Table Of ContentCopyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Московскийгосударственныйтехническийуниверситет
имениН.Э.Баумана
C.А. Воронов, А.А. Ширшов, С.В. Яресько
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
И ЖЕСТКОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ
СИСТЕМ ПРИ ИЗГИБЕ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ MATHCAD
Часть 1. Статически определимые балки
Методические указания к выполнению домашних заданий
по курсам «Сопротивление материалов»
и «Прикладная механика»
Под редакцией В.Г. Лешковцева
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э.Баумана
2011
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК539.41
ББК30.121
В75
Рецензент В.М.Зябликов
ВороновC.А.
В75 Расчет на прочность и жесткость стержневых систем при
изгибе с использованием Mathcad: метод. указания к выпол-
нениюдомашнихзаданийпокурсам«Сопротивлениематери-
алов» и «Прикладная механика» : в 2 ч. – Ч. 1 : Статически
определимыебалки/C.А.Воронов,А.А.Ширшов,С.В.Яресь-
ко;подред.В.Г.Лешковцева.–М.:Изд-воМГТУим.Н.Э.Бау-
мана,2011.–39,[1]с.:ил.
ИзложеныприемыиспользованияпакетапрограммMathcad
в операционной системе Microsoft Windows применительно к
расчетам на прочность и жесткость стержневых систем по-
стоянной и переменной жесткости при изгибе для произволь-
нойнагрузки. Вприложенииприведентекстрабочих страниц
Mathcadдлярассмотренныхпримеров.
Для студентов 2-го курса МГТУ им. Н.Э. Баумана, изуча-
ющих курсы «Сопротивление материалов» и «Прикладная
механика».
Рекомендовано Учебно-методической комиссией НУК РК
МГТУим.Н.Э.Баумана.
УДК539.41
ББК30.121
Учебноеиздание
ВороновСергейАлександрович
ШиршовАнатолийАртемович
ЯреськоСергейВасильевич
РАСЧЕТНАПРОЧНОСТЬИЖЕСТКОСТЬСТЕРЖНЕВЫХСИСТЕМ
ПРИИЗГИБЕСИСПОЛЬЗОВАНИЕМMATHCAD
Редактор В.М.Царев
Корректор Р.В.Царева
КомпьютернаяверсткаВ.И.Товстоног
Подписановпечать30.03.2011.Формат60×84/16.
Усл.печ.л.2,33.Тираж200экз.Изд.№118.
Заказ
ИздательствоМГТУим.Н.Э.Баумана.
ТипографияМГТУим.Н.Э.Баумана.
105005,Москва,2-яБауманскаяул.,5.
(cid:2)c МГТУим.Н.Э.Баумана,2011
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВВЕДЕНИЕ
Традиционно при расчетах стержневых систем на прочность
и жесткость широко применяют графоаналитические методы. На-
глядность эпюр внутренних силовых факторов, напряжений и пе-
ремещений неоспорима. При расчетах на прочность и жесткость
прямолинейных стержней при прямом изгибе (балок) ограничи-
ваются, как правило, эпюрами для перерезывающих сил и изги-
бающих моментов. По последней изображают качественно форму
изогнутой оси балки, основываясь на соответствии знаков изгиба-
ющегомоментаикривизныизогнутойоси.Перемещенияжеопре-
деляют для балок постоянной жесткости в заданных дискретных
точках, используя для этих целей, как правило, графоаналитиче-
ский метод вычисления интегралов Мора.
Широкое распространение современной вычислительной тех-
никипозволяетболееэффективноприменятьаналитическиемето-
ды в сочетании с графическими возможностями ПЭВМ. В частно-
сти, для расчета на прочность и жесткость прямолинейных стерж-
ней при прямом изгибе может быть использован метод интегри-
рования дифференциального уравнения изогнутой оси балки. При
этомнетпринципиальногоразличиямеждурасчетомбалокпосто-
янной или переменной жесткости, статически определимых или
статически неопределимых.
Цельюнастоящих методических указанийявляетсяознакомле-
ниеспакетомпрограммMathcadвоперационнойсистемеMicrosoft
Windows применительно к расчетам на прочность и жесткость
стержневыхсистемпостояннойипеременнойжесткостиприизги-
бедляпроизвольнойнагрузки.Впервойчастирассмотреныстати-
ческиопределимыебалки,вовторойчасти—статическинеопреде-
лимыебалкинажесткихиупругихопорах,атакжекриволинейные
плоские рамы.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Изгибом называют такой вид нагружения, при котором внут-
ренние силовые факторы — нормальная сила и крутящий момент
в поперечном сечении — равны нулю. При прямом поперечном
изгибевпоперечномсечениидействуютперерезывающаясила Qy
и изгибающий момент Mx. Положительные направления внешних
сил q, F и M, а также внутренних силовых факторов Qy, Mx
показаны на рис.1.
Рис.1.Положительныенаправлениявнешнихсилq,F иM,внутренних
силовыхфакторов Qy,Mx иперемещений θиv
Выражения для перерезывающей силы и изгибающего момен-
та в каком-либо сечении рациональнее всего получать, используя
метод сечений. Балку мысленно разрезают в выбранном сечении
на две части и, рассматривая равновесие любой части, получают
выражения для Qy и Mx. Для уменьшения вероятности ошибки
желательно составлять уравнения равновесия таким образом, что-
бы каждое содержало только одну неизвестную −Qy или Mx.
При ручном расчете балку разделяют на участки, в пределах
которых внешняя нагрузка постоянна или меняется монотонно.
Используя метод сечений, на каждом участке получают выраже-
ниядляQyi иMxi.Приэтомдлякаждогоучасткаможновыбирать
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
собственную систему координат. Заметим, что поскольку Qyi и
Mxi связаны с внешними силами дифференциальными зависимо-
стями (см. [1])
dQyi = qi(Zi);
dZi (1)
dMxi = Qyi,
dZi
полезно провести их проверку.
Перемещения балки при изгибе определяются углом поворота
поперечного сечения Θ и прогибом v — вертикальным перемеще-
нием. Их положительные направления показаны на рис.1. Прогиб
и угол поворота связаны между собой и внутренними силовыми
факторами. Между ними существуют дифференциальные зависи-
мости
dΘ = Mx ; dV = Θ; (2)
dZ EIx dZ
После интегрирования, согласно (2), получаем выражения для
перемещений на каждом участке:
(cid:2) (cid:2) (cid:3)(cid:2) (cid:4)
Θi = Сi+ MxidZ, Vi = Di+СiZi+ MxidZ dZ.
EIx EIx
l l l
i i i
Проинтегрировав выражения для Θ и v на каждом из n участков,
получаем 2n постоянных интегрирования, для определения кото-
рыхнеобходиморешатьсистемуиз 2п алгебраическихуравнений.
Более простое решение найдем, составляя единые для всей балки
выражения для Qy и Mx с использованием функции Хевисайда
H(Z −Zk). Функция Хевисайда — разрывная функция, определя-
емая следующим образом:
⎧
⎪⎪⎨ 0 при Z < Zk,
H(Z −Zk) = ⎪ 0,5 при Z = Zk,
⎪
⎩
1 при Z > Zk,
(cid:2)Z
причем H(Z −Zk)dZ = H(Z−Zk)(Z−Zk).Вэтомслучаепри
0
известном выражении изгибающего момента для всей балки усло-
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
виястыковкимеждуучасткамивыполняютсяавтоматически,тогда
после интегрирования необходимо определить всего две постоян-
ные из условий закрепления балки (для статически определимой
балки).
Рассмотримэтоболееподробнонапримеребалки,показанной
на рис.2. Слева (а) изображена консольная балка на двух опо-
рах, а справа (б) — она же после замены отброшенных связей их
реакциями. Заметим, что в балках реакция горизонтальной связи
всегда равна нулю, поскольку нет внешних сил, приложенных в
горизонтальном направлении, а, по определению, изгиб — это вид
нагружения, при котором нормальная сила в поперечном сечении
отсутствует.
Рис.2. Схеманагружениябалки
По условиям нагружения балку разделим на три участка, в
пределахкоторыхвнешниенагрузкимонотонны.Дляопределения
внутренних сил на этих участках достаточно двух уравнений ста-
тики. Предпочтительно определять перерезывающие силы Qyi по
суммепроекцийвсехсилнаосьY,аизгибающиймоментMxi (где
i — номер участка) по сумме моментов относительно оси Х, про-
ходящейчерезточкуk,совпадающуюсцентромтяжеститекущего
сечения(рис.3).Вэтомслучае Qyi иMxi определяютнезависимо,
чтоуменьшаетвероятностьошибки.Составимвыражениядлявну-
тренних сил на каждом участке таким образом, чтобы на каждом
следующем они отличались от предыдущего только добавлением
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис.3. Использованиеметодасеченийдляопределениявнутреннихсил
новыхслагаемыхзасчетпоявленияновыхсилнатекущемучастке.
Начало координат поместим на левом торце. Для удобства изобра-
зим отсеченную (левую) часть балки с приложенными внешними
силами и внутренними силовыми факторами (рис.3).
Первый участок
(cid:9)
Fy = 0 ⇒ Qy1 = RA;
(cid:9)
Mxk = 0 ⇒ Mx1 = RAZ.
Второй участок
(cid:9)
Fy = 0 ⇒ Qy2 = RA−q(Z −l);
(cid:9)
Mxk = 0 ⇒ Mx2 = RAZ −ql2−q(Z −l)2/2.
Третий участок
(cid:9)
Fy = 0 ⇒ Qy3 = RA−q(Z −l)+RВ +q(Z −2l);
(cid:9)
Mxk = 0 ⇒ Mx3 = RAZ −ql2−q(Z −l)2/2+
+RВ (Z −2l)+q(Z −2l)2/2.
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для того чтобы Qy3 и Mx3 включали полностью Qy2 и Mx2,
распределенная нагрузка должна быть продлена до текущего се-
чения (правого конца балки) и уравновешена распределенной на-
грузкой обратного знака, начинающейся в том сечении, в котором
заканчивается заданная. Используя функцию Хевисайда, объеди-
ним все три пары выражений для внутренних сил. Тогда
Qy(Z) = RA−q(Z −l)H(Z −l)+
+[RВ +q(Z −2l)]H(Z −2l); (3)
(cid:10) (cid:11)
Mx(Z) = RAZ1− ql2+q(Z −l)2/2 H(Z −l)+
(cid:10) (cid:11)
+ RВ (Z −2l)+q(Z −2l)2/2 H(Z −2l). (4)
Таким образом, для получения общих выражений Qy(Z) и
Mx(Z) для всей балки, с учетом показанного на рис.1 правила
знаков, необходимо поместить начало координат на левом торце и
рассмотреть равновесие части балки, лежащей слева от текущего
сечения на последнем участке, как это показано на нижней схеме
рис.3.Изприведенныхвышевыраженийвидно,чтоперерезываю-
щая сила Qyi в текущем сечении равна сумме проекций всех сил,
расположенныхслеваоттекущегосечения,приэтомнаправленные
вверхсилыимеютположительныйзнак.Изгибающиймомент Mxi
в текущем сечении равен сумме моментов всех сил, расположен-
ныхслеваоттекущегосечения,приэтомсилы,создающиемомент
по часовой стрелке относительно оси Х, проходящей через точку
k, положительны.
Для балки постоянного сечения непосредственным интегриро-
ваниемдифференциальныхзависимостей(2)могутбытьполучены
выражения угла поворота и вертикального перемещения попереч-
ного сечения:
(cid:12)
1 (cid:13) (cid:14)
Θ(Z) = С + RA(Z2/2)− ql2Z +q(Z −l)3/6 H(Z −l)+
EIx (cid:15)
(cid:10) (cid:11)
+ RВ (Z −2l)2/2+q (Z −2l)3/6 H(Z −2l) ; (5)
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
V(Z) = D+СZ+
(cid:12)
(cid:10) (cid:11)
1
+ RAZ3/6− ql2Z2/2+q (Z −l)4/24 H(Z −l)+
EIx (cid:15)
(cid:10) (cid:11)
+ RВ (Z −2l)3/6+q (Z −2l)4/24 H(Z −2l) . (6)
Постоянные интегрирования С и D имеют строго определен-
ный физический смысл: С — угол поворота в начале координат,
D — прогиб в начале координат. Если левый торец балки оперт, то
постоянная D = 0, а постоянную С определяем из условия равен-
ства нулю прогиба на правой опоре; если же левый торец заделан,
то обе постоянные равны нулю.
По выражениям (3), (4) строим эпюры Qy(Z) и Mx(Z), а по
выражению (6) — форму изогнутой оси балки или, иначе говоря,
эпюру прогибов.
Расчет на прочность балки постоянной жесткости. Условие
прочности при изгибе для пластичных материалов имеет вид
|σ| = |Mx|max (cid:2) [σ] = σТ, (7)
max Wx [n]
где Wx = Ix/|y|max — момент сопротивления сечения; Ix– момент
инерции сечения;
|y| —расстояниеотцентральнойосидонаиболееудаленной
max
точки сечения;
[п]– нормативный коэффициент запаса.
Определениегеометрическиххарактеристикподробноизложе-
но в учебниках по cопротивлению материалов (например, [1]).
Расчет по допускаемым перемещениям (расчет на жест-
кость). Расчет сводится к определению угловых и линейных пе-
ремещений. Угловые перемещения Θ определяют, как правило,
над опорами и на консольном торце. Среди линейных перемеще-
нийнаибольшийинтереспредставляетмаксимальное(помодулю)
перемещение |V| . Расчет без использования вычислительных
max
средств максимального перемещения требует довольно громозд-
ких вычислений. Действительно, в силу дифференциального со-
отношения (2) для вычисления |v|max необходимо найти сечение,
в котором обращается в нуль угол поворота — производная от
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
прогиба, а для этого для балки постоянной жесткости требуется
решить уравнение третьей или четвертой степени при наличии
распределенной нагрузки (постоянной или изменяющейся по ли-
нейному закону).
ПРИМЕРЫ
Пример 1. Провести поверочный расчет на прочность и
жесткость заданной балки (рис.4) постоянного прямоугольного
поперечного сечения. При вычислениях принять: q = 10кН/м,
l = 0,6м, В = 40мм, Н = 80мм, Е = 200ГПа, [σ] = 200МПа,
|V|max (cid:2) 10 мм.
Рис.4. Условиянагруженияизакреплениябалки
Рис.5. Расчетнаясхемабалкисреакциямисвязей
1.1. Получение уравнений для Qy(Z), Mx(Z), Θ(Z) и V (Z).
Определение реакций связей. Схема балки, освобожденной от
связей,среакциямиопор RA иRB показананарис.5.Рассмотрим
ее равновесие. Составим два уравнения статики:
а) сумма моментов всех сил относительно оси Х, проходящей
через точку А (или В),
10
