Lajes de Concreto Armado

37 Pages·2001·0.82 MB·Portuguese

ES-013

Exemplo de um Projeto Completo de um
Edifício de Concreto Armado

São Paulo
agosto - 2001
2 – Lajes de Concreto Armado

2.1 Lajes Maciças de Concreto Armado

2.1.1 Introdução

Lajes são elementos estruturais bidimensionais planos com cargas preponderantemente
normais ao seu plano médio. Considerando uma estrutura convencional, as lajes
transmitem as cargas do piso às vigas, que as transmitem, por sua vez, aos pilares,
através dos quais são as cargas transmitidas às fundações, e daí ao solo.

Figura 2-1 – Representação de uma laje [FUSCO]

O comportamento estrutural primário das lajes é o de placa, que por definição, é uma
estrutura de superfície caracterizada por uma superfície média (S) e uma espessura (h),
com esforços externos aplicados perpendicularmente a S.

As lajes possuem um papel importante no esquema resistente para as ações horizontais,
comportando-se como diafragmas rígidos ou chapas, compatibilizando o deslocamento
dos pilares em cada piso (contraventando-os).

Figura 2-2 – Comportamento das placas [FUSCO]
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 2
As estruturas de placas (lajes) podem ser analisadas admitindo-se as seguintes hipóteses
[ABNT-2]:

(cid:131) Manutenção da seção plana após a deformação, em faixas suficientemente
estreitas;
(cid:131) Representação dos elementos por seu plano médio.

Os apoios das lajes são em geral constituídos pelas vigas do piso. Nestes casos, o
cálculo das lajes pode ser feito de maneira simplificada como se elas fossem isoladas das
vigas, com apoios (charneiras) livres à rotação e indeslocáveis à translação,
considerando-se, contudo, a continuidade de lajes contíguas. Em geral, podem ser
desprezados os efeitos da interação com as vigas. De fato, normalmente as flechas
apresentadas pelas vigas de apoio são desprezíveis quando comparadas às das lajes,
justificando a consideração dos apoios como irrecalcáveis. Além disso, também a rigidez
à torção das vigas é relativamente pequena face à rigidez à flexão da laje, permitindo-se,
em geral, desprezar-se a solicitação resultante desta interação. É obrigatória, entretanto,
a consideração de esforços de torção inseridos nas vigas por lajes em balanço, aonde a
compatibilidade entre a flexão na laje e a torção na viga é responsável pelo equilíbrio da
laje [ISHITANI-1].

As cargas das lajes são constituídas pelo seu peso próprio, pela carga das alvenarias e
dos revestimentos que nela se encontrarem e pelas ações acidentais.

2.1.2 Classificação

As lajes podem ser armadas em uma ou duas direções. As lajes armadas em uma única
direção podem ser calculadas como vigas de largura unitária (maiores detalhes podem
ser encontrados em [ABNT-1], item 3.3.2.6). Já as lajes armadas em duas direções,
podem ser analisadas utilizando o modelo elástico-linear, com elementos de placa,
utilizando o coeficiente de Poisson ν = 0,2 para o material elástico linear. Dentro desta
sistemática, inicialmente as lajes são calculadas isoladamente, observando-se as
condições de apoio de bordo engastado ou de charneira, conforme haja continuidade ou
não entre as lajes. Posteriormente é feita a compatibilização entre os momentos de bordo
de lajes contíguas. Os valores dos momentos fletores máximos no vão e de
engastamento para as formas e condições de apoio mais comuns encontram-se
tabelados, existindo tabelas publicadas por diversos autores (Kalmanock, Barès, Czèrny,
Timoshenko).

A diferenciação entre as lajes armadas em uma e duas direções é realizada comparando-
se a relação entre os vãos (dimensões) da laje. Desta forma, temos:

l
(cid:131) lajes armadas em cruz, quando y ≤ 2, e
l
x

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C

lx D flecha a D

C
l ≤ 2 l
y x
Figura 2-3 – Laje Armada em Cruz (Armada nas duas direções)

l
(cid:131) lajes armadas numa só direção, quando y > 2.
l
x
P1 V1 A P2

lx B flechaa B

V

P A P4
l
y
Figura 2-4 – Laje Armada em Cruz (Armada nas duas direções)

Lembramos que nas “lajes armadas em uma direção” sempre existe uma armadura
perpendicular à principal, de distribuição.

2.1.3 Ações a considerar

As cargas verticais que atuam sobre as lajes são consideradas geralmente uniformes,
algumas o são de fato, outras, como o caso de paredes apoiadas em lajes armadas em
cruz, são transformadas em cargas uniformes utilizando hipóteses simplificadoras.
Referimo-nos sempre às lajes de edifícios residenciais ou comerciais; no caso de lajes de
pontes, por exemplo, o cálculo deve ser mais preciso.

As principais cargas a se considerar são:
(cid:131) Peso próprio da laje;
(cid:131) Peso de eventual enchimento;
(cid:131) Revestimento;
(cid:131) Paredes sobre lajes;
(cid:131) Carregamento acidental.

O método para o levantamento destas cargas é indicado no Capítulo 1.

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2.1.4 Pré-dimensionamento (Aplicação ao Edifício Exemplo)

O pré-dimensionamento das lajes já foi realizado no capítulo anterior e desta forma,
apenas transcrevemos os resultados:

Tabela 2-1 – Pré-dimensionamento das lajes (cópia da Tabela 1.3)
Laje (m) (m) 0,7 (m) * (m) n(*) d (cm) h (cm)
lx ly ly l
L1=L3=L8=L10 4,31 5,59 3,91 3,91 1 9,4 10
L2=L4=L9=L11 4,60 5,69 3,98 3,98 2 9,2 10
L5=L6 2,75 2,76 1,93 1,93 3 4,2 7
L7 3,60 3,80 10

2.1.5 Vãos Teóricos

O item 3.3.2.3 da NB-1 ensina a calcular os vãos teóricos de uma laje. Em edifícios, as
vigas são geralmente de pequena largura, como no edifício exemplo. Neste caso, pode-se
adotar sempre como vão teórico a distância entre os eixos das vigas de apoio.

l = vãomenor
Por convenção, suporemos sempre x
= vãomaior
ly

2.1.6 Determinação das Condições de Apoio das Lajes

Admitem-se três tipos de apoio para as lajes:

(cid:131) Bordo livre: quando não há suporte (Ex.: laje em balanço);

Figura 2-5 – Corte de uma laje em balanço (bordo livre)

(cid:131) Bordo apoiado: quando não há restrição dos deslocamentos verticais, sem
impedir a rotação das lajes no apoio (Ex.: laje isolada apoiada por vigas);

Figura 2-6 – Corte de uma laje apoiada em duas vigas (bordos apoiados)

(cid:131) Bordo engastado: quando há impedimento do deslocamento vertical e rotação da
laje neste apoio (Ex.: lajes apoiadas por vigas de grande rigidez).
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Figura 2-7 – Corte de uma laje apoiada em duas vigas de grande rigidez (bordos engastados)

2.1.6.1 Lajes Isoladas

Para lajes isoladas, admite-se que se utilize:

(cid:131) Bordo engastado, quando tivermos vigas de apoio com grande rigidez;
(cid:131) Bordo apoiado, quando tivermos vigas de apoio com rigidez normal;
(cid:131) Bordo livre, quando não existirem vigas de apoio.

Figura 2-8 – Convenção utilizada para a representação dos apoios

2.1.6.2 Painéis de Lajes

Para os painéis de lajes de edifícios, quando houver lajes contíguas no mesmo nível, o
bordo poderá ser considerado perfeitamente engastado para o cálculo da laje, como
mostra a próxima figura:

Figura 2-9 – Lajes contíguas

Casos Particulares

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Figura 2-10 – Lajes em níveis diferentes

Figura 2-11 – Lajes com inércias muito diferentes

Figura 2-12 – Lajes com vãos muito diferentes

 2
≥ →
lmenor 3lmaior



 2
< →
lmenor 3lmaior

Figura 2-13 – Condição de apoio parcial de lajes

Após o cálculo das lajes de maneira isolada deve ser feita a compatibilização dos
esforços de engastamento.

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2.1.7 Cálculo das Solicitações (Cálculo Elástico)

Para o cálculo dos esforços atuantes nas lajes, admitimos as seguintes hipóteses:

(cid:131) Separação virtual entre lajes e vigas, permitindo seu cálculo separadamente;
(cid:131) Consideração das vigas como sendo apoios indeslocáveis;
(cid:131) Consideração das reações das lajes sobre as vigas, uniformemente distribuída.

2.1.7.1 Lajes Armadas em Uma Direção

a) Lajes Isoladas

Figura 2-14 – Determinação de esforços em lajes isoladas armadas em uma direção

b) Lajes Contínuas

Figura 2-15 – Laje armada em uma direção contínua

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2.1.7.2 Lajes Armadas em Duas Direções

Pelo fato de apresentarem dimensões de seus lados comparáveis, as lajes armadas em
cruz apresentam curvaturas comparáveis segundo os dois cortes (AA e BB indicados na
figura), indicando a presença de momentos fletores comparáveis, m e m .
x y

m = momento fletor por unidade de largura com plano de atuação paralelo a l ;
x x
m = momento fletor por unidade de largura com plano de atuação paralelo a l
y y.

B
lx B

α
A ly A α a
o
l
y
C C

l ≤ l
x y ao ao

Figura 2-16 – Lajes armadas em cruz

Considerando o corte genérico CC e a deformada segundo este corte. Nota-se, de novo,
a presença de curvatura e, portanto, de momento fletor (m = momento por unidade de
α
largura atuando segundo o corte CC). O arranjo usual das armaduras da laje é composto
de armadura paralela ao lado l , para resisitir a m , e armadura paralela a l , para resistir a
x x y
m . Os ensaios mostram que a resistência segundo o corte CC pode ser expresso por:
y

m = m cos2 α + m sen2 α ( 2.1 )
α x y

Em geral, estas armaduras (determinadas para resistir aos momentos máximos paralelos
aos lados l e l ) são suficientes para garantir a segurança da laje.
x y

A determinação dos momentos fletores numa placa, pela Teoria da Elasticidade, é
bastante trabalhosa. Entretanto, há tabelas com as quais o cálculo torna-se expedito.
Dentre as diversas tabelas existentes na literatura técnica, escolhemos as de Czerny, com
coeficiente de Poisson ν = 0,20. Estas tabelas trazem a solução para as lajes isoladas.
Dentro do contexto de um pavimento, após a determinação dos esforços nas lajes
isoladas, devemos fazer a compatibilização dos momentos de engastamento das lajes
adjacentes, como veremos no item b.

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a) Lajes Isoladas

As tabelas do tópico 2.2 reproduzem os casos de carga uniformemente distribuída em
lajes retangulares. O lado é sempre o menor. A notação m significa momento fletor por
lx
unidade de largura (por metro) de laje. O cálculo é imediato:

p 2 ( 2.2 )
l
m = x
x α
x
p 2
l
m = x
y α
y
p 2
l
m = x
bx β
x
p 2
l
m = x
by β
y

onde,
α , α , β e β são coeficientes tabelados
x y x y
p é a carga atuante;
m e m são os momentos positivos,
x y
m na direção x e m na direção y;
x y
m e m são os momentos negativos de borda,
bx by
m na direção x e m na direção y.
bx by

Observa-se que as tabelas enfrentam o problema também quando K > 2. Podemos,
portanto, calcular todas as lajes retangulares como lajes em cruz.

Figura 2-17 – Distribuição de esforços (pela Teoria da Elasticidade) [FUSCO]

b) Lajes Contíguas

O momento em um bordo comum a duas lajes deve ser determinado a partir da
compatibilização dos momentos negativos m e m das lajes isoladas:
b1 b2

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