Table Of ContentGerd Fischer
Lernbuch
Lineare Algebra
und Analytische
Geometrie
Das Wichtigste ausführlich für
das Lehramts- und Bachelorstudium
4. Auflage
Lernbuch Lineare Algebra und Analytische
Geometrie
Gerd Fischer
Lernbuch Lineare Algebra
und Analytische Geometrie
Das Wichtigste ausführlich für das
Lehramts- und Bachelorstudium
4., überarbeitete und erweiterte Auflage
Unter Mitwirkung von Florian Quiring
Gerd Fischer
Fakultät für Mathematik, M 10
Technische Universität München
Garching, Deutschland
ISBN 978-3-658-27342-2 ISBN 978-3-658-27343-9 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-658-27343-9
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Vorwort zur vierten Auflage
Im Vergleich zur ersten Auflage aus dem Jahr 2010 sind inzwischen einige wichtige
ThemenalsErgänzungenhinzugekommen,insbesondere
•
NeueBeweisefürdieGleichheitvonZeilenrangundSpaltenrangeinerMatrix
•
DualitätvonVektorräumen
•
MethodederkleinstenQuadrate
•
LR-undQR-Zerlegung
•
Singulärwertzerlegung
•
EulerscheWinkel
•
Trägheitstensoren
WeiterwurdedergesamteTextkritischdurchgesehenundanzahlreichenStellenüber-
arbeitet.MeinbesondererDankgiltdabeiBorisSpringbornfürwertvolleAnregungen
und Maja Hermann, die mit großer Sorgfalt das Manuskript überprüft und verbessert
hat. Schließlich danke ich Ulrike Schmickler-Hirzebruch vom Springer Verlag für
ihreengagierteVorbereitungdieserNeuauflage,sowieaufmerksamenLeserinnenund
Lesern für ihre Hinweise auf Unklarheiten und Fehler. Zu derartigen Kommentaren
möchteichauchweiterhinermuntern.
MünchenundGarching,imJuni2019 GerdFischer
VI Vorwort
Vorwort zur ersten Auflage
DieLineareAlgebraistim19.Jahrhundertentstanden,zunächstalsTeilderGeometrie;
sie wurde aber im Laufe des 20. Jahrhunderts zu einem unentbehrlichen Hilfsmittel
inallenTeilenderMathematik.DarüberhinausbenutzenvieleandereWissenschaften
–wiebeispielsweisePhysik,Informatik,TechnikundÖkonomie–MethodenderLinea-
ren Algebra. Dem entsprechend ist die Lineare Algebra zusammen mit Aspekten der
analytischenGeometriefestverankertimCurriculumderStudienanfänger.
DiezentralenThemendiesesBuchessindVektorräume,lineareundbilineareAbbil-
dungen, Determinanten und Eigenwerte, mit ihren Anwendungen auf die Geometrie.
Eswirdversucht,dieelementarenGrundlagensehrausführlichdarzustellen,illustriert
durch zahlreiche im Detail erklärte und durchgerechnete Beispiele, sowie viele Bilder,
diehelfensollen,dengeometrischenHintergrundfürabstrakteKonzepteaufzuhellen.
DaherderName„Lernbuch“:EssollStudierendenhelfen,alsBegleittextzueinerVorle-
sungauchzusätzlicheHintergründeundErgänzungenbereitzustellen,undsodasVer-
ständnis zu vertiefen. Weitergehende interaktive Visualisierungen mit „dynamischer
Geometrie“findetmanunter
www.mathe-vital.de
BeimStudiumderMathematikistesbesonderswichtig,dieabstraktenBegriffeund
technischenMethodenzunächstanschaulichzumotivieren,umihreEntstehungzuer-
klären und ihre enorme Wirksamkeit deutlich zu machen. Die Mathematik hat über
Jahrtausende eine stetige Entwicklung durchlaufen; was EUKLID um 300 v. Chr. be-
wiesen hat, ist auch heute noch gültig. Um Studierenden einen besseren Einblick in
dieGeschichtezuermöglichen,sindnebenhistorischenAnmerkungenauchzahlreiche
grundlegende mathematische Veröffentlichungen der Vergangenheit im Literaturver-
zeichnis zitiert. Ein Gang in die Bibliothek und ein Blick in die alten Bücher kann ein
äußerstspannendesErlebnissein!
Kapitel0solldenÜbergangvonderSchulezurHochschuleherstellenunddenEin-
stiegindasStudiumderMathematikerleichtern. ZukünftigeLehrerkannesauchauf
denWegzurückindieSchulevorbereiten,undspäterdortbegleiten.Eswirddabeiver-
sucht,demLeitmotivvon FELIX KLEIN –einerElementarmathematikvomhöherenStand-
punkt–zufolgen;einemStandpunktetwashöheralsdieMathematikinderSchule,aber
nichtüberdenWolken.ZieldieseseinführendenKapitelsistdieauf GAUSS zurückge-
hendesystematischeMethodederEliminationzurLösunglinearerGleichungssysteme.
DasistundbleibtdaswichtigsteErgebnisderelementarenLinearenAlgebra.
In Kapitel 1 wird der in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts begonnene sys-
tematische und axiomatische Aufbau der Mathematik skizziert. Das gehört heute zu
den Grundlagen aller Teile der Mathematik, muss aber nicht gleich zu Beginn in die-
ser Ausführlichkeit studiert werden. Als zentrales Projekt wurde der von DEDEKIND
begonnenesystematischeAufbaudesSystemsderZahlen,vondennatürlichenbiszu
den komplexen Zahlen, aufgenommen. Einschließlich eines technisch anspruchsvolle-
renAbschnittsübereineKonstruktiondesKörpersderreellenZahlenunddieZusam-
menhängemitDezimalbrüchen.
Vorwort VII
Kapitel2enthältdiegrundlegendenDingederLinearenAlgebra,soweitsieohneBe-
nutzungvonDeterminantenbehandeltwerdenkönnen.AlsAnwendungwerdenauch
lineareGleichungssystemenocheinmalinallgemeineremRahmenbeschrieben.Kapitel
3dientderBeschreibungvonDeterminanten;dabeiwirdauchetwasausführlicherauf
dieinvielenanderenZusammenhängenwichtigenPermutationeneingegangen.Damit
sind die Vorbereitungen getroffen für den etwas fortgeschritteneren Teil der Linearen
Algebra, die Theorie der Eigenwerte in Kapitel 4. Sie führt bis hin zur JORDANschen
Normalform,zuderenVerständnisetwasÜbungmitalldengrundlegendenTechniken
derLinearenAlgebranötigist.
In Kapitel 5 werden schließlich bilineare Abbildungen, sowie im reellen und kom-
plexen Fall metrische Eigenschaften behandelt. Die geometrische Seite davon ist die
klassische Theorie der Kegelschnitte und Quadriken, die viele Anwendungen auch in
derPhysikhat.LeidersinddiesespannendenThemen,hoffentlichnurvorübergehend,
ausdenLehrplänenderGymnasiensogutwieverschwunden.
AlsHilfestellungfürdieLektüresindTeile,diemaneventuellzunächstüberspringen
kann, mit einem * markiert. Die Hinweise in eckigen Klammern, etwa [EU], beziehen
sichaufdasLiteraturverzeichnis.UmdasLernenzuerleichtern,sindInhaltsverzeichnis
undIndexsehrumfangreichgestaltet.
Dieses „Lernbuch“ enthält inhaltlich, aber wesentlich ausführlicher in der Darstel-
lung, die wichtigsten Themen aus den beiden „klassischen“ Büchern [FI1] und [FI2];
dort werden darüber hinaus auch weiterführende Dinge wie Dualität, Tensorproduk-
te und projektive Geometrie behandelt. Viele spannende Anwendungen der Linearen
Algebrafindetmanin[STR].
Trotz aller Sorgfalt bei den Korrekturen des Textes ist es erfahrungsgemäß kaum zu
vermeiden,dassnochDruckfehlerundUngenauigkeitenverbliebensind.Dahermöch-
te ich alle Leserinnen und Leser, die fündig geworden sind bitten, mir die kritischen
Stellenmitzuteilen,an
gfi[email protected]
Mein Dank gilt all den Helferinnen und Helfern, die beim Entstehen dieses Buches
mitgewirkt haben. In erster Linie meinem langjährigen Mitarbeiter Florian Quiring,
dem Meister der Bilder Fabian Biebl, Bernhard Hanke für nützliche Hinweise, sowie
Eva Dörfler, Vanessa Krummeck, Matthias Lehner, Jutta Niebauer, Michael Vogt und
auch den Studierenden der TU München, die mich mit kritischen Bemerkungen im-
merwiederzuVerbesserungenundErgänzungenangeregthaben.DieTUM-Schoolof
EducationhatdieVeröffentlichungmitMittelnderDeutschenTelekomStiftungunter-
stützt.SchließlichdankeichUlrikeSchmickler-Hirzebruchsehrherzlichfürihrestetige
Ermutigung,diesesProjektinAngriffzunehmenundzügigzuEndezubringen.
München,imSeptember2010 GerdFischer
Inhalt
0 LineareGeometrieimn-dimensionalenreellenRaum 1
0.1 Dern-dimensionalereelleRaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.1.1 Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.1.2 DerVektorraumRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.1.3 MultiplikationvonVektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
0.2 Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
0.2.1 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
0.2.2 GeradenimRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
0.2.3 GeradeninderEbene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
0.3 AbständeundWinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
0.3.1 DasSkalarproduktimRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
0.3.2 AnwendungeninderElementargeometrie. . . . . . . . . . . . . . . . . 23
0.3.3 WinkelimRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
0.3.4 SenkrechteVektorenundAbstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
0.3.5 DieHESSEscheNormalformeinerGeradengleichung . . . . . . . . . . 36
0.3.6 LineareUnabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
0.3.7 DasVektorproduktimR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
0.3.8 AbstandvonGeraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
0.4 Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
0.4.1 EbenenimRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
0.4.2 EbenenimR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
0.4.3 AbstandeinesPunktesvoneinerEbene . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
0.4.4 DasSpatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
0.5 LineareGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
0.5.1 ZweiGeradeninderEbene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
0.5.2 BeschreibungdurchMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
0.5.3 KoeffizientenmatrixinZeilenstufenform . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
0.5.4 DasGAUSSscheEliminationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
0.5.5 WahlderPivotsundRundungsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
X Inhalt
1 Grundlagen 83
1.1 Mengen,Relationen,Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1.1.1 MengenundTeilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1.1.2 OperationenmitMengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
1.1.3 Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.1.4 AbzählbareMengen* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
1.1.5 Äquivalenzrelationen* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
1.2 HalbgruppenundGruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
1.2.1 DienatürlichenZahlen* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
1.2.2 VerknüpfungenundHalbgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
1.2.3 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
1.2.4 DieganzenZahlenalsadditiveGruppe* . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
1.2.5 UntergruppenundHomomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
1.3 RingeundKörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
1.3.1 DieganzenZahlenalsRing* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
1.3.2 DerKörperderrationalenZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
1.3.3 DezimalbruchentwicklungrationalerZahlen* . . . . . . . . . . . . . . . 129
1.3.4 KonstruktionderreellenZahlen* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
1.3.5 ReelleZahlenalsDezimalbrüche* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
1.3.6 KomplexeZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
1.3.7 EndlicheKörper* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
1.3.8 RückblickundAusblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
1.4 Polynome* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
1.4.1 PolynomeundPolynomfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
1.4.2 DerRingderPolynome. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
1.4.3 DivisionmitRest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
1.4.4 NullstellenundWertevonPolynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
1.4.5 EineVorzeichenregelfürreellePolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
1.4.6 DerFundamentalsatzderAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
2 VektorräumeundlineareAbbildungen 177
2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
2.1.1 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
2.1.2 Untervektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
2.1.3 OperationenmitUntervektorräumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
2.1.4 LineareUnabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
2.2 BasisundDimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
2.2.1 ErzeugendensystemeundBasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
2.2.2 DimensioneinesVektorraums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
2.2.3 CharakterisierungeneinerBasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
2.2.4 PraktischeVerfahrenzurBestimmungeinerBasis . . . . . . . . . . . . 203
2.2.5 SummenunddirekteSummen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Inhalt XI
2.3 LineareAbbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
2.3.1 DefinitionenundBeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
2.3.2 ElementareEigenschaftenlinearerAbbildungen . . . . . . . . . . . . . 219
2.3.3 SpeziellelineareAbbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
2.3.4 EineDimensionsformelfürlineareAbbildungen . . . . . . . . . . . . . 227
2.3.5 LineareGleichungssystemeundderRangeinerMatrix . . . . . . . . . 229
2.3.6 Quotientenvektorräume* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
2.4 LineareAbbildungenundMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
2.4.1 ErzeugunglinearerAbbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
2.4.2 DiedarstellendeMatrixeinerlinearenAbbildung . . . . . . . . . . . . 248
2.4.3 MultiplikationvonMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
2.4.4 RechenregelnfürMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
2.4.5 DieallgemeinelineareGruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
2.4.6 Elementarmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
2.4.7 LineareGleichungssystemeundElementarmatrizen* . . . . . . . . . . 272
2.4.8 DieLR-Zerlegung* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
2.4.9 Dualität* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
2.5 Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
2.5.1 BasistransformationenundKoordinatentransformationen. . . . . . . . 283
2.5.2 TransformationsformelfürlineareAbbildungen . . . . . . . . . . . . . 286
2.5.3 EineNormalformfürdarstellendeMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . 288
3 Determinanten 293
3.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
3.1.1 LineareGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
3.1.2 FlächeninhaltundOrientierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
3.2 BerechnungvonDeterminanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
3.2.1 AxiomefürDeterminanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
3.2.2 WeitereEigenschaftenderDeterminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
3.2.3 Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
3.2.4 DiealternierendeGruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
3.2.5 ExistenzundEindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
3.3 Minoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
3.3.1 DiekomplementäreMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
3.3.2 LAPLACE-Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
3.3.3 DieCRAMERscheRegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
4 Eigenwerte 329
4.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
4.1.1 EigenwerteundEigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
4.1.2 EndomorphismendesR2* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
4.1.3 Differentialgleichungen* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
4.1.4 DascharakteristischePolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
4.1.5 BestimmungvonEigenwertenohneDeterminanten*. . . . . . . . . . . 345
