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Studienskripten (TSS)
Mit der preiswerten Reihe Teubner Studienskripten
werden dem Student en ausgereifte Vorlesungsskripten
zur UnterstOtzung des studiums zur VerfOgung ge
stellt. Die sorgfaltigen Darstellungen, in Vorle
sungen erprobt und bewahrt, dienen der EinfOhrung
in das jeweilige Fachgebiet. sie fassen das fOr
das Fachstudium notwendige Prasenzwissen zusammen
und ermoglichen es dem studenten, die in den Vor
lesungen erworbenen Kenntnisse zu festigen, zu ver
tiefen und weiterfOhrende Literatur heranzuziehen.
FOr das fortschreitende studium konnen Teubner
studienskripten als Repetitorien eingesetzt werden.
Die auch zum selbststudium geeigneten Veroffent
lichungen dieser Reihe sollen darOber hinaus den
in der Praxis stehenden Ober neue stromungen der
einzelnen Fachrichtungen orientieren.
Zu diesem Buch
Dieses Buch ist aus Vorlesungen ent
standen, die im Fachbereich Elektrotechnik
an der Fachhochschule Regensburg gehalten
wurden. Es wendet sich daher in erster
Linie an Studenten an Fachhochschulen. Es
kann aber auch Studenten an Technischen
Universit!ten fUr ein erstes Kennenlernen
der Laplace-Transformation und in der Pra
xis stehenden Ingenieuren fUr ein selb
st!ndiges Einarbeiten in dieses Gebiet von
Nutzen sein. Zahlreiche durchgerechnete
Beispiele und Ubungsaufgaben, deren Ergeb
nisse im Anhang angegeben sind, sol len dem
Leser dabei helfen.
Laplace~ransformation
fur Ingenieure der Elektrotechnik
Von Hubert Weber
Professor an der
Fachhochschule Regensburg
6., durchgesehene.Auflage
Mit 113 Bildern
und 117 Beispielen
B. G. Teubner Stuttgart 1990
Professor Hubert Weber
1931 in Frauenau geboren. 1951 bis 1955 Studium der
Mathematik und der Physik in Regensburg und an der
Universitat Erlangen. AnschlieBend im Gymnasialdienst
tatig. Seit 1964 Dozent am Johannes-Kepler-Polytechnikum
Regensburg, seit 1971 Professor an der Fachhochschule
Regensburg.
CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Weber, Hubert:
Laplace Transformation fUr Ingenieure der Elektrotechnik /
von Hubert Weber. - 6., durchges. Aufl. - Stuttgart: Teubner,
1990
CTeubner-Studienskripten ; 141 : Elektrotechnik)
Bis 5. Aufl. als: Teubner-Studienskripten ; 69 : Elektrotechnik
ISBN 978-3-519-00141-6 ISBN 978-3-322-96634-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-96634-6
NE: GT
Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrecht
lich geschUtzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen
des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages
unzulassig und strafbar. Das gilt besonders fUr Vervielfalti
gungen, Ubersetzungen, Mikroverfilrnungen und die Einspeiche
rung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
© B. G. Teubner Stuttgart 1987
Gesamtherstellung: Druckhaus Beltz, Hemsbach/BergstraBe
Umschlaggestaltung: W. Koch, Sindelfingen
Vorwort
Das in der 6. Auflage vorliegende Skriptum ist aus Vorlesun
gen entstanden, die ich im Fachbereich Elektrotechnik an der
Fachhochschule Regensburg gehalten habe.
Die Laplace-Transformation wird dort als ein Teil der Mathe
matik behandelt. Vorausgesetzt werden nur Grundkenntnisse der
Analysis.
Die Laplace-Transformation ist eine Funktionaltransformation,
d.h. eine Originalfunktion fit), eine Funktion 1m reel len
Zeitbereich, wird in eine zugeh6rige Bildfunktion F(s) in ei
nem komplexen Bildbereich transformiert.
Die fUr die Anwendungen wichtigste Eigenschaft dieser Trans
formation besteht darin, daB den schwierigeren Operationen
des Differenzierens und Integrierens im Originalbereich ein
fache algebraische Operationen im Bildbereich entsprechen.
Dadurch werden zum Beispiel im Originalbereich geltende li
neare Differentialgleichungen zu linearen algebraischen Glei
chungen des Bildbereichs.
Da die Laplace-Transformation besonders in der Elektrotech
nik heute viel verwendet wird, sollte jeder Elektroingenieur
Grundkenntnisse auf diesem Gebiet besitzen.
Es soll nun versucht werden, eine EinfUhrung in die Theorie
und die Anwendungen der Laplace-Transformation zu geben, die
einerseits ausreicht, viele in der Praxis des Elektroinge
nieurs vorkommende Aufgaben zu 16sen, die andererseits aber
auch eine Grundlage fUr weitergehende Studien auf diesem Ge
biet darstellt. Urn dieses Ziel ohne allzu gro£em Aufwand er
reichen zu k6nnen, wurde vielfach auf eine volle mathema
tische Strenge verzichtet. Die Verwendung funktionentheore
tischer Methoden zur inversen Laplace-Transformation wird
zwar gezeigt, aber nicht zum Prinzip der inversen Laplace
Transformation gemacht. Der Weg, die Bildfunktion in einfache
Terme zu zerlegen und diese gliedweise zu Ubersetzen, ist
praxisgerechter und zeigt die Bedeutung der Lage der Pole
einer Bildfunktion fUr die zugeh6rige Zeitfunktion.
- 6 -
FUr eine gekUrzte Behandlung Oer Laplace-Transformation hat
es sich bewahrt, nach der Definition der Laplace-Transforma
tion im Abschn. 4.1 gleich zu den Transformationsregeln Uber
zugehen, wobei die Abschnitte 4.3.9, 4.3.13, 4.3.14 und 4.3.15
ausgelassen werden konnen, urn schneller zu den Anwendungen der
Laplace-Transformation zu gelangen.
Ich mochte mich beim Verlag und bei den Lesern der blsher er
schienenen Auflagen fUr wertvolle Hinweise bedanken.
Regensburg, im August 1989 Hubert Weber
Inhalt
Seite
1 Fourierreihen 9
1.1 EinfUhrung 9
1.2 Reelle Fourierreihen 10
1.2.1 Grundbegriffe 10
1.2.2 Berechnung der Fourierkoeffizienten 11
1.2.3 Amplitudenspektrum 17
1.3 Komplexe Fourierreihe 21
1.3.1 Grundbegriffe 21
1. 3.2 Berechnung der komplexen Fourierkoeffizienten 22
2. Fourierintegral 26
2.1 Ubergang von der Fourierreihe zum Fourier 26
integral
2.2 Eigenschaften des Fourierintegrals 30
3. Fourier-Transformation 35
3.1 Definition der Fouriertransformation 35
3.2 Diskrete Fouriertransformation (DFT) und 38
schnelle Fouriertransformation (FFT)
4 Laplace-Transformation 39
4.1 Definition der Laplace-Transformation 39
4.2 Inverse Laplace-Transformation 43
4.3 Transformationsregeln 58
4.3.1 Laplace-Transformierte elementarer Zeit 59
funktionen
4.3.2 Additionssatz (Linearit~tssatz) 66
4.3.3 Verschiebungssatz 70
4.3.4 Dirac'sche Deltafunktion 79
4.3.5 D~mpfungssatz 85
4.3.6 Partialbruchzerlegungen 88
4.3.7 Pol-Nullstellenplan einer echt gebrochen 103
rationalen Bildfunktion
4.3.8 Faltungssatz 107
4.3.9 Inverse Laplace-Transformation durch III
Reihenentwicklung der Bildfunktion
- 8 -
4.3.10 Integrationssatz fUr die Origina1funktion 116
4.3.11 Differentiationssatz fUr die Origina1funktion 121
4.3.12 Differentiationssatz fUr die vera11gemeinerte 125
Ab1eitung einer Zeitfunktion
4.3.13 Grenzwertsatze 129
4.3.14 Differentiationssatz fUr die Bi1dfunktion 132
4.3.15 Integrationssatz fUr die Bi1dfunktion 135
4.4 Anwendungen der Laplace-Transformation 138
4.4.1 Losen von linearen gewohn1ichen Differential- 138
gleichungen mit konstanten Koeffizienten
4.4.2 Losen von Systemen gew5hnlicher linearer Dif 145
ferentia1gleichungen mit konstanten Koeffizi
enten
4.4.3 RCL-Netzwerke 155
4.4.4 Ubertragungsverhalen von Netzwerken 173
a) Impulsantwort eines Systems 174
b) Sprungantwort eines Systems 175
c) Ubertragungsfunktion eines Systems 175
d) Pol-Nul1stellenp1an einer Ubertragungs 183
funktion
e) Ubertragungsfunktion und Frequenzgang 185
f) Berechnung des stationaren Anteils des 192
Ausgangssigna1s bei periodischen Erre
gungen
Anhang
Losungen zu den Ubungsaufgaben 2~
Satze fUr die Laplace-Transformation 213
Korrespondenzen der Laplace-Transformation
A) Einige Bi1dfunktionen und ihre Originalfunktionen 214
B) Einige Einze1impu1se, bzw. periodische Zeitfunk- 218
tionen und ihre Lap1ace-Transformierten
WeiterfUhrende BUcher 221
Forme1zeichen 222
Sachregister 223
1 F 0 uri err e i hen
1.1 Einfilhrung
In vie len Bereichen der Naturwissenschaften und der Technik,
etwa in der Physik oder in der E1ektrotechnik, haben harmoni
sche Schwingungen, die durch die Sinusfunktion
f (t) = A. sin ( tu t + If> ) (1.1 )
beschrieben werden k5nnen, eine groBe Bedeutung. Hierbei ist
A die Amplitude, tu die Kreisfrequenz und If> der Nu1lphasen
winkel der harmonischen Schwingung.
Bei der Uberlagerung harmonischer Schwingungen sind zwei
FaIle zu unterscheiden:
1. Uberlagert man harmonische Schwingungen der gleichen Fre
quenz, so erhalt man wieder eine harmonische Schwingung
dieser Frequenz.
Von dieser Tatsache wird in der Elektrotechnik standig Ge
brauch gemacht. Durch Uberlagerung von sinusf5rmigen Wech
selspannungen der gleichen Frequenz, etwa der Netzfrequenz
50 Hz erhalt man wieder eine sinusf5rmige Wechselspannung
der Frequenz 50 Hz.
2. Uberlagert man harmonische Schwingungen verschiedener Fre
quenzen, so erhalt man einen zwar periodischen, i. allg.
jedoch nicht sinusf5rmigen Vorgang.
Es stellt sich jetzt die Frage, ob man umgekehrt "jede belie
bige" periodische Funktion als eine Summe von harmonischen
Schwingungen darstellen kann.
Diese Frage wurde von Jean Baptiste Joseph F 0 uri e r
(1768 - 1830) positiv beantwortet.
Die genauen Bedingungen hierfilr wurden von Peter Gustav
D i ric hIe t (1805 - 1858) angegeben.
- 10 -
1.2 Reelle Fourierreihen
1.2.1 Grundbegriffe
Definition 1.1:
Eine Funktion f(t) heiBt T-periodisch (periodisch mit der
Periode T), wenn fUr aIle t des Definitionsbereichs gilt:
f(t + T) f(t) (1. 2)
Definition 1.2:
Eine T-periodische Funktion f(t) genUgt den Dirichlet
bedingungen, wenn
1. f(t) beschr~nkt ist,
2. f(t) im Intervall [O,T ] h1ichstens endlich viele Unste
tigkeitsstellen hat und
3. die Ableitung f' (t) im Intervall [ O,T] bis auf h1ichs
tens endlich viele Stellen stetig ist.
Eine Funktion f(t), die den Dirichlet-Bedingungen genUgt.
kann innerhalb einer Periodendauer in endlich viele Teilin
tervalle zerlegt werden, auf denen f(t) monoton und stetig
verl~uft. An Unstetigkeitsstellen treten nur endliche Sprung
h1ihen auf.
Diese Voraussetzungen sind bei den in den Anwendungen auftre
tenden periodischen Zeitfunktionen i. allg. erfUllt.
Satz 1.1:
Eine T-periodische Funktion, die den Dirichlet-Beding
gungen genUgt, l~Bt sich als F 0 uri err e i h e
L<Xl
f(t) ao + akcos(k wot) + bksin(k wot) ( 1.3)
k=l
darstellen, wobei w 0 2 It IT die Grundkreisfrequenz ist.
