Lineare und nichtlineare Schwingungen und Wellen

352 Pages·1995·6.34 MB·German

by  Prof Dr. sc. nat. ETH Fritz Kurt Kneubühl (auth.)

Lineare und nichtlineare
Schwingungen und Wellen
Von Prof. Dr. sc. nat. ETH Fritz Kurt KneubOhl
Eidgenosslsche Technische Hochschule ZOrich
unter Mitwirkung von
Dr. sc. nat. ETH Damien Philippe Scherrer
Assistent an der Eidgenossischen Technischen Hochschule ZOrich
Mit 125 Abbildungen und 3 Tabellen
EB
B. G. Teubner Stuttgart 1995
Prof. Dr. sc. nat. Fritz Kurt Kneubuhl
Geboren 1931 in Zurich. Studium der Physik an der ETH Zurich:
Diplom 1955 sowie Promotion 1959. AnschlieBend Ramsey
Memorial Fellow, University College London und University of
Southampton, England. 1960 Graefflin Fellow, The Johns Hopkins
University, Baltimore, USA. Ab 1961 Assistent ETH Zurich. 1963 Ha
bilitation, 1966 Assistenz-Professor, 1970 a.o. Professor, 1972 o.
Professor an der ETH Zurich. 1976-1978 Vorsitzender Quantum
Electronics Division, European Physical Society. 1976 permanentes
Mitglied The Johns Hopkins Society of Scholars, Baltimore, USA.
1978-1980 Vorsteher Physik-Departement, 1986 Vorsteher Labora
torium fUr Infrarotphysik, 1986-1988, 1992-1994 Vorsteher Institut
fUr Quantenelektronik, ETH Zurich. 1989 L. E6tv6s Medaille, Ungari
sche Physikalische Gesellschaft. 1990 auswartiges Mitglied, Aka
demie der Wissenschaften der DDR, 1994 Herausgeber "Infrared
Physics & Technology", Oxford, England.
Arbeitsgebiete: Quantenelektronik und Infrarotphysik, insbesonde
re Gaslaser, Detektoren, Spektroskopie der kondensierten Materie,
Gase und Plasmen, Solar-und Astrophysik, Bauphysik.
Die Deutsche Bibliothek -CIP-Einheitsaufnahme
Kneubiihl, Fritz Kurt:
Lineare und nichtlineare Schwingungen und Wellen: mit 3
Tabellen / von Fritz Kurt KneubOhl. Unter Mitw. von Damien
Philippe Scherrer. -Stuttgart: Teubner, 1995
(Teubner-StudienbOcher: Physik)
ISBN-13: 978-3-519-03227-4 e-ISBN-13: 978-3-322-89541-7
001: 10.1007/978-3-322-89541-7
Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschOtzt. Jede
Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne
Zustimmung des Verlages unzulassig und strafbar. Das gilt besonders fOrVer
vielfaltigungen, Obersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung
und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
© B. G. Teubner Stuttgart 1995
Meiner Frau Waltraud gewidmet
VORWORT
Dieses Buch habe ich geschrieben, weil ich ein derartiges seit Jahren in Forschung und
Unterricht vermisst habe. Schwingungen und Wellen beschiiftigen vor aHem Physikerlnnen und
Ingenieurelnnen, obschon sie eigentlich mathematische Phiinomene darstellen. Nichtlineare
Schwingungen und Wellen sind heute ein Eldorado fUr Mathematikerlnnen betreffend Bifur
kationen, seltsame Attraktoren, deterministisches Chaos, Solitonen etc. Trotzdem beschriinkt
man sich im Hochschulunterricht auch heute noch weitgehend auf lineare Probleme, selbst in
Anbetracht der Tatsache, dass etwa die moderoe Elektronik auf nichtlinearen Prozessen beruht.
Die Ursache ist vermutlich der Umstand, dass sich in der Forschung der Graben zwischen
eigentlicher Mathematik einerseits und Ingenieurwissenschaften andrerseits stiindig verbreitert.
Die Mathematikerlnnen erfinden bemerkenswerte Existenz-, Konvergenz- und andere
Allgemeinbeweise, die Experimentalphysikerlnnen und Ingenieurlnnen benotigen dagegen einen
Uberblick und handfeste Formeln, insbesondere dann, wenn sie zur digitalen Rechenmaschine
greifen. Existenz, Konvergenz und andere allgemeine mathematische Siitze werden dabei in den
Hintergrund gedriingt, solange bis etwas schiefgeht. Kontaktiert eine Experimentalphysikerln
oder Ingenieurln in einem solchen Notfall einen Mathematikerln , dann reden die beiden eine
verschiedene Sprache. Das vorliegende Buch versucht den erwiihnten Graben zu Uberbriicken.
Es gibt einen Uberblick und handfeste Formeln, praktisch ohne Beweise. Dies Uberlasse ich
geme kompetenten Mathernatikerlnnen und hoffe.
Bei der Arbeit an diesem Buch bin ich vielen fUr Unterstiitzung und Rat zu Dank verpflichtet.
Vor allen verpflichtet bin ich meinem Assistenten Herrn Dr. Darnien P. Scherrer fUr seine
tatkriiftige Mitwirkung und seinen Enthusiasmus sowie meiner Sekretiirin Frau Barbara Bliittler
fUr den Einsatz und die Geduld beim Schreiben des anspruchvollen Textes und der zahllosen
komplizierten Formeln. Ebenso danke ich den Herren Prof. Dr. L. Jansen, Univ. von
Amsterdam und KUsnacht, Prof. Dr. W. Hunziker, Prof. Dr. H. Melchior, Prof. Dr. H. J.
SchOtzau, PO Dr. J. Bilgram, Dr. R. Monnier, Dr. P. Weiss, dip!. Phys. J. Feng und dip!. E!.
Ing. S. Hunziker, alle ETH ZUrich, fUr Ratschliige, Hinweise und Animation; Frau I.
Wiederkehr und Herro J.P. Stucki, Physik-Departement, ETH ZUrich, fUr die Zeichnung
zahlreicher Figuren sowie Herrn Dr. U. Helg und Frau M. Papadellis, Physik-Bibliothek, ETH
ZUrich, fUr Literaturdienste und grosszUgige BUcherausleihe.
Besonderen Dank verdienen meine Frau und meine Tochter Agnes fUr Verstiindnis und FUrsorge
wiihrend der langen Zeit, welche ich an diesem Buch wirkte.
ZUrich, den 9. August 1994 Prof. Dr. Fritz K. KneubUhl
INHALT
1. EINLEITUNG 11
2. FREIE SCHWINGUNGEN 13
2.1. Oszillatoren 13
2.2 Harmonische Oszillatoren 13
2.2. 1 Die Schwingungsgleichung 13
2. 2. 2 Der ungedfunpfte hannonische Oszillator 14
2. 2. 3 Hannonischer Oszillator mit Dfunpfung oder Verstarkung 19
2. 2. 4 Der elektrische Schwingkreis 29
2.3 Modulierte Iineare Oszillatoren 30
2.3. 1 Die Schwingungsgleichung 30
2. 3. 2 Allgemeine Uisungen 31
2. 3. 3 Nullstellen und oszillatorisches Verhalten 34
2.3.4 "Chirp" -Oszillatoren 36
2. 3. 5 Aperiodisch modulierte hannonische Oszillatoren 38
2. 3. 6 Oszillatoren mit Stufenmodulation 43
2. 3. 7 Periodisch modulierte Oszillatoren 45
2. 3. 8 Singularitiiten und Approximationen 64
2.4 Relais -Oszillatoren 75
2.4. 1 Schaltfunktionen 75
2.4.2 Oszillator mit trockener Reibung 77
2.4.3 Oszillator mit Luftwiderstand 79
2.4.4 Oszillator mit konstanter Riickstellkraft 81
2.4.5 Oszillator mit Totzone 83
2.4.6 Oszillator mit Hysterese 85
2.5 Nichtlineare Lienard-Oszillatoren 87
2.5. 1 Allgemeine Eigenschaften 87
2. 5. 2 Duffing -Oszillatoren 88
2. 5. 3 Mathematisches Pendel 95
2.5.4 Smith-Oszillatoren 98
2. 5. 5 Vander Pol -Oszillatoren 99
6
3. ERZ~GENESC~GUNGEN 106
3.1 Freie und erzwungene Schwingungen 106
3. 1. 1 Spezielle Formen der Anregung 106
3. 1. 2 Lineare Oszillatoren 107
3.2 Anregung hannonischer Oszillatoren 108
3.2. 1 Die Schwingungsgleichung 108
3.2.2 Der Einschwingvorgang 108
3.2.3 Reelle harmonische Anregung 109
3.2.4 Komplexe harmonische Anregung 111
3.2.5 Subharmonische und Ultraharmonische 113
3.2.6 Periodische Anregung 116
3.2.7 Breitbandige Anregung 116
3.2.8 Stossanregung 117
3.2.9 Einschaltprozesse 119
3.3 Anregung modulierter Iinearer Oszillatoren 121
3. 3. 1 Green -Funktionen 121
3. 3. 2 Anregung spezifischer modulierter Oszillatoren 123
3. 3. 3 Riickkopplung 125
3.4 Anregung nichtlinearer Lienard-Oszillatoren 127
3.4. 1 Allgemeine Gesetze 127
3.4.2 Periodische Anregung von Duffmg-Oszillatoren 128
3.4.3 Harmonische Anregung des van der Pol -Oszillators 134
4. S~GUNGEN DER SYSTEME 140
4.1 Ubersicht 140
4.2 Stromungen 143
4.2.1 Grundbegriffe 143
4. 2. 2 Potentialstromungen 150
4. 2. 3 Quellenfreie StrOmungen 153
4.2.4 Allgemeine StrOmungen 154
4.2.5 Zweidimensionale StrOmungen 155
7
4.3 Die zweidimensionaIen linearen d Alembert-Systeme 158
I
4.3. 1 Darstellungen 158
4. 3. 2 Zugeordnete Differentialgleichungen 160
4. 3. 3 Stabilitiit 162
4.3.4 Analyse des kritischen Punkts 163
4. 3. 5 Propagatoren 169
4. 3. 6 Hoherdimensionale d'Alembert Systeme 172
4.4 Konservative lineare mechanische Systeme 173
4.4.1 Lagrange-Mechanik der Systeme 173
4.4.2 Schwingungen 174
4.4.3 Molekiilschwingungen 175
4.5 Zeitabhiingige lineare Systeme 176
4.5.1 Homogene Systeme beliebiger Dimension 176
4. 5. 2 Stabilitiit homogener Systeme 180
4. 5. 3 Zweidimensionale homogene Systeme 181
4.5.4 Inhomogene Systeme 184
4.6 Grenzzyklen zweidimensionaIer nichtlinearer Systeme 185
4.6.1 Der Grenzzyklus 185
4.6.2 Rotationssymmetrische Systeme 186
4. 6. 3 Existenz von Grenzzyklen 193
4.7 Stabilitiitskriterien von Ljapunow 195
4.7.1 Leistung in einem konservativen Kraftfeld 195
4.7.2 Ljapunow-Funktionen und Stabilitat 196
4. 7. 3 Instabilitiit 197
4.7.4 Hamilton-Funktion als Ljapunow-Funktion 197
4.8 Populationsdynamik 200
4.8.1 Modelle 200
4.8.2 Einzelpopulationen 200
4. 8. 3 Das Lotka -Volterra Modell 201
8
5. SCHWINGUNGEN VON UBERTRAGUNGSSYSTEMEN 205
5.1 Zeitunabhiingige lineare Ubertragungssysteme 205
5.2 Regel -und Schwingkreise 209
5.3 Totzeitsysteme 212
5.3. 1 Normierte Totzeitsysteme 212
5.3.2 Totzeitsysteme in Regel-und Schwingkreisen 213
5. 3. 3 Nichtlineare Totzeitsysteme 215
6. INSTABILITAT UND CHAOS 217
6.1 Biforkation 217
6. 1. 1 Definition 217
6. 1. 2 Bifurkation autonomer Systeme 217
6. 1. 3 Heugabel-Bifurkation als Katastrophe 218
6. 1. 4 Hopf -Bifurkation 221
6.2 Instabilitiiten ond deterministisches Chaos 224
6.3 Die logistische Abbildong 228
6.4 Das Lorenz-Modell 231
7. LINEARE WELLEN 236
7.1 Grundlagen 236
7. 1. 1 Der Begriff Welle 236
7. 1. 2 Wellentypen 237
7. 1. 3 Grundgesetze linearer Wellen 239
7.2 Harmonische Wellen ond Wellengruppen 240
7.2.1 Komplexe und reelle harmonische Wellen 240
7. 2. 2 Dispersionsrelationen 242
7. 2. 3 Wellengeschwindigkeiten 244
7.2.4 Phasen-und Gruppendispersion 249
7. 2. 5 Enveloppen 251
9
7.3 Lineare Wellen in homogenen Medien 254
7.3. 1 Hertz -Gleichung 255
7.3.2 Reduzierte Hertz-Gleichung 255
7. 3. 3 Lineare Klein-Gordon-Gleichung 256
7.3.4 Lineare Diffusionsgleichung 258
7. 3. 5 Linearisierte Korteweg -de Vries Gleichung 259
7.3.6 Lineare Schrodinger-Gleichung 261
7.4 Lineare Wellen in periodischen Strukturen und Medien 262
7.4.1 Unendliche Ketten mit gleichen Federn und Massen 263
7.4.2 Unendliche Ketten mit gleichen Federn und altemierenden Massen 267
7.4.3 Periodische lineare optische Medien 270
7.4.4 Wellenmechanik eines Teilchens in einem periodischen Potential 280
8. NICHTLINEARE WELLEN 285
8.1 NichtIineare periodische und solitare Wellen 285
8.2 Dispersionsfreie nichtlineare Wellen 289
8.3 Nichtlineare Diffusion 290
8.4 Die Korteweg -de Vries Gleichung 291
8.4.1 Aequivalente Gleichungen 291
8.4.2 Korteweg -de Vries -Solitonen 294
8.4.3 Periodische Korteweg-de Vries Wellen 296
8.4.4 Verallgemeinerte Korteweg -de Vries -Gleichungen 297
8.5 Nichtlineare Klein -Gordon -Gleichungen 297
8.5. 1 Analoge Darstellungen 297
8. 5. 2 Sine -Gordon -Solitonen 300
8. 5. 3 Periodische Sine-Gordon-Wellen 303
8.6 Nichtlineare SchrOdinger-Gieichung 305
8.6.1 Wellenmechanik 305
8.6.2 Das Kerr-Medium 306
8. 6. 3 Solitonen im Kerr-Medium 308
8.6.4 Das Kerr-Medium mit Verstlirkung 310
10
8.7 Maxwell -Bloch -Gleichungen 311
8.8 Die Toda-Kette 315
8.8. 1 Die Bewegungs-Gleichung 315
8. 8. 2 Toda -Solitonen 316
8. 8. 3 Toda -Wellen 317
9. STEHENDE WELLEN 318
9.1 Stehende Wellen und Randbedingungen 318
9.2 Die frei schwingende homogene Saite 319
9.3 Sturm -Liouville -Systeme 322
9.4 Nichtlineare stehende Wellen 327
9.5 Erzwungene stehende Wellen 328
REFERENZEN 330
B. Biicher 330
Z. Publikationen in Zeitschriften 339
SACHREGISTER 343