Le Programme d'Approfondissement de Mathématiques Appliquées

40 Pages·2016·2.18 MB·French

Mathématiquesappliquées:qu’est-ce? ObjectifsduPA Etaprès:4Aetdébouchés OrganisationduPA
Le Programme d’Approfondissement de
Mathématiques Appliquées
3èmeannéedel’ÉcolePolytechnique–Master1
PromotionX2014–2016-2017
ResponsablesduPAdeMAP:
XavierAllamigeon CarlGraham ErwanLePennec
18avril2016
PAMAP|X.Allamigeon,C.Graham,E.LePennec|1/40
Mathématiquesappliquées:qu’est-ce? ObjectifsduPA Etaprès:4Aetdébouchés OrganisationduPA
Plandelaprésentation
1 Mathématiquesappliquées:qu’est-ce?
2 ObjectifsduPA
3 Etaprès:4Aetdébouchés
4 OrganisationduPA
PAMAP|X.Allamigeon,C.Graham,E.LePennec|2/40
Mathématiquesappliquées:qu’est-ce? ObjectifsduPA Etaprès:4Aetdébouchés OrganisationduPA
Unedémarchepluri-disciplinaire
1 Modélisation
2 Analysemathématique
3 Simulation
4 Réglage,Estimation,Optimisation
PAMAP|X.Allamigeon,C.Graham,E.LePennec|3/40
Mathématiquesappliquées:qu’est-ce? ObjectifsduPA Etaprès:4Aetdébouchés OrganisationduPA
Modélisation
• Modélisationmathématique:
miseenéquationd’unphénomène.
• Nécessitédesimplifierlaréalitéafindedonnerune
représentationdecephénomène.
• Lesmodèlessontfaux,maismettentl’accentsurles
aspectsessentielsduphénomènepourunproblème.
• Ilfautveilleràvaliderlesmodèles!
PAMAP|X.Allamigeon,C.Graham,E.LePennec|4/40
Mathématiquesappliquées:qu’est-ce? ObjectifsduPA Etaprès:4Aetdébouchés OrganisationduPA
Analysemathématique
Mathématiquesappliquées:
• Justificationdespropriétésdesmodèles
• Garantiessurlesperformances
• Justifierdesheuristiques
Outilsmathématiques:
• Équationsdifférentielles,équationsauxdérivéespartielles
• Optimisation,combinatoire,contrôle
• Probabilitésetprocessusstochastiques
• Statistique,traitementdedonnées
PAMAP|X.Allamigeon,C.Graham,E.LePennec|5/40
Mathématiquesappliquées:qu’est-ce? ObjectifsduPA Etaprès:4Aetdébouchés OrganisationduPA
Simulation
• Apartird’unmodèle:
• voircequel’onnepeutpasvoir
• oucequiestcoûteuxdevoir
• Implémentationnumérique:
• Discrétisation
• Simulationaléatoire
• Contraintesdecalcul
• Allers-retoursentre
modélisation←→analysemathématique←→simulation
PAMAP|X.Allamigeon,C.Graham,E.LePennec|6/40
Mathématiquesappliquées:qu’est-ce? ObjectifsduPA Etaprès:4Aetdébouchés OrganisationduPA
Réglage,Estimation,Optimisation
• Unmodèledépendleplussouventdeparamètres.
• Nécessitéderéglercesparamètres:
• pourcolleràlaréalité(estimation/calibrage)
• pouratteindreunobjectif(optimisation/contrôle)
• Important:prendredesdécisionsfondéessurdes
modèlesdontlesparamètresontétébienréglés!
PAMAP|X.Allamigeon,C.Graham,E.LePennec|7/40
Mathématiquesappliquées:qu’est-ce? ObjectifsduPA Etaprès:4Aetdébouchés OrganisationduPA
Unlargespectred’applications
Lesphénomènesréelssonttrèscomplexes:
• Écoulementdel’airautourd’unevoitureoud’unavion,
écoulementsanguin,océanographie,météorologie
• Réactionchimique
• Image,vidéo,signal
• Modélisationdesfluxdetransport(circulation)
• Traficaérien
• Algorithmiquedesréseaux(internet)
• Couverturedesrisquesfinanciers
PAMAP|X.Allamigeon,C.Graham,E.LePennec|8/40
Mathématiquesappliquées:qu’est-ce? ObjectifsduPA Etaprès:4Aetdébouchés OrganisationduPA
Dynamiquedesfluides
• LeonhardEuler(1707-1783):Equationd’Euler
compressible/incompressible...(pourconstruiredes
fontaines)
• JeanleRondD’Alembert(1717-1783)soulèvequ’Eulerne
prendpasencomptelaviscosité=⇒Retourversla
modélisation
• HenriNavier(1785-1836):équationsdeNavier-Stokes
• LudwigBoltzmann(1844-1906):pèredelaphysique
statistique.
Retrouvedenombreuseséquationsdeladynamiquedesfluides
àpartirdel’équationdeBoltzman(équationcinétique).
LiensaveclaThermodynamique.Onainscritsursatombe
S=klog(W)
S:entropie,W :nombredemicroétatsdusystème,
k:constantedeBoltzmann.
PAMAP|X.Allamigeon,C.Graham,E.LePennec|9/40
Mathématiquesappliquées:qu’est-ce? ObjectifsduPA Etaprès:4Aetdébouchés OrganisationduPA
Aérodynamiqueautomobile
PAMAP|X.Allamigeon,C.Graham,E.LePennec|10/40