Lehrbuch der Technischen Mechanik - Dynamik: Eine anschauliche Einführung

464 Pages·2012·36.91 MB·German

by  Rolf Mahnken (auth.)

Springer-Lehrbuch
Rolf Mahnken
Lehrbuch der
Technischen Mechanik –
Dynamik
Eine anschauliche Einführung
2., bearbeitete Auflage
123
Prof.Dr.-Ing.RolfMahnken,M.Sc.
UniversitätPaderborn
FakultätfürMaschinenbau
LehrstuhlfürTechnischeMechanik
WarburgerStraße100
33098Paderborn
Deutschland
[email protected]
ISBN 978-3-642-19837-3 e-ISBN 978-3-642-19838-0
DOI 10.1007/978-3-642-19838-0
SpringerHeidelbergDordrechtLondonNewYork
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Vorwortzur zweitenAuflage
Die erste Auflage dieses Buches hat einen breiten Leserkreis gefunden, so dass sich der
Springer-Verlag und der Autor entschlossen haben, diese überarbeitete und vervollständigte
2.Auflagezuveröffentlichen. Insbesondere sindeinigeAnregungenvondenLesernberück-
sichtigtworden,fürdiesichderAutorandieserStellebedanken möchte.DesWeiterenwur-
dendieLösungenzudenBeispielaufgaben weitgehend vervollständigt.
Paderborn,imJuli2011 RolfMahnken
VI
Vorwortzurersten Auflage
Nahezu jede Konstruktion im Maschinenbau erfährt Bewegungen und dynamische Bean-
spruchungen, wofürdasAutomobileinallgegenwärtiges Beispielist.IndentäglichenNach-
richten werden wir immer wieder mit Meldungen konfrontriert, in denen über den Ein-
sturz von Baukonstruktionen infolge von Erschütterungen bei Erdbeben berichtet wird.
Eineeingehende Beschäftigung mitBewegungenunddynamischen Beanspruchungen istfür
Studierende vieler Ingenieurbereiche also von grundsätzlicher Bedeutung, um die Sicher-
heitstechnik im späteren Berufsleben verantwortungsvoll umsetzen zu können. Das vor-
liegende Buch richtet sich somit insbesondere an Studentinnen und Studenten der Fach-
richtungen Maschinenbau, Bauingenieurwesen, Elektrotechnik, Wirtschaftsingenieurwesen,
Technomathematik, Ingenieurinformatik, Mechatronik, Verfahrenstechnik und Lehramt so-
wieanIngenieure inder beruflichen Praxis. Entsprechend wird dieDynamik starrer Körper
umfassendbehandelt. ZumVerständnisdesBucheswerdendieGrundlagenderStatikstarrer
KörperundderFestigkeitslehre vorausgesetzt.
DasBuchistausgleichnamigenVorlesungenentstanden,diederAutorimWintersemester
1996/97anderUniversitätHannoverfürStudentendesBauingenieurwesensgehaltenhatund
seitdemWintersemester2002/03anderUniversitätPaderbornfürStudentendesMaschinen-
baus und der Technomathematik hält und weiterentwickelt. Dabei wurden und werden auch
weiterhindieunterschiedlichen fachlichen Schwerpunkte derverschiedenen Hörerkreise be-
rücksichtigt.SiesindindiesesBucheingegangenundtragenzuderumfassendenDarstellung
derDynamikstarrerKörperbei.
Besonders bedanken möchte ich mich bei den Mitarbeitern des Lehrstuhls für Tech-
nische Mechanik, Universität Paderborn, Herrn Dr.-Ing. Stefan Neumann, Herrn Dipl.-Ing.
Manuel Hentrich, Herrn Dipl.-Ing. Stefan Wilmanns und Herrn Dipl.-Ing. Kim Sauerland
für die Unterstützung bei der Erstellung der Übungsaufgaben. Des Weiteren sei den Hilfs-
assistenten Kai-Uwe Widany, David Wuttke, Vera Caylak und Jan Kohlhoff bei der Bear-
beitung derÜbungsaufgaben undderDurchsicht desSkriptes gedankt. DenGrafikernHerrn
Kai Yang und Herrn Qiang Xu sowie der Grafikerin Frau Ilka Crimi sei für die sorgfältige
Anfertigungderanschaulichen Abbildungen gedankt.Fürdiefreundliche Bereitstellung von
Bildmaterial bedanke ich michbei dem Mercedes-Benz WerkSindelfingen sowieder Firma
ALSTOM(Schweiz)AG,Baden,Schweiz.DemSpringerVerlagundinsbesondere FrauEva
Hestermann-Beyerle möchteichfürdieguteZusammenarbeit danken.
Paderborn,imJuni2009 RolfMahnken
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung ......................................................... 1
1.1 Aufgabenstellungen derDynamik..................................... 1
1.2 EinigeMeilensteine inderGeschichte derDynamik ..................... 3
1.3 EinteilungundInhaltedesBuches .................................... 5
1.4 ZieledesBuches................................................... 6
2 DieKinematikdesPunktes .......................................... 9
2.1 Diegeradlinige BewegungvonPunkten ............................... 9
2.1.1 Ort,Geschwindigkeit undBeschleunigung ....................... 9
2.1.2 Integrationsaufgaben. ......................................... 14
2.1.3 DiesechsGrundaufgaben derPunktkinematik .................... 16
2.1.4 AufgabenzuAbschnitt2.1 .................................... 21
2.2 DieräumlicheBewegungvonPunkten ................................ 26
2.2.1 Ort,Geschwindigkeit undBeschleunigung ....................... 26
2.2.2 Raumfestekartesische Koordinaten ............................. 28
2.2.3 Zylinderkoordinaten .......................................... 31
2.2.4 NatürlicheKoordinaten ....................................... 37
2.2.5 Zusammenfassung zudenverschiedenen Koordinatensystemen ...... 45
2.2.6 AufgabenzuAbschnitt2.2..................................... 46
2.3 Kreisbewegungen vonPunktenumfesteundmomentaneAchsen .......... 51
2.3.1 Kreisbewegungen um feste Achsen in mitrotierenden kartesischen
Koordinaten ................................................. 51
2.3.2 Kreisbewegungen ummomentanerichtungstreue Achsen ........... 55
2.3.3 Kreisbewegungen ummomentaneAchsenmitRichtungsänderungen . 59
2.3.4 AufgabenzuAbschnitt2.3 .................................... 64
3 KinetikdesMassenpunktes .......................................... 69
3.1 DiedreiNewtonschenAxiomederklassischen Mechanik................. 69
3.2 Dasdynamische Grundgesetz fürdenMassenpunkt...................... 71
3.2.1 Vektorielle Formulierung des dynamischen Grundgesetzes und
Ersatzmodell ................................................ 71
3.2.2 Dasdynamische Grundgesetz inraumfestenkartesischen Koordinaten 73
VIII Inhaltsverzeichnis
3.2.3 Lösungsschritte fürAufgabenderKinetik ........................ 74
3.2.4 GeführteBewegungen ........................................ 78
3.2.5 Dasdynamische Grundgesetz inZylinderkoordinaten .............. 79
3.2.6 Dasdynamische Grundgesetz innatürlichen Koordinaten ........... 82
3.2.7 Das dynamische Grundgesetz in mitrotierenden kartesischen
Koordinaten ................................................. 84
3.2.8 Zusammenfassung zudenverschiedenen Koordinatensystemen ...... 85
3.2.9 AufgabenzuAbschnitt3.2 .................................... 85
3.3 Kraftgesetze derKinetik ............................................ 89
3.3.1 EinteilungvonKräften ....................................... 89
3.3.2 DaslineareKraftgesetz fürFedern .............................. 90
3.3.3 DaslineareKraftgesetz fürDämpfer ............................ 90
3.3.4 DasReibungsgesetz nachCoulomb ............................. 91
3.3.5 DerRollwiderstand amRad.................................... 92
3.3.6 Kraftgesetze fürBewegungenineinemfluidenMedium ............ 94
3.3.7 Lösungenfürgeschwindigkeitsabhängige Beschleunigungen ........ 97
3.3.8 DasGravitationsgesetz. ....................................... 100
3.3.9 DieKeplerschenGesetze ...................................... 103
3.3.10 AufgabenzuAbschnitt3.3 .................................... 106
3.4 DasPrinzipvond’Alembert ......................................... 110
3.4.1 Kräfte-undMomentengleichgewichtsbedingungen ................ 110
3.4.2 Zentrifugalkräfte ............................................. 111
3.4.3 AufgabenzuAbschnitt3.4..................................... 113
4 DerArbeitssatzundderEnergiesatzfürdenMassenpunkt ................ 115
4.1 DieArbeiteinerKraftentlang einerBahn .............................. 115
4.1.1 Vorbetrachtungen zumArbeitsbegriff............................ 115
4.1.2 Berechnung derArbeitimallgemeinen Fall....................... 116
4.1.3 DasArbeitsdifferenzial inraumfesten kartesischen Koordinaten ..... 118
4.1.4 DasArbeitsdifferenzial inZylinderkoordinaten. ................... 118
4.1.5 DasArbeitsdifferenzial innatürlichen Koordinaten ................ 118
4.1.6 DasArbeitsdifferenzial inmitrotierenden kartesischen Koordinaten .. 119
4.1.7 LeistungundWirkungsgrad ................................... 125
4.1.8 ArbeitundLeistungbeieinerKreisbewegung..................... 127
4.1.9 AufgabenzuAbschnitt4.1 .................................... 128
4.2 DerArbeitssatz fürdenMassenpunkt.................................. 132
4.2.1 HerleitungdesArbeitssatzes ................................... 132
4.2.2 AufgabenzuAbschnitt4.2 .................................... 133
4.3 DerEnergiesatz fürGewichts-undFederkräfte.......................... 134
4.3.1 KräftemitundohnePotenzialeigenschaften ...................... 134
4.3.2 Potenzialfunktionen fürGewichts-undFederkräfte ................ 135
4.3.3 HerleitungdesEnergiesatzes fürGewichts-undFederkräfte......... 137
4.3.4 DerEnergiesatz fürbeliebige Systeme ........................... 138
4.3.5 AufgabenzuAbschnitt4.3..................................... 141
Inhaltsverzeichnis IX
4.4 Vektoranalysis derPotenzialkräfte .................................... 147
4.4.1 Eigenschaften vonPotenzialkräften ............................. 148
4.4.2 DerEnergiesatz fürPotenzialkräfte ............................. 151
4.4.3 AufgabenzuAbschnitt4.4 .................................... 152
5 KinematikundKinetikdesMassenpunktsystems ........................ 155
5.1 KinematikdesMassenpunktsystems .................................. 155
5.1.1 KinematischeGrößendesSchwerpunktes ........................ 155
5.1.2 DieWinkelgeschwindigkeit desstarrenMassenpunktsystems ....... 158
5.1.3 AufgabenzuAbschnitt5.1 .................................... 162
5.2 Grundlagen derKinetikfürdasMassenpunktsystem ..................... 163
5.3 DerSchwerpunktsatz fürdasMassenpunktsystem ....................... 165
5.3.1 VektorielleFormulierung desSchwerpunktsatzes. ................. 165
5.3.2 DerSchwerpunktsatz inverschiedenen Koordinatensystemen ....... 166
5.3.3 AufgabenzuAbschnitt5.3..................................... 168
5.4 DerMomentensatz fürdasMassenpunktsystem ......................... 169
5.4.1 DerMomentensatz mitdemBeschleunigungsvektor ............... 169
5.4.2 DerMomentensatz mitdemDrehimpulsvektor.................... 170
5.5 DerMomentensatz fürdasstarreMassenpunktsystem inderEbene......... 172
5.5.1 Herleitungderskalaren Gleichungen ............................ 172
5.5.2 Lösungsschritte beiVerwendungdesMomentensatzes.............. 176
5.5.3 AufgabenzuAbschnitt5.5 .................................... 179
5.6 Der Momentensatz für die Rotation des starren Massenpunktsystems um
einefesteAchse ................................................... 182
5.6.1 Herleitungderskalaren Gleichungen ............................ 182
5.6.2 Bedingungen füreinenidealenRotorundAuswuchten ............. 186
5.6.3 AufgabenzuAbschnitt5.6..................................... 189
5.7 DerArbeitssatzundderEnergiesatz fürdasMassenpunktsystem. .......... 191
5.7.1 HerleitungdesArbeitssatzes unddesEnergiesatzes ................ 191
5.7.2 DerEnergiesatz fürdasstarreMassenpunktsystem. ................ 194
5.7.3 Diekinetische EnergiefürdasstarreMassenpunktsystem ........... 195
5.7.4 AufgabenzuAbschnitt5.7 .................................... 198
6 KinematikundKinetikderebenenBewegungstarrer Körper.............. 201
6.1 DerstarreKörper .................................................. 201
6.2 DieebeneBewegung,Translation undRotation ......................... 202
6.3 KinematikderebenenBewegungstarrerKörper......................... 205
6.3.1 TranslationundRotation ...................................... 205
6.3.2 RollenundGleiten ........................................... 209
6.3.3 DermomentaneGeschwindigkeitspol ........................... 211
6.3.4 Regeln zur Bestimmung von Geschwindigkeiten und des
Geschwindigkeitspols. ........................................ 212
6.3.5 Rastpolbahn undGangpolbahn ................................. 214
6.3.6 DermomentaneBeschleunigungspol ............................ 217
X Inhaltsverzeichnis
6.3.7 Relativbewegungen inrotierenden Bezugssystemen................ 217
6.3.8 AufgabenzuAbschnitt6.3..................................... 220
6.4 KinetikderebenenBewegungstarrerKörper ........................... 225
6.5 Massenträgheitsmomente. ........................................... 228
6.5.1 Massenträgheitsmomente für einfache Körper bezüglich der
Schwerpunkte ............................................... 228
6.5.2 Massenträgheitsmomente bei Verschiebung der Achsen: Der Satz
vonSteiner.................................................. 231
6.5.3 AufgabenzudenAbschnitten 6.4und6.5 ........................ 236
6.6 RollenundGleiten ................................................. 238
6.6.1 Grundgleichungen. ........................................... 238
6.6.2 AufgabenzuAbschnitt6.6..................................... 240
6.7 DerEnergiesatz fürdenstarrenKörperinderebenenBewegung ........... 243
6.7.1 FormulierungdesEnergiesatzes ................................ 243
6.7.2 AufgabenzuAbschnitt6.7..................................... 246
6.8 Schnittgrößen inbewegtenSystemen .................................. 247
6.8.1 AufgabenzuAbschnitt6.8..................................... 249
7 GrundlagenderRotordynamik ....................................... 251
7.1 DerSchwerpunktsatz undderMomentensatz ........................... 251
7.2 Massenträgheitsmomente undMassenträgheitsmatrix .................... 253
7.2.1 Definitionen................................................. 253
7.2.2 AuffindenvonHauptachsen.................................... 254
7.2.3 Massenträgheitsmomente für einfache Körper bezüglich der
Schwerpunkte ............................................... 256
7.2.4 Massenträgheitsmomente bei Parallelverschiebung der
Koordinatenachsen: DerSatzvonSteiner ........................ 260
7.2.5 Massenträgheitsmomente beiVerdrehung derKoordinatenachsen .... 262
7.2.6 Bedingungen füreinenidealen RotorundAuswuchten............. 266
7.3 Arbeit,Energie, Leistung,DrehimpulsundEnergiesatz................... 269
7.4 AufgabenzudenAbschnitten 7.1bis7.3 .............................. 271
7.5 Diekritische DrehzahlvonRotorenmitbiegeelastischer Welle ............ 277
7.5.1 DerLaval-Läufer............................................. 277
7.5.2 AufgabenzuAbschnitt7.5..................................... 279
8 KinematikundKinetikderräumlichenBewegungstarrer Körper ......... 281
8.1 KinematikderRelativbewegungen .................................... 282
8.1.1 Zeitableitungen imbewegtenBezugssystem ...................... 282
8.1.2 DerWinkelgeschwindigkeits- undderWinkelbeschleunigungsvektor . 285
8.1.3 AufgabenzuAbschnitt8.1 .................................... 288
8.2 KinematikimRaummitEulerWinkeln................................ 291
8.2.1 ErklärungderEulerWinkelaneinemBeispiel .................... 291
8.2.2 Beschreibung rotierender Bezugssysteme mitEulerWinkeln ........ 292
8.2.3 AufgabenzuAbschnitt8.2 .................................... 296
Inhaltsverzeichnis XI
8.3 KinetikstarrerKörperimInertialsystem ............................... 297
8.3.1 DerSchwerpunktsatz fürdenstarrenKörper...................... 297
8.3.2 DerMomentensatz fürdenstarrenKörper........................ 298
8.3.3 AlternativeHerleitungdesMomentensatzes fürebeneBewegungen .. 299
8.4 KinetikstarrerKörperinbewegtenBezugssystemen ..................... 300
8.4.1 DerSchwerpunktsatz inbewegtenBezugssystemen................ 300
8.4.2 DerMomentensatz inbewegtenBezugssystemen.................. 304
8.4.3 Koordinatendarstellungen desMomentensatzes ................... 305
8.4.4 Diepermanente, stabileVerdrehung desmomentenfreien Kreisels.... 311
8.4.5 AufgabenzuAbschnitt8.4 .................................... 313
8.5 DerMomentensatz mitEulerWinkeln ................................. 318
8.5.1 DerFallΩ = ψ˙ +θ˙ .......................................... 318
8.5.2 DerFallΩ = ω.............................................. 320
8.5.3 AufgabenzuAbschnitt8.5 .................................... 323
9 Impuls,DrehimpulsundStoßstarrerKörper ........................... 329
9.1 Impuls-undImpulserhaltungssatz .................................... 329
9.1.1 Impuls-undImpulserhaltungssatz fürdenstarrenKörper ........... 329
9.1.2 Impuls-undImpulserhaltungssatz fürdasSystemstarrerKörper ..... 331
9.1.3 AufgabenzuAbschnitt9.1..................................... 333
9.2 Drehimpuls-undDrehimpulserhaltungssatz ............................ 336
9.2.1 Drehimpuls-undDrehimpulserhaltungssatz fürdenstarrenKörper .. 336
9.2.2 Der Drehimpulssatz für den starren Körper mit Drehung um eine
Hauptachse.................................................. 337
9.2.3 DerDrehimpulssatz fürebeneBewegungendesstarrenKörpers ..... 337
9.2.4 Drehimpuls- und Drehimpulserhaltungssatz für das System starrer
Körper ..................................................... 339
9.2.5 AufgabenzuAbschnitt9.2..................................... 341
9.3 DerStoßstarrerKörper ............................................. 344
9.3.1 BegriffezumStoßundEinteilungdesStoßes ..................... 344
9.3.2 AnnahmenzumStoß.......................................... 346
9.4 Dergeradezentrische Stoß .......................................... 347
9.4.1 Voraussetzungen zumgeraden zentrischen Stoß ................... 347
9.4.2 ErsterSonderfall:Derelastische Stoß............................ 348
9.4.3 ZweiterSonderfall: Derplastische Stoß ......................... 348
9.4.4 AllgemeinerFall:Derelastisch-plastische Stoß ................... 349
9.4.5 AufgabenzuAbschnitt9.4..................................... 356
9.5 Derexzentrische Stoß............................................... 359
9.5.1 FormulierungdesImpuls-unddesDrehimpulssatzes............... 359
9.5.2 AufgabenzuAbschnitt9.5..................................... 364