbruchzerlegung 40
1.5 Kombinatorik. . . . . . . . 43
1.5.1 Permutationen . . . . . . . 43
1.5.2 Kombinationen und Binomischer Lehrsatz . 45
2 Vektorrecbnung 50
2.1 Vektoren .... 50
2.1.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.1.2 Summe und Differenz zweier Vektoren . 54
2.1.3 Multiplikation mit einer Zahl und Zerlegung 55
2.1.4 n-dimensionaler Vektorraum und komplexe Vektoren . 58
2.2 Produkte von Vektoren ................ . 59
8 Inhalt
2.2.1 Skalarprodukt . 59
2.2.2 AxiaIe Vektoren 64
2.2.3 Vektorprodukt . 65
2.2.4 Mehrfach-Produkte 68
2.3 Lineare Abhangigkeit und Basistransformation 70
2.3.1 Lineare Abhangigkeit von Vektoren 70
2.3.2 Darstellung bei beliebiger Basis. 73
2.4 Matrizen ...... . 78
2.4.1 Allgemeines . . . . . . 78
2.4.2 Lineare Abbildungen . 83
2.5 Determinanten . . . . 89
2.5.1 Definition einer Determinante . 89
2.5.2 Der Laplacesche Entwicklungssatz 91
2.5.3 Rechenregeln . . . . . . . . 93
2.5.4 Rang einer Matrix . . . . . . . 95
2.6 Lineare Gleichungssysteme . . 97
2.6.1 Homogene Gleichungssysteme . 98
2.6.2 Inhomogene Gleichungssysteme . 102
2.7 Eigenwertprobleme. . . . . . . . 109
2.7.1 EinfUhrung .. .. .. .. .. .. 109
2.7.2 Satze fUr Eigenwerte und Eigenvektoren . 110
2.7.3 DiagonaIisierung von hermiteschen Matrizen 112
2.7.4 Entartung von Eigenwerten . . . . . . 113
2.7.5 Beispiele ............... . 114
2.8 Tensoren und eine SchluBbemerkung . 116
2.8.1 Einfiihrung in das Tensor-Konzept . . 116
2.8.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.8.3 Der Vektorraum aus der Sicht der Physiker und der der Mathematiker . 118
3 Analytische Geometrie 120
3.1 Die anaIytische Darstellung geometrischer Gebilde 120
3.1.1 Kurven ....................... . 120
3.1.2 Flachen ....................... . 126
3.2 Abbildungen von Punktmengen, Koordinatentransformationen 130
3.2.1 Translationen. . . . . . . . . . 130
3.2.2 Streckungen und Stauchungen 133
3.2.3 Rotationen . . . . . . . . . . . 135
3.2.4 Nichtlineare Transformationen 138
4 Funktionen, Folgen und Reihen 142
4.1 Allgemeines iiber Funktionen 142
4.1.1 Funktionen aIs Abbildungen .. 142
Inhalt 9
4.1.2 Definitionsbereich...... 143
4.1.3 Festlegung einer Funktion . . 144
4.1.4 Darstellung von Funktionen . 145
4.1.5 Stetigkeit........... 149
4.2 Einige wichtige Funktionen mit einer oder zwei Veranderlichen 154
4.2.1 Begriffe zur Charakterisierung von Funktionen mit einer Veranderlichen 154
4.2.2 Diskussion einiger spezieller Funktionen 155
4.2.3 Umkehrung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.2.4 Beispiele fiir Umkehrfunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.2.5 Quadratische Formen als Beispiele fiir Funktionen mit zwei Veranderlichen 166
4.3 Grenzwerte . . . . . . . . . . 167
4.3.1 Grenzwerte von Funktionen . 167
4.3.2 Folgen . . . . . . . . . . . . . 173
4.3.3 Reihen............ 177
4.3.4 Definition von Funktionen durch Folgen oder Reihen . 182
5 Differentia1rechnung 184
5.1 Die Ableitung von Funktionen mit einer Variablen 185
5.1.1 Differentialquotienten.......... 185
5.1.2 Ableitung einiger einfacher Funktionen 187
5.1.3 Ableitungen von Umkehrfunktionen . 189
5.1.4 Allgemeine Ableitungsregeln ..... 191
5.1.5 Tangentengleichung und Differentiale 196
5.1.6 Satz von Rolle und Mittelwertsatz . . 198
5.1.7 Ableitungen hOherer Ordnung .... 200
5.2 Singulare Stellenj Nullstellenj Extrema. 202
5.2.1 Unbestimmte Ausdriicke. . . . . . . . . 202
5.2.2 Nullstellen................ 204
5.2.3 Bestimmung von relativen Maxima und Minima 205
5.3 Funktionen mit mehreren Variablen . . . 209
5.3.1 Partielle Ableitungen 1. Ordnung. . . . . 209
5.3.2 Tangentialebene und Totales Differential. 212
5.3.3 Die totale Ableitung . . . . . . . . . . . . 213
5.3.4 Funktionaldeterminanten......... 216
5.3.5 Partielle Differentialquotienten in der Thermodynamik . 217
5.3.6 Ableitungen 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . 219
5.3.7 Relative Maxima, Minima und Sattelpunkte ..... 221
5.3.8 Extremalwerte bei Nebenbedingungen . . . . . . . . . 223
5.4 Partielle Ableitungen als Komponenten eines Vektors 227
5.4.1 Der Gradient . 228
5.4.2 Die Divergenz ................. 230
5.4.3 Die Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
5.4.4 Gradient und Divergenz in Kugelkoordinaten 235
10 Inhalt
6 Integralrechnung 238
6.1 Bestimmte und unbestimmte Integrale . 239
6.1.1 Begriff des bestimmten futegrals 239
6.1.2 futegralabschatzung 242
6.1.3 Stammfunktionen 243
6.2 Integrationsregeln 246
6.2.1 Allgemeines . . . . . 246
6.2.2 Anwendung einiger einfacher Regeln ffir Stammfunktionen 248
6.2.3 Partielle futegration . . . . 249
6.2.4 Das Substitutionsverfahren 251
6.3 Erganzungen . . . . . . . . 255
6.3.1 Uneigentliche Integrale .. 255
6.3.2 Parameterabhangige Integrale . 256
6.3.3 Folgen und Reihen . 259
6.4 Kurvenintegrale ....... . 260
6.4.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . 261
6.4.2 Integral fiber ein totales Differential 263
6.4.3 Eine Anwendung im Rahmen der Thermodynamik 266
6.4.4 Die Rotation als Umlaufintegral urn eine infinitesimale FUiche 267
6.4.5 Kurvenintegrale fiber Vektorfelder 269
6.5 Bereichsintegrale . . . . 271
6.5.1 Definition . . . . . . . . . 272
6.5.2 Praktische Berechnung 273
6.5.3 Variablentransformation . 278
6.5.4 GauBscher Integralsatz und Greensche Integralformeln . 281
6.5.5 Satz von Stokes ................. . 284
7 Taylorsche Reihen und Analytische Funktionen 287
7.1 Taylorsche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . 287
7.1.1 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
7.1.2 Entwicklung von Funktionen in Potenzreihen 289
7.1.3 Abschatzung des Restgliedes . . . . 293
7.1.4 Funktionen mit zwei Veranderlichen . . 296
7.2 Analytische Funktionen . . . . . . . . . 297
7.2.1 Definition von analytischen Funktionen 298
7.2.2 Integration analytischer Funktionen . . 303
8 Entwicklung nach Funktionensystemenj Fouriertransformation 309
8.1 Funktionen als Vektoren in unendlich dimensionalen Mumen 309
8.1.1 Entwicklung von Funktionen nach Basis-Funktionen 309
8.1.2 Entwicklung von Vektoren nach Basis-Vektoren . 311
8.1.3 Parallelen und Unterschiede. . . . . . . . . . . . . . 313
Inhalt 11
8.2 Fourieranalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
8.2.1 Fourierreihe einer Funktion mit einer Variablen . 318
8.2.2 Fourierreihe mit komplexen Basisfunktionen . 321
8.2.3 Fourierintegral . . . . 325
8.2.4 Die 15-Funktion . . . . 329
8.3 Fouriertransformation 331
8.3.1 Definition . . . . . . . 331
8.3.2 Beispiele und Anwendungen . 333
8.3.3 Allgemeine Satze . . . . . . . 339
8.4 Lineare Operatoren in Funktionenraumen 342
8.4.1 Operatoren . . . . . . . 343
8.4.2 Basistransformationen . 345
8.5 Wellenmechanik .. . . 347
8.5.1 Das Konzept . . . . . . 347
8.5.2 Die Schrodinger-Gleichung 353
9 Differentialgleichungen 358
9.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
9.1.1 Gewohnliche Differentialgleichungen . . . . 358
9.1.2 Kurvenscharen und Differentialgleichungen 360
9.2 Differentialgleichungen erster Ordnung . 363
9.2.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
9.2.2 Zwei einfache Losungsverfahren ...... . 366
9.2.3 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 369
9.3 Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung 372
9.3.1 Aquivalenz mit Differentialgleichungen hOherer Ordnung . 372
9.3.2 Systeme von linearen Differentialgleichungen erster Ordnung 373
9.4 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung . . . . . . 380
9.4.1 Allgemeines zur Losungsmannigfaltigkeit .......... . 380
9.4.2 Lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten . . 381
9.4.3 Lineare Differentialgleichungen mit nicht konstanten Koeffizienten 387
9.4.4 Eigenwertprobleme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
9.4.5 System von linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit
konstanten Koeffizienten. . . . . . . . . 393
9.5 Partielle Differentialgleichungen ..... 400
9.5.1 Losungsmannigfaltigkeiten und -ansatze . 400
9.5.2 Diffusionsvorgange als Beispiel 401
9.5.3 Die Wellengleichung . . . . . 407
9.5.4 Kugelfunktionen ...... . 409
9.5.5 Atomare Zustandsfunktionen 411
10 Gruppentheorie 415