Mathematik 2: Geschrieben für Physiker

398 Pages·2011·3.22 MB·German

by  Klaus Jänich (auth.)

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Klaus Jänich
Mathematik 2
Geschrieben für Physiker
Zweite, korrigierte Auflage
123
Prof.em.Dr.KlausJänich
FakultätfürMathematik
UniversitätRegensburg
93040Regensburg
Deutschland
[email protected]
ISSN0937-7433
ISBN978-3-642-16149-0 e-ISBN978-3-642-16150-6
DOI10.1007/978-3-642-16150-6
SpringerHeidelbergDordrechtLondonNewYork
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MathematicsSubjectClassification:26-01,58-01,70-01
(cid:2)c Springer-VerlagBerlinHeidelberg2002,2011
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Vorwort zur zweiten Auflage
Von Fehlern in dieser zweiten Auflage der Mathematik 2 weiß ich
natu¨rlichnichts,dennallemirbekanntgewordenenDruckfehlerder
ersten Auflage habe ich jetzt korrigiert. Ich h¨atte nun die Gelegen-
heit, auf Fehler in der 2004 erschienenen zweiten Auflage meiner
Mathematik 1 hinzuweisen, jedoch, gute Nachricht: es gibt keine.
Glaube ich! Und so gehe ich bis auf weiteres von der angenehmen
Vorstellung aus, beide B¨ande l¨agen nun in tadelloser Form vor.
Seit ein paar Jahren nehme ich am aktiven Universit¨atsleben
nicht mehr teil, aber E-Mails beantworte ich noch in alter Frische,
undalseremitischer Emeritusschaueichsovonferneaufdieneuen
ZeitenanderUniversit¨atunddenkemirmeinenTeil.Esstu¨ndemir
nichtan,ausdemLehnstuhl,hinterdemKachelofenhervorunerbe-
teneRatschl¨agezuerteilen. Dochwu¨nsche ichmeinen Lesern einen
Guten Rutsch ins Masterstudium! Wer m¨ochte auch ein Bachelor
bleiben, sein Leben lang.
Langquaid, im Oktober 2010 K. J¨anich
Vorwort zur ersten Auflage
DieerstenbeidenKapitel23und24stellenimRahmendiesesKur-
ses eigentlich den Abschluss des ersten Semesters dar. Das Kapi-
tel 25 bringt die Taylorentwicklung, nicht nur in einer, sondern
auchinmehrerenVariablen.DiefolgendenKapitel26-28bildenden
einenderbeidenSchwerpunktedesBandes,darinwerdenausgehend
vom Umkehrsatz die zentralen Techniken der Differentialrechnung
in mehreren Variablen behandelt.
Der zweite Schwerpunkt ist die Vektoranalysis. Urspru¨nglich
waren das zwei u¨berlange Kapitel Klassische Vektoranalysis und
Cartan-Kalk¨ul, die ich nun zu besserer U¨bersicht in je drei Kapi-
telchen unterteilt habe. Der klassische Teil pr¨asentiert die Vektor-
analysis in der ¨außeren Form, in der sie in den Physikvorlesungen
dann mit physikalischem Inhalt gefu¨llt wird. Aber erst durch den
Cartan-Kalku¨lversteht man denmathematischen Sinn derVektor-
analysis. Die Vektoranalysis ist n¨amlich nicht nur ein Sammelsuri-
um erstaunlicher Einzelformeln, sondern sie beruht einheitlich auf
einereinfachengeometrischenIdee,dieinderDefinitionderCartan-
Ableitung zum Ausdruck kommt. In der O¨konomie des Kurses hat
derCartan-Kalku¨labernocheinenweiterenZweck:erfu¨hrtdenLe-
ser auf ein h¨oheres Niveau mathematischer Raffinesse und ist eine
der Bru¨cken zu physikalisch relevanten Vorlesungen des mathema-
tischen Hauptstudiums.
DieletztendreiKapitelsindmathematischenAspektendertheo-
retischen Mechanik gewidmet. Sie sind aber weniger als Vorberei-
tung auf die Vorlesung u¨ber theoretische Mechanik gedacht, denn
Vorwort vii
ausreichend mathematisch vorbereitet darauf sind die Teilnehmer
dieses Kurses auch ohnedies. Vielmehr sollen Leser, die mit der
theoretischen Mechanik schon in Beru¨hrung gekommen sind, etwas
u¨ber die mathematischen Begriffsbildungen hinter den Koordina-
tenformeln erfahren und lernen, ihrinzwischen entwickeltes mathe-
matisches Anschauungsverm¨ogen mit der spezifisch physikalischen
Sichtweise der Mechanikvorlesung in Einklang zu bringen.
Was ein Autor im ersten Band u¨ber den noch nicht vorhandenen
zweiten sagt, hat den Charakter eines Blickes in die Zukunft und
kann als solcher nicht immer verl¨asslich sein. Sind doch schon an-
geku¨ndigtezweiteB¨andeg¨anzlichausgeblieben!Ichhatteurspru¨ng-
lichvor,ausmeinerzweistu¨ndigen Zusatzvorlesungmanchesinden
zweiten Band mit aufzunehmen. Das ist nun nicht geschehen, viel-
leicht sp¨ater einmal, aber versprechen sollte ich lieber nichts.
Besser l¨asst sich im zweiten Band u¨ber den ersten reden, zum
Beispiel u¨ber dessen Druckfehler. Wer schon einmal ein druckfeh-
lerfreies Buch herausgebracht hat, werfe den ersten Stein! Torsten
Becker aus Saarbru¨cken hat den ersten Band gelesen und mir eine
Druckfehlerliste geschickt, und Ulrich Riegel, der hier in Regens-
burg im vergangenen Semester die Vorlesung hielt, hat mir auch
eineu¨berreicht. IchdankebeidenHerrenundgebeumseitigdiemir
jetzt bekannten Druckfehler und Versehen des ersten Bandes an,
die beim Lesen st¨oren k¨onnten. Dass irgendwo infintesimale statt
infinitesimale steht, fu¨hre ich also nicht mit auf.
Immerhin haben mich die beiden Listen bewogen, Margarita
Kraus, die im Sommer die Vorlesung u¨bernehmen wird, zu bitten,
die Kapitel 23-34 einmal durchzusehen. Frau Kraus hat das auch
getan und ich dankeihr fu¨r diese Arbeit, nehme abernatu¨rlich alle
etwastehengebliebenenVersehenaufmich,zumalichinFragender
neuen Rechtschreibung und Grammatik ¨ofters an meiner Version
festgehalten habe, sei es aus besserer Einsicht, aus Starrsinn oder
aus Unverstand.
Wieder zu danken habe ich meinem Physiker-Kollegen Herrn
Prof. Keller, der mit mir die drei Mechanik-Kapitel durchgegangen
istund mich aufmanchekl¨arungs-oder¨anderungsbedu¨rftigeStelle
aufmerksam gemacht hat. Herrn PD Dr. Thomas Pruschke, jetzt
viii Vorwort
in Augsburg, danke ich fu¨r die Erlaubnis, auch jene R-Aufgaben
mit aufzunehmen, die er im Sommer 2000 beigesteuert hat, als
er mit mir hier in Regensburg die U¨bungen zur Mathematik II
durchfu¨hrte.
Schließlichteileichmit,dassichbeiderHerstellungderFiguren
dasProgrammMFPIC von Thomas E. Leathrumdankbar benutzt
habe. Ich habe es von Herrn Riegel bekommen, der hier ausrichten
l¨asst, es sei im Comprehensive TeX Archive Network (CTAN) im
Verzeichnis graphics/mfpic/ zu finden.
Langquaid, den 24. Februar 2002 K. J¨anich
Druckfehler im ersten Band, 1. Auflage 2001. Die Zeilenangabe
“10-7” bedeutet “Seite 10, siebente Zeile von unten”: 10-7: Statt
“R1” setze “R+” (oder kurz: 10-7: R1 :: R+) / 10-5: R :: R+ /
0 0 0 0 0 0
13-2:R→R+ ::R+ →R/69,untereFigur:L¨osungkannbeieiner
autonomen Gleichung so nicht aus(cid:2)sehen. /(cid:2)133-6: [a1,bn] :: [an,bn]
/ 150+3: i (cid:3)= j :: i = j / 172+2: n :: n / 177+4,+8,+11:
j=1 i=1
ν1w(cid:3)t :: νtw(cid:3)t / 196-1: grad(cid:2)x :: grad(cid:2)xf / 228+8,+11: Aij :: detAij /
228+11,+12:Aji ::detAji/258+5:R2 ::R/280-4:π+t0 ::π−t0 /
285-15:f(t +h)::f(t ±h)/287,rechteFigur:π,−π::−π,π/309-
0 0
11: B ⊂ Rn :: B ⊂ R×Rn / 354+5: f(cid:3)(A)−f(cid:3)(B) :: f(cid:3)(B)−f(cid:3)(A)
/ 382+4: dϕdθ :: sinθdϕdθ / 398-7: ab + ac :: ac + bc / 409-4:
U :: V / 416-12: d(cid:3)(x,x ) :: d(cid:3)(f(x),f(x )) / 476+9: Eigenwerte ::
0 0 0 0
Eigenvektoren /
Inhaltsverzeichnis
23. Mathematische Grundlagen der Analysis
23.1 Die Axiome der reellen Zahlen.......................1
23.2 Die Konvergenz von Folgen..........................6
23.3 Die Anwendung des Vollst¨andigkeitsaxioms.........11
24. Funktionenfolgen und Reihen
24.1 Punktweise Konvergenz von Funktionenfolgen.......23
24.2 Eine Grundausstattung an Konvergenzs¨atzen ....... 28
24.3 Reelle und komplexe Zahlenreihen..................34
24.4 Potenzreihen.......................................42
24.5 Schuldenru¨ckzahlung...............................48
24.6 U¨bungsaufgaben...................................53
25. Taylorentwicklung
25.1 Taylorreihen.......................................55
25.2 Taylorpolynome....................................58
25.3 Das Restglied......................................63
25.4 Taylorentwicklung in mehreren Variablen...........66
25.5 Hesse-Matrix und kritische Stellen..................70
25.6 Wie untersucht man die Definitheit der Hesseform?..75
25.7 U¨bungsaufgaben...................................78