Lernbuch Lineare Algebra : Das Wichtigste ausführlich für das Lehramts- und Bachelorstudium

431 Pages·2010·3.03 MB·German

by  Gerd Fischer

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Aus dem Programm LLLLiiiinnnneeeeaaaarrrreeee AAAAllllggggeeeebbbbrrrraaaa
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Vorwort
DieLineareAlgebraistim19.Jahrhundertentstanden,zunächstalsTeilderGeometrie;
sie wurde aber im Laufe des 20. Jahrhunderts zu einem unentbehrlichen Hilfsmittel
inallenTeilenderMathematik.DarüberhinausbenutzenvieleandereWissenschaften
–wiebeispielsweisePhysik,Informatik,TechnikundÖkonomie–MethodenderLinea-
ren Algebra. Dem entsprechend ist die Lineare Algebra zusammen mit Aspekten der
analytischenGeometriefestverankertimCurriculumderStudienanfänger.
DiezentralenThemendiesesBuchessindVektorräume,lineareundbilineareAbbil-
dungen, Determinanten und Eigenwerte, mit ihren Anwendungen auf die Geometrie.
Eswirdversucht,dieelementarenGrundlagensehrausführlichdarzustellen,illustriert
durch zahlreiche im Detail erklärte und durchgerechnete Beispiele, sowie viele Bilder,
diehelfensollen,dengeometrischenHintergrundfürabstrakteKonzepteaufzuhellen.
DaherderName„Lernbuch“:EssollStudierendenhelfen,alsBegleittextzueinerVorle-
sungauchzusätzlicheHintergründeundErgänzungenbereitzustellen,undsodasVer-
ständnis zu vertiefen. Weitergehende interaktive Visualisierungen mit „dynamischer
Geometrie“findetmanunter
www.mathe-vital.de
BeimStudiumderMathematikistesbesonderswichtig,dieabstraktenBegriffeund
technischenMethodenzunächstanschaulichzumotivieren,umihreEntstehungzuer-
klären und ihre enorme Wirksamkeit deutlich zu machen. Die Mathematik hat über
Jahrtausende eine stetige Entwicklung durchlaufen; was EUKLID um 300 v. Chr. be-
wiesen hat, ist auch heute noch gültig. Um Studierenden einen besseren Einblick in
dieGeschichtezuermöglichen,sindnebenhistorischenAnmerkungenauchzahlreiche
grundlegende mathematische Veröffentlichungen der Vergangenheit im Literaturver-
zeichnis zitiert. Ein Gang in die Bibliothek und ein Blick in die alten Bücher kann ein
äußerstspannendesErlebnissein!
Kapitel0solldenÜbergangvonderSchulezurHochschuleherstellenunddenEin-
stiegindasStudiumderMathematikerleichtern.ZukünftigeLehrerkannesauchauf
denWegzurückindieSchulevorbereiten,undspäterdortbegleiten.Eswirddabeiver-
sucht,demLeitmotivvon FELIX KLEIN –einerElementarmathematikvomhöherenStand-
punkt–zufolgen;einemStandpunktetwashöheralsdieMathematikinderSchule,aber
nichtüberdenWolken.ZieldieseseinführendenKapitelsistdieauf GAUSS zurückge-
hende Methode der Elimination zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Das ist und
bleibtdaswichtigsteErgebnisderelementarenLinearenAlgebra.
In Kapitel 1 wird der in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts begonnene sys-
tematische und axiomatische Aufbau der Mathematik skizziert. Das gehört heute zu
den Grundlagen aller Teile der Mathematik, muss aber nicht gleich zu Beginn in die-
ser Ausführlichkeit studiert werden. Als zentrales Projekt wurde der von DEDEKIND
begonnenesystematischeAufbaudesSystemsderZahlen,vondennatürlichenbiszu
den komplexen Zahlen, aufgenommen. Einschließlich eines technisch anspruchsvolle-
renAbschnittsübereineKonstruktiondesKörpersderreellenZahlenunddieZusam-
menhängemitDezimalbrüchen.
VI Vorwort
Kapitel2enthältdiegrundlegendenDingederLinearenAlgebra,soweitsieohneBe-
nutzungvonDeterminantenbehandeltwerdenkönnen.AlsAnwendungwerdenauch
lineareGleichungssystemenocheinmalinallgemeineremRahmenbeschrieben.Kapitel
3dientderBeschreibungvonDeterminanten;dabeiwirdauchetwasausführlicherauf
dieinvielenanderenZusammenhängenwichtigenPermutationeneingegangen.Damit
sind die Vorbereitungen getroffen für den etwas fortgeschritteneren Teil der Linearen
Algebra, die Theorie der Eigenwerte in Kapitel 4. Sie führt bis hin zur JORDANschen
Normalform,zuderenVerständnisetwasÜbungmitalldengrundlegendenTechniken
derLinearenAlgebranötigist.
In Kapitel 5 werden schließlich bilineare Abbildungen, sowie im reellen und kom-
plexen Fall metrische Eigenschaften behandelt. Die geometrische Seite davon ist die
klassische Theorie der Kegelschnitte und Quadriken, die viele Anwendungen auch in
derPhysikhat.LeidersinddiesespannendenThemen,hoffentlichnurvorübergehend,
ausdenLehrplänenderGymnasiensogutwieverschwunden.
AlsHilfestellungfürdieLektüresindTeile,diemaneventuellzunächstüberspringen
kann, mit einem * markiert. Die Hinweise in eckigen Klammern, etwa [EU], beziehen
sichaufdasLiteraturverzeichnis.UmdasLernenzuerleichtern,sindInhaltsverzeichnis
undIndexsehrumfangreichgestaltet.
Dieses „Lernbuch“ enthält inhaltlich, aber wesentlich ausführlicher in der Darstel-
lung, die wichtigsten Themen aus den beiden „klassischen“ Büchern [FI1] und [FI2];
dort werden darüber hinaus auch weiterführende Dinge wie Dualität, Tensorproduk-
te und projektive Geometrie behandelt. Viele spannende Anwendungen der Linearen
Algebrafindetmanin[STR].
TrotzallerSorgfaltbeidenKorrekturendesTextesisteserfahrungsgemäßkaumzu
vermeiden,dassnochDruckfehlerundUngenauigkeitenverbliebensind.Dahermöch-
te ich alle Leserinnen und Leser, die fündig geworden sind bitten, mir die kritischen
Stellenmitzuteilen,an
gfi[email protected]
AufmeinerHomepage
http://www-m10.ma.tum.de/bin/view/Lehrstuhl/GerdFischer
wird dann eine Seite mit Verbesserungen eingerichtet, außerdem findet sich dort eine
SammlungvonÜbungsaufgaben.
Mein Dank gilt all den Helferinnen und Helfern, die beim Entstehen dieses Buches
mitgewirkt haben. In erster Linie meinem langjährigen Mitarbeiter Florian Quiring,
dem Meister der Bilder Fabian Biebl, Bernhard Hanke für nützliche Hinweise, sowie
Eva Dörfler, Vanessa Krummeck, Matthias Lehner, Jutta Niebauer, Michael Vogt und
auch den Studierenden der TU München, die mich mit kritischen Bemerkungen im-
merwiederzuVerbesserungenundErgänzungenangeregthaben.DieTUM-Schoolof
EducationhatdieVeröffentlichungmitMittelnderDeutschenTelekomStiftungunter-
stützt.SchließlichdankeichUlrikeSchmickler-Hirzebruchsehrherzlichfürihrestetige
Ermutigung,diesesProjektinAngriffzunehmenundzügigzuEndezubringen.
München,imSeptember2010 GerdFischer
Inhalt
0 LineareGeometrieimn-dimensionalenreellenRaum 1
0.1 Dern-dimensionalereelleRaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.1.1 Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.1.2 DerVektorraumRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.1.3 MultiplikationvonVektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
0.2 Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
0.2.1 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
0.2.2 GeradenimRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
0.2.3 GeradeninderEbene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
0.3 AbständeundWinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
0.3.1 DasSkalarproduktimRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
0.3.2 AnwendungeninderElementargeometrie. . . . . . . . . . . . . . . . . 22
0.3.3 WinkelimRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
0.3.4 SenkrechteVektorenundAbstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
0.3.5 DieHESSEscheNormalformeinerGeradengleichung . . . . . . . . . . 35
0.3.6 LineareUnabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
0.3.7 DasVektorproduktimR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
0.3.8 AbstandvonGeraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
0.4 Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
0.4.1 EbenenimRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
0.4.2 EbenenimR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
0.4.3 AbstandeinesPunktesvoneinerEbene . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
0.4.4 DasSpatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
0.5 LineareGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
0.5.1 ZweiGeradeninderEbene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
0.5.2 BeschreibungdurchMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
0.5.3 KoeffizientenmatrixinZeilenstufenform . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
0.5.4 DasEliminationsverfahrennachGAUSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
0.5.5 WahldesPivotsundRundungsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1 Grundlagen 79
1.1 Mengen,Relationen,Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.1.1 MengenundTeilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
VIII Inhalt
1.1.2 OperationenmitMengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.1.3 Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1.1.4 AbzählbareMengen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.1.5 Äquivalenzrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
1.2 HalbgruppenundGruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
∗
1.2.1 DienatürlichenZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
1.2.2 VerknüpfungenundHalbgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
1.2.3 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
∗
1.2.4 DieganzenZahlenalsadditiveGruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
1.2.5 UntergruppenundHomomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
1.3 RingeundKörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
1.3.1 DieganzenZahlenalsRing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
1.3.2 DerKörperderrationalenZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
∗
1.3.3 DezimalbruchentwicklungrationalerZahlen . . . . . . . . . . . . . . . 124
∗
1.3.4 KonstruktionderreellenZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
∗
1.3.5 ReelleZahlenalsDezimalbrüche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
1.3.6 KomplexeZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
∗
1.3.7 EndlicheKörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
1.3.8 RückblickundAusblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
1.4 Polynome. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
1.4.1 PolynomeundPolynomfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
1.4.2 DerRingderPolynome. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
1.4.3 DivisionmitRest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
1.4.4 NullstellenvonPolynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
1.4.5 EineVorzeichenregelfürreellePolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
1.4.6 DerFundamentalsatzderAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
2 VektorräumeundlineareAbbildungen 171
2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
2.1.1 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
2.1.2 Untervektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
2.1.3 OperationenmitUntervektorräumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
2.1.4 LineareUnabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
2.2 BasisundDimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
2.2.1 ErzeugendensystemeundBasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
2.2.2 DimensioneinesVektorraums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
2.2.3 CharakterisierungeneinerBasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
2.2.4 PraktischeVerfahrenzurBestimmungeinerBasis . . . . . . . . . . . . 196
2.2.5 SummenunddirekteSummen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
2.2.6 DerRangeinerMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
2.3 LineareAbbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
2.3.1 DefinitionenundBeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
2.3.2 ElementareEigenschaftenlinearerAbbildungen . . . . . . . . . . . . . 214
2.3.3 SpeziellelineareAbbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
2.3.4 EineDimensionsformelfürlineareAbbildungen . . . . . . . . . . . . . 221
Inhalt IX
2.3.5 LineareGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
2.3.6 Quotientenvektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
2.4 LineareAbbildungenundMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
2.4.1 ErzeugunglinearerAbbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
2.4.2 DiedarstellendeMatrixeinerlinearenAbbildung . . . . . . . . . . . . 236
2.4.3 MultiplikationvonMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
2.4.4 RechenregelnfürMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
2.4.5 DieallgemeinelineareGruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
2.4.6 Elementarmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
2.4.7 LineareGleichungssystemeundElementarmatrizen . . . . . . . . . . . 258
2.5 Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
2.5.1 BasistransformationenundKoordinatentransformationen. . . . . . . . 260
2.5.2 TransformationsformelfürlineareAbbildungen . . . . . . . . . . . . . 263
2.5.3 EineNormalformfürdarstellendeMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . 265
3 Determinanten 269
3.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
3.1.1 LineareGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
3.1.2 FlächeninhaltundOrientierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
3.2 BerechnungvonDeterminanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
3.2.1 AxiomefürDeterminanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
3.2.2 WeitereEigenschaftenderDeterminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
3.2.3 Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
3.2.4 DiealternierendeGruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
3.2.5 ExistenzundEindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
3.3 Minoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
3.3.1 DiekomplementäreMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
3.3.2 LAPLACE-Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
3.3.3 DieCRAMERscheRegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
4 Eigenwerte 301
4.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
4.1.1 EigenwerteundEigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
4.1.2 EndomorphismendesR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
4.1.3 Differentialgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
4.1.4 DascharakteristischePolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
4.2 DiagonalisierungundTrigonalisierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
4.2.1 Diagonalisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
4.2.2 GeometrischeundalgebraischeVielfachheit . . . . . . . . . . . . . . . . 317
4.2.3 RechenverfahrenzurDiagonalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
∗
4.2.4 Trigonalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
∗
4.2.5 ZerlegunginHaupträume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
∗
4.2.6 NilpotenteEndomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
∗
4.2.7 DieJORDANscheNormalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
X Inhalt
5 BilineareAlgebraundGeometrie 343
5.1 Kegelschnitte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
5.1.1 DieGleichungenderebenenSchnitteeinesKreiskegels . . . . . . . . . 343
5.1.2 GeometrischeEigenschaftenderKegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . 346
5.2 Bilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
5.2.1 DefinitionenundbeschreibendeMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
5.2.2 TransformationsformelfürdarstellendeMatrizen. . . . . . . . . . . . . 353
5.2.3 EntartungundRangeinerBilinearform . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
5.2.4 DiagonalisierungeinersymmetrischenBilinearform . . . . . . . . . . . 356
5.2.5 DasTrägheitsgesetzvonSYLVESTER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
5.2.6 ExkursüberaffineGeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
5.2.7 Quadriken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
5.3 EuklidischeundunitäreVektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
5.3.1 HermitescheFormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
5.3.2 Definitheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
5.3.3 Orthogonalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
5.3.4 OrthogonaleundunitäreEndomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . 391
5.3.5 SelbstadjungierteEndomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
5.3.6 HauptachsentransformationvonQuadriken. . . . . . . . . . . . . . . . 403
5.3.7 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
Literaturverzeichnis 415
Index 417
Symbolverzeichnis 423