Table Of Content~:: CENGAGE
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,
MA T EM AT I CA S 11
CÁLCULO INTEGRAL
Ron Larson I Bruce Edwards
The Pennsylvania State University University of Florida
The Behrend College
Joel lbarra Escutia
Instituto Tecnológico de Toluca
Traducción
Javier León Cárdenas
Revisión técnica
Ana Elizabeth García Hernández
Instituto Politécnico Nacional
Instituto Tecnológico de Ourango Instituto Tecnológico de San Juan del Río
Luis Gustavo Reyes Martfnez Saulo Servio Guzmán
Instituto Tecnológico de Hennosillo Instituto Tecnológico José Mario Malina Pasquel
Hilario Mayboca Arauja Y Henriquez, Campus Chapala
Carlos Alberto Pereyda Pierre Maria de la Cruz GómezTorres
Instituto Tecnológico de león Instituto Tecnológico Superior de Cajeme
RubénTrujillo Corona Socorro del Rivera Jiménez
Leonsio Ruiz Moreno
Instituto Tecnológico de Querétaro
Francisco Javier Avilés Urbiola Tecnológico de Estudios Superiores de Chimalhuacán
Maria Eugenia Ouintanar Pérez Juan Bucio Esquive!
Tecnológico de Estudios Superiores de Jilotepec
José Guadalupe González Escamilla
Tecnológico de Estudios Superiores de Jocotitlán
Ramón Berber Patafox
Christopher Gutiérrez Luna
Adriana Sotelo Hurtado
...
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Australia, 8lasll •corea· Bpalia • Blados Unidos, ,apon, Mé~lco • Reino Unido, Sngapur
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1 ..
Matem1Wcas 11. Cálculo Integral. O O.R 201!! por Cengage Laarnlng Editores, S.A. de C.V.,
Primera edición una Compaflla de cengage Learnlng, lnc.
A;m Larson y Bruce fdwards Carretera México-Toluca nUm. 5420, oficina 2301.
Col. El Vaqui. Del. Cuaj1malpa. C.P. 05320.
Dlredor Hlgher fducatlon Oudad de México.
Latinoamérica: Cengage Learnlngi& es una marca registrada
Aenzo casapla Valenda usada bajo permiso.
Gerente edllorlal Latinoamérica: DBE0-10S FESERlfAOOS. Ninguna parte de
.bSUs Mares Olacón este trabajo amparado por la Ley Feaeral del
Derecho de Autor, podrá ser reproducida,
Editora de desarrollo: transmitida, almacenada o utilizada en
Abril Vega Orozoo cualquier forma o por cualqul&f medio, ya sea
gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo,
Coordinador de manulactura: pero sin !Imitarse a lo slgulenle: lolocoplado,
Rafael Pérez González reproduoclOn, escaneo, dlgUaUzaclOn,
grabadOn en audio, dlstribuclOn en Internet,
Diseno de portada: dlstrlbuclOn en redes de inlormadOn o
Karla Paola Benl1ez Garcla almacenamiento y recoplladOn en sistemas
de lnrormadOn a excepción de lo permitido
Imagen de portada: en el capllulo 111, Artlculo 27 de la Ley Federal
O 9.tetlana S)kolova07 1 91utterstodt del Derecho de Autor, sin et consenUmiento
por asalto de la e:tltorlal.
Composición tipogrUlca:
Angélica Toledo llrado Esta es una adaptación de los libros:
Larson, Fbn y 8'uce e:twards. Cálru/o, Tomo l.
Décima edld0n.C2016, lmN: 978.007-522-(115-4
Traducido del libro OJ/rulus. 10th 6:titlon.
Fbn L.arson and 8'uce e:twards. Publlcado en
Inglés por 8'ooks/O>le, una compal\la
deCengage LearnlngC2014
ISBN: 978-1-285-05709-5
Larson, Fbn y 8'uce Edwards
Matemáticas 11. OJ/wlo lntqal. C2017
ISBN: 978-607-522-90().3
Datos para catalogación bibliográfica:
Lar son, Fbn y 8'uce Edwards.
Matemáticas 11. Cálwlo lnlfl!Tal. Primera edición.
ISBN: 978-607-S26-654-1
Visite nuestro slllo web en:
hltp://lallnoamerlca.cengage.com
Impreso en México
1234567 20211918
Contenido
UNIDAD 1 I> La integral definida y el teorema
fundamental del cálculo
1.1 Área 2
1.2 Sumas de Riemann y la integral definida 14
1.3 La antiderivada o integral indefinida 25
1.4 Teorema fundamental del cálculo 35
Proyecto de trabajo: Demostración del teorema
fundamental 49
1.5 Integración numérica 50
Ejercicios de repaso 57
Solución de problemas 60
UNIDAD 2 I> Métodos de integración 63
2.1 Reglas básicas de integración indefinida 64
2.2 Integración por sustitución (cambio de variable) 71
2.3 Integración por partes 84
2.4 Integración de funciones logarítmicas,
trigonométricas y exponenciales 93
2.5 Integrales trigonométricas 107
Proyecto de trabajo: Líneas eléctricas 115
2.6 Integración por sustitución trigonométrica 116
2.7 Integración por fracciones parciales 125
2.8 Integración de funciones trigonométricas inversas 134
2.9 Integración de funciones hiperbólicas 142
Proyecto de trabajo: Arco de St. louis 149
2.1 O Integración por tablas y otras técnicas de integración 150
Ejercicios de repaso 156
Solución de problemas 159
UNIDAD 3 !>Aplicaciones de la integral 163
3.1 Área de una región entre dos curvas 164
3.2 Volumen: método de los discos 174
3.3 Volumen: método de las capas 185
Proyecto de trabajo: Saturno 193
3.4 Longitud de arco y superficies de revolución 194
3.5 Trabajo 205
Proyecto de trabajo: Energía de las mareas 213
3.6 Momentos, centros de masa y centroides 214
3.7 Presión y fuerza de un fluido 225
3.8 Integrales impropias 231
Ejercicios de repaso 242
Solución de problemas 244
iv Contenido
UNIDAD 4 t> Sucesiones y series 247
4.1 Sucesiones 248
4.2 Series y convergencia 259
Proyecto de trabajo: La mesa que desaparece
de Cantor 268
4.3 Criterio de la integral y series p 269
Proyecto de trabajo: La serie armónica 275
4.4 Comparación de series 276
Proyecto de trabajo: Método de la solera 282
4.5 Series alternantes 283
4.6 El criterio del cociente y de la raíz 291
4.7 Polinomios de Taylor y aproximaciones 300
4.8 Series de potencias 311
4.9 Representación de funciones por series de potencias 321
4.10 Series de Taylor y Maclaurin 328
Ejercicios de repaso 340
Solución de problemas 343
Formularios básicos y tablas de integración F1
Álgebra Fl
Fórmulas trigonométricas F2
Trigonometría F3
Derivadas e integrales F4
Tablas de integración Tl
Apéndices*
Apéndice A Demostración de teoremas seleccionados
Apéndice B Tablas de integración
Apéndice C Repaso de precalculo
C.1 Números reales y recta numérica
C.2 El plano cartesiano
C.3 Repaso de funciones trigonométricas
Apéndice D Rotación y la ecuación general de segundo
grado
Apéndice E NUmeros complejos
Formularios béllsicos
• Este meteriel se encuentre disponible en linee. Aeeede e www.cer\lJ'lge.com e ingrese con
el ISBN de la obre.
Prefacio
Bienvenidos a esta nueva versión de Matem:ític:is H. Cálculo imegml. Nos enorgullece ofrecerle una nueva versión revisada y
mejorada de nuestros clásicos y exitosos libros de texto.
Esta obra forma pane de una serie de cinco libros el:'1borados para cubrir de manera específica los planes de es1udio de
los cursos de mruem:'ilicas a nivel superior: c:'ilculo diferencial, c:'ilculo integral. cálculo vectorial. álgebra lineal y ecuaciones
diferenciales.
Al igual que en otras ediciones. hemos incorporado muchas de las útiles y atinadas sugerencias que usted. estimado lector.
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En esta edición se han introducido algunas características nuevas y revisado otl"3S. Encontrará lo que espera: un libro de
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infonnación como ayuda para guiarlo en cada revisión de los ejercicios y soluciones.
Lo nuevo en esta edición
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aplicaciones reales utilizadas en los ejemplos
y ejercicios.
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Estos ejemplos interacti\'OS usan el reproductor NUEVOS Videos de demostraciones
CDF de Wolfrarn y permiten explorar el cálculo Vea videos del coautor Bruce Edwards, donde explica
manejando las funciones o gráficas y observando las demostraciones de los 1eoremas de Cálculo, décima
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vi Prefacio
NUEVO ¿Cómo lo ve?
La característica ¿Cómo lo ve? en cada sección presenta ¿CÓMO LO VE? La ru11efl1n Qllt M 1nue,;,.1ru t'n 1,
un problema de la vida real que podrá resolver mediante ~nUica ,1¡mcnk o "R.-.:11:.ntc Cfl ti 111tcr.a\o 11. -IJ. El
inspección visual utilizando los conceptos :1prcndidos i11rcn..1ki'IC'dl'id:cn 1z~ubin1c:nulo).
en la lección. Este ejercicio es excelente para el análisis en
clase o la preparación de un examen.
Comentario Revisado
Estos consejos y sugerencias refuerzan o amplían
conceptos. le ayudan a aprender cómo estudiar
matemáticas. le advierten acerca de errores comunes.
Jo dirigen en casos especiales o le muestrnn los pasos
alternativos o adicionales en la solución de un ejemplo.
<•I ¡.Cuilc:~ wn lo-. JJl.lnlet~ lcm,inalc~ i,quicrJo-. del pri•
Conjuntos de ejercicios Revisados mcq illlimo in1er.11lo..'.'
Los conjuntos de ejcn:icios han sido :unpli:i y cuicbdosamente ~hJ ;.Cu.1k\ ..on ~ ,~mio, 1crm1ulc, dtrc:i:hc>!i de kh l'li·
examinados para aseguramos que son rigurosos e rni:m<:/Jl~1,1,1h1nh..,...11lo~1
importantes y que incluyen iodos los lemas que nuestros (el ¡,C'"'1do ~ U.'\M lo. . ptinl"'-IC!,1"n11n1lei ilen!cho'-. u
usuarios han sugerido. Se h:in rcorg:ulizado los ejercicios y ftnu1n1c:ain6 a~,. nfu1o, 11lTib;1 o dd,1p dC' l:L~ ¡:n!fu:u~ de 111
etijteuml:ipdloo sp ayr ae jqeurcei cpiuoesd. .L'l ovse re jmerecjiocri olass d ceo nvaexrioiosn peas seonst rseo nlo s t;d) ¿reC~l~ !u;(l' c1)'1,. k~-·. .leu n(.:'O. lIIuCn!Ucir,ót t~l ~nC-(,N, N~ll l1l3l.e., evnlm t!nl l!ll-lht.i'cl'\ :Ilnk,l.
ejercicios de la vid.'l real que refucrLan habilid'.ldcs p..n """''
resolver problemas y dominar los conceptos. d.'Uldo a los
estudiantes la oportunidad de aplicarlos en situaciones de la
vid:ireal.
_______ ___ Cambios en el contenido
El apéndice A (Demostración de teorema..., selcccion:idos)
--._____. ___-.,. .......-... ,-.. __ ..- .._.. . . ...___- . _.._.... ...,__......... ._.- _.- __.__. .-..., ..... _......... __-__ .. . •__...-... ·__ . ._.,. ,_. "......'..........'. . ..,...,- . -...-~ • __·...-...._-... .- ,...-.....,_. ,__-.. .:._. -- '._.,_ ....·. ·.~ ._._• ·..., .-.-. .... AsaaLCehda apoirpcsrrlriaoeoia nsscneCceaan altptc)le: riceinerunos íle eunCsnnst eet.fiacnsoc oge namnam gs.f e o LcBdnaeorns at andielnxeof.mtic odaoo em(bs evln.lr ia edicensiogo l n(éecsns y it ancmgolnbé sicé)on es tno
~ ____ Se han elegido con cuidado ejercicios de aplicación y
..... ejemplos que se incluyen para dirigir el tema: "¿Cuándo
__,:_= -,.:;:::._. .... ,__ __ _ usaré estor. Est:-is :iplicaciones son tomadas de diversa..~
fuentes. tales como acontecimientos actuales. datos
- -•···--- del mundo, 1endenci:1s de l:1 industria y. :-idem:'is,
_ __ est:'in rel:icion:-idas con una amplia gama de intereses.
____ entendiendo dónde se está utili7..m1do (o se puede
·--.. ·.-.. . _-_ .-... __-.. , cuolimlizpaler)t ae ld celá lmcualtoe rpia:ilr.a fomentar una comprensión más
..... .....
Desarrollo de conceptos
-· Los ejercicios escritos al final de cada sección cst:in
... ·-c[.--.. diseñ:-idos para poner a prueba su comprensión de
los conceptos b:'isicos en c:ida sección. motivándole
..¡ .... a verbalizar y escribir las respuestas. y foment:indo
•••[ . . ""4' las habilidades de comunicación 1écnica que le serán
invaluables en sus futuras carreras.
Prefacio vi
Teoremas Proyectos de trabajo
Los teoremas proporcionan el marco conceptual del Los proyectos de trabajo se presentan en algunas secciones
c:'ilculo. Los teoremas se enuncian cl:unmente y están y le invitan a explorar aplicaciones relacionadas con
separados del resto del libro mediante recuadros de los temas que está estudiando. Proporcionan una fonna
referencia visual rápida. Las demostraciones importantes interesante y atractiva para que usted y otros estudi:intes
a menudo se ubican enseguida del teorema y se pueden trabajen e. inve stiguen ideas de fom1a conjunta.
encontrar en LarsonCalculus.com.
Definiciones . -
Como con los teoremas. las definiciones se enuncian
clar::unente usando tenninologfa precisa. fonnal y están Demostración del teorema fundamental
separadas del 1ex10 mediante recuadros para una referencia 11l1n, Ultlll hcrnm11.-nlil J.;, ;.ro.11\. ., ;"IÓB JXlr.l R'Jm:""nt.ir 1a lun,,.IOO
visual rápida.
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Definiciones de dos Integrales definidas especiales f-.ct1~rdr
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l. Si/ol111tgrublc(ft lu. b), CJIICII~ /Mdr • - ¡(,)J,· ci..:ndo.
Exploraciones
Las exploraciones proporcionan retos únicos para estudiar 1b) Ut1l~l:1.• rw..-.,,..-..Je 1n1riruci6ridl!un;1hcinmll!nL1dcp,
conceptos que aún no se han cubieno fonnalmcnte en el lica:i(1n p;im rc¡n;,cnnr F
libro. Le permiten aprender mediante el descubrimiento e (C) ~ I• ÍUIICICIIM.,.. de dert\~K'IÓtl ~ \HY IK•rntflK'IIII (k gntlt·
einnt reosdeu mcior mteemnatos . rEella ecxiopnloardaors t ecmona slo dse q euset ae mstáa neesrtnu dleia inndvoit a d¡.dlr,llóC1a1 po:oarn:i , bh: 1a1n,:.i'ñffcl-a: i( !dr.elflu .mi:1w d,eo F t b'{)°r') , 1,C"(l.mo '-4! n!l:ac10n:1 ...,_lll
a pensar de m:inera mis amplia. tJJ Co111trr,lk lk! ltlk' loi .iro,.,J;i de
1· J"l'n2J
Notas históricas y biografías
L'lS notas históricas le proporcionan información acerca de CA 11tn:,. Cndiqu.: J ) i:,..-nNI 'lln í"-'(!Uciin pwrafo u..,:ITII, Je
los fundamentos de cálculo. Las biograífos presentan :i las .:llffltl ~ n!l.te!tM:1 e~t, !ffil1CSl'Ulll lll• 1k le,, 111l.'.t•,l.l' \hl)'(C).
personas que crearon y contribuyeron al cálculo.
Tecnología
A través del libro. los recuadros de 1ecnología le ense11.:m Desafíos del examen Putnam
a usar tecnología para resolver problemas y explorar Las preguntas del examen Putnam se presentan en algunas
conceptos del dlculo. Estas sugerencias también indican secciones. Est:is preguntas de ex:imen Putnam lo desafían y
algunos obstáculos del uso de la tecnología. le amplían los límites de su comprensión sobre el cálculo.
Agradecimientos
Queremos agradecer a todos los profesores que panicip:iron en esta obra, sus aponacio
nes y sugerencias fueron invaluables para el desarrollo de la misma.
UNIDAD
1
La integral definida y el teorema
fundamental del cálculo
1.1 Área
1.2 Sumas de Riemann y la integral definida
· · · · · · · · · · · 1.3 La antiderivada o integral indefinida
1.4 Teorema fundamental del cálculo
1.5 Integración numérica
......................................... ·I>
: ......... I>
Topografía
Velocidad del sonido
...................................................... · I>
"""" "" ·I>
Varios productos
químicos fluyendo
Gran Cañón en un tanque
G\l,• •I•K ci4. N. .Nu I, ,1..N,. .i.f.f.l.l 1o-l..d..i/.StShuh1u_l,wna1d1 a0n<ll;. J~.V,.1.,,i,1e,i,,,.( .H._ e.,y. l.s .,..d.u..r. ~.1.•.1.1. ,o.d. .te.1.11.t 1 . .....o ..,.,,.,,~1!•>1ocl,..,¡_
2 Unidad 1 La integral definida y el teorema fundamental del cálculo
1.1 Área
■ Emplear la notación sigma para escribir y calcular una suma.
■ Entender el concepto de a.rea.
■ Aproximar el a.rea de una región plana.
■ Determinar el a.rea de una región plana usando límites.
Notación sigma
Esta unidad inicia introduciendo una notación concisa para sumas. Es1a recibe el nom
bre de notación sigma. ya que utiliza la letra griega mayúscula sigma. I.
Notación sigma
La suma de II términos a1• a1• a3 •..• ª" se escribe como
donde i es el índice de suma. t11 es el i-ésimo término de la suma y los límites su•
ptrior e inferior de la suma son II y 1.
:. • • • ••COMENTARIO Los límites superior e inferior de la suma han de ser constantes
respecto al índice de suma. Sin embargo. el límite inferior no tiene por qué ser 1. Cual
quier entero menor o igual al límite superior es legítimo.
lff ü{ijiji•ii
. Ejemplos con la notación sigma
a. ~i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
1
'
b. ,~(;+ 1)-1 +2+3+4+5+6
,
C. ~ ¡2 = 32 + 41 + 52 + 62 + 7l
d.~s J1 i-f1i + ..1/ 2+ ,/13 + .1f o+J1s
e. f .!..(!2 + 1) = .!..c12 + 1) + .!..(22 + 1) + · · · + -,1,(112 + 1)
.t.:'111 11 11
• !'ARA INFORl\lACIÓN ADICIONAL
Para una inlerpretación geométrica En los incisos (a) y (b). observe que la misma suma puede representarse de m::mems
de las fómmlas de su,mta. consutlte el difcren1es utilizando la no1ación sigma. ■
anículo ··Looking at k and k1
Geomctrically". de Eric1 Hcgblom1. en Aunque puede uliliz::irse cualquier variable como índice de suma. suele preferirse i.
Mmliemutics Tt'ac:l1t'r. Para \'er este j y k. Obser"e en el ejemplo I que el índice de suma no aparece en los ténninos de la
anículo. visite M,11/IArlicles.com. suma desarrollada.
