La factorisation

773 Pages·2017·18.79 MB·French

by  Nawal Abou Raad

UNIVERSITE AIX-MARSEILLE I - Université de Provence
U.F.R. SCIENCES DE L’EDUCATION

THESE

pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L’UNIVERSITE AIX-MARSEILLE I

Formation doctorale : SYSTEME D’APPRENTISSAGE
SYSTEME D’EVALUATION
Présentée et soutenue publiquement

Par

Nawal ABOU RAAD

Le 11 octobre 2006

Titre :

LE CALCUL ALGEBRIQUE EN FRANCE ET AU LIBAN
ETUDE COMPAREE DE L’ENSEIGNEMENT DE LA
FACTORISATION
ET DES ERREURS DES ELEVES

Directeur de thèse :

Alain MERCIER

JURY

Mme Sophie René DE COTRET Rapporteur
Mme Marie-Jeanne PERRIN-GLORIAN Rapporteur
M. Hicham BANNOUT Examinateur
M. Yves CHEVALLARD Président
Remerciements

Dans l‘accomplissement de cette thèse, je suis redevable à plusieurs personnes
que je tiens à remercier tout particulièrement.

Mes remerciements vont d‘abord à mon directeur, M. le Professeur Alain
Mercier, pour l‘honneur qu‘il m‘a fait en acceptant de m‘encadrer pour ce travail. Par
son suivi et ses encouragements constants, il a permis que ce travail aboutisse dans les
meilleurs délais. Auprès de lui j‘ai approfondi le « métier de chercheur ».

Je tiens aussi à saluer et remercier M.Hicham Bannout, maître de conférence à la
Faculté de Pédagogie de Beyrouth, auprès de qui j‘ai appris peu à peu l‘activité de
chercheur. Il a été à l‘origine de mon projet et m‘a incitée à venir entreprendre un travail
de recherche en France.

Je remercie également les Professeurs Marie-Jeanne Perrin-Glorian (IUFM
Nord-Pas de Calais), Sophie René de Cotret (Université de Montréal) et Yves
Chevallard (IUFM d‘Aix-Marseille) pour l‘honneur qu‘ils m‘ont fait en acceptant ce
Jury.

Je dois aussi remercier tous les directeurs de collège ainsi que les professeurs de
mathématiques qui ont bien voulu m‘accueillir dans leur établissement et dans leur
classe pour que j‘y fasse mes observations, aussi bien au Liban qu‘en France. Je ne peux
les nommer ici, ils se reconnaîtront.

Je tiens à remercier pour leurs encouragements une amie libanaise et toutes les
familles que j‘ai connues en France.

Je remercie enfin tous les membres de ma famille, particulièrement ma sœur
aînée et mes parents, ainsi que mes chères amies du Canada et du Liban, pour le soutien
que tous et toutes m‘ont apporté (à distance) au cours de cette période, toujours un peu
délicate, d‘élaboration et de rédaction de la thèse.
2
TABLE DES MATIERES

INTRODUCTION p. 7
Les objets impliqués dans un travail algébrique……………….. p. 8

CHAPITRE I - LE CADRE THEORIQUE

I-1 Introduction.....……………………..……………………….………..…. p. 13
I-2 L’histoire de l’Algèbre………………………………………….…….... p. 13
I-3 Transition de l’Arithmétique à l’Algèbre …..……………….……..… p. 14
I-4 L’évolution du symbolisme mathématique…………….…………..… p. 16
I-4-i Le signe (=) ou signe « deux-traits »…………………….…. p. 16
I-4-ii Les lettres………………………………………………….. p. 17
I-4- iii Les signes opératoires…………………………………… p. 18
I-5 Dialectique Algébrique/Numérique………………………………....… p. 19
I-6 Calcul algébrique formel/Calcul algébrique fonctionnel...................... p. 21

CHAPITRE II - ROLE DES DELIMITANTS DANS LE TRAVAIL
ALGEBRIQUE

II-1 L’histoire des notations et des symboles mathématiques..................... p. 23
II-2 Registre combinatoire/Registre signifiant…………………………….. p. 23
II-3 Les signes délimitants……………………….………………………..… p. 24
II- 4 Analyse comparative du rapport des enseignants et des enseignés
aux délimitants séparateurs et agrégateurs………………………….. p. 26
II-5 Conclusion……………………………………………………………… p. 28

CHAPITRE III - LA FACTORISATION

III-1 Analyse a priori de la factorisation d’une expression algébrique
III-1-i Polynômes ………………………………………………… p. 31
III-2 Problématique de la factorisation ...…..………………………….….. p. 32
III-3 Factorisation des expressions algébriques……….………………….. p. 33
III-3-i Qu‘est ce qu‘une expression algébrique…………………… p. 33
III-3-ii Analyse de la factorisation d‘une expression
algébrique du point de vue des élèves………….…………. p. 35
III-3-iii Des conceptions de la factorisation des polynômes pour
l‘enseignement……………………………………………. p. 39
A- Un concepteur de logiciel de factorisation………………….. p. 39
B- Les professeurs de mathématiques observés……………..….. p. 40
III-4 Identités remarquables avec le 2e degré…………………….………... p. 42
III-5 Distributivité…………………………………………….……………... p. 44
III-6 Conclusion………………………………………………….................... p. 45

3
CHAPITRE IV - LES SYSTEMES SCOLAIRES LIBANAIS ET
FRANÇAIS

IV-1 Un cadre théorique……………....……….……………….…………… p. 47

IV-2 La factorisation : Naissance – Vie durable p. 48
A - Les objets latents, mais pertinents pour la factorisation…… p. 48
B - Les objets mathématiques, dans les deux pays, dont la p. 48
fonction didactique nécessite les techniques de factorisation
IV-3 Rapport institutionnel à l’objet « Factorisation » dans
l’enseignement des mathématiques au collège des deux pays………. p. 49
IV-3-1 Comparaison des programmes…………..……………... p. 50
1 - La codification des classes de collège……..…………….... p. 50
2 – L‘horaire hebdomadaire des mathématiques au collège….. p. 50
3 – Le curriculum et ses objectifs……..………………. p. 51
4 – Découpage des programmes de mathématique au collège... p. 52
5 – Les contenus des programmes……………………...…….. p. 53
IV-3-2 Conclusion…………………………..……….…………... p. 58
IV-3-3 Les manuels scolaires
IV-3-3-i Représentation………….……...…………...……….. p. 59
IV-3-3-ii Structure………………………………………...….. p. 59
IV-3-3-iii Contenus des manuels……………………………... p. 60
1- Manuel libanais (ML)………………………….….. p. 60
2- Manuel français (MF)……………………………... p. 62
3- Manuel franco-libanais (MFL)……………………. p. 63
IV-3-4 Conclusion………………….……………………..……... p. 65
IV-4-5 Fréquence d’apparition des différents mots du
lexique algébrique conforme à la factorisation dans les
manuels
1- Les formules……………………………………… p. 66
2- Les codifications…………………………………. p. 67
3- Répétition des mots………………………………. p. 67
4- Ostensifs et délimitants…………………………... p. 69
IV-3-6 Conclusion…………….………………..….……………... p. 70
IV-4 Qu’est ce que la factorisation ? ……………….………………………
IV-5 Tableau récapitulatif de la comparaison des deux systèmes
systèmes scolaires …………………….…………….…..……………... p. 75
IV-6 Conclusion……………………………………………………….……... p. 77

CHAPITRE V - ANALYSE DES SEANCES D’ENSEIGNEMENT
DANS LES DEUX PAYS

V-1 La problématique……………………………………….………………. p. 79
V-2 Un cadre didactique pour les analyses.……………………………....... p. 80
V-2-i Relation didactique : enseignant, enseigné…………...……… p. 80
V-2-ii Rôle de l‘enseignant………………………..…….……...….. p. 81
V-2-iii Rôle de l‘enseigné…………………...……..…....………..... p. 81
V-2-iv Le socle de nos analyses.…………………..…….…………. p. 82
V-3 Le Choix et le cadre méthodologique……………………….…………. p. 83
4
V-4 Qu’est ce que nous cherchons ?.……………………….…………..…... p. 85
V-5 Présentation des données………………………………………………. p. 85
V-6 Les notes de cours de chaque enseignant………………….................... p. 87
V-6-i Exposé des notes de cours…………………………………… p. 87
V-6-ii Commentaires………………………………………….......... p. 89
V-7 Analyse des séances d’enseignement……………………….………….. p. 90
V-7-I La factorisation par un facteur commun monôme............. p. 91
V-7-I-i Introduction de la factorisation par un facteur
commun monôme……………………………………. p. 91
En France
A – Enseignante EnF1……………………… ;…… p. 91
B – Enseignant EnF2……………………………… p. 96
V-7-I-ii Application de la factorisation par un facteur
commun………………………………………….. p.104
En France
A – Enseignante EnF1……………..……………… p.104
B – Enseignant EnF2……………………………… p.112
Au Liban
C – Enseignante EnFL…………..………………… p.119
D – Enseignant EnL……………………………….. p.123
V-7-I-iii Tableau comparatif de la pratique enseignante……. p.131
V-7-I-iv Tableaux comparatifs du discours des enseignants.. p.132
V-7-I-v Conclusion…………………………………………. p.138
V-7-II La factorisation par un facteur commun binôme………. p.138
En France
A – Enseignante EnF1…………………..………… p.139
B – Enseignant EnF2……………………………… p.154
Au Liban
C – Enseignante EnFL…………………………… p.163
D – Enseignant EnL……………………………….. p.175
V-7-II-i Tableau comparatif de la pratique enseignante……. p.185
V-7-II-ii Tableaux comparatifs du discours des enseignants.. p.186
V-7-II-iii Conclusion………………..…………...…………. p.190
V-7-III La factorisation en utilisant les identités remarquables.. p.190
En France
A – Enseignante EnF1...…………………………… p.190
B – Enseignant EnF2……………………………… p.218
Au Liban
C – Enseignante EnFL……..……………………… p.257
D – Enseignant EnL……………………………….. p.292
V-7-III-i Tableau comparatif de la pratique enseignante....... p.327
V-7-III-ii Tableaux comparatifs du discours des enseignants p.330
V-7-III-iii Conclusion…….……………………...…………. p.343

5
CHAPITRE VI - DES MANQUES THEORIQUES POUR L’ETUDE
DE LA FACTORISATION

VI- I - Le manque d’une théorie dans l’enseignement de la factorisation
des identités remarquables
VI-I-1 Introduction……………………..………………………… p.345
VI-I-2 Rapport personnel des élèves à la factorisation de a2 +
2ab + b2……………………………………………………... p.345
VI-I-3 Conclusion…………………………………………………. p.350
VI-II La dualité absence/présence du PGCD
VI-II-1 Introduction………………………………………………. p.351
VI-II-2 Le PGCD………………………………………………….. p.351
VI.II.3 Le PGCD, objet masqué dans l’enseignement de la
factorisation en France??................................................. p.352
VI-II-4 Conclusion………………………………………………... p.354
VI.III – Des nombres absents-présents…………………………………….. p.355
VI-III-1 Introduction……………………………………………... p.355
VI-III-2 Des observations p.356
VI-III-3 Conclusion……………………………………………...... p.360

CHAPITRE VII - RAPPORT DE L’ENSEIGNE A LA
FACTORISATION

VII-I Introduction…………………………………………………………… p.361
VII-II Recueil des erreurs…………………………………………………... p.362
VII-III Recueil des questions des élèves……………………………………. p.368
VII-IV Conclusion…………………………………………………………… p.371

CONCLUSION…………………………………...………………………….. p.373

BIBLIOGRAPHIE…………………………………………………………... p.381

6
Introduction

Enseigner les mathématiques n’est pas impossible, mais difficile.

L‘importance d‘une étude approfondie sur le rapport des élèves à la factorisation
des expressions algébriques, à travers leur rapport à l‘algébrique, s‘est dégagée chez
nous à l‘issue de différentes recherches en didactique des mathématiques sur l‘algèbre
et plus spécifiquement sur la factorisation. Tonnelle (1980) a souligné que la
factorisation des expressions algébriques constitue un monde clos et fragile pour les
élèves de Troisième en France (A9)1. Ceci fut repris dans d‘autres recherches, comme
celles de Bardini (2001) sur le rapport des élèves français de fin de Troisième à la
factorisation, et de Abou Raad (2003) sur les difficultés des élèves libanais de EB8
(Quatrième)2 à la fin de l‘apprentissage de la factorisation. Les élèves français de
Troisième3 n‘ont pas le moyen de penser avec des théorèmes en situation de
factorisation, ils pensent avec des outils acquis à travers l‘enseignement (Woillez,
1993 ; Abou Raad, 2004) qui fonctionnent comme des règles décrivant les bons
comportements. Les travaux de l'ensemble des auteurs se rejoignent pour montrer que,
pour la majorité des enseignants et des élèves, la factorisation est une tâche qui mobilise
un ensemble de techniques routinières acquises par répétition des exercices. La réussite
de ces techniques est donc proportionnelle à la complexité ostensive des expressions
algébriques proposées à factoriser : les théorèmes donneraient des moyens de contrôle a
posteriori, mais l'efficacité des routines diminue exponentiellement avec la complexité
de l'algorithme dans lequel elles interviennent (Brousseau, 1973).

L‘enjeu de notre étude consiste à observer plusieurs classes dans le but de
comparer l‘enseignement qui s‘y donne, dans une approche qui concerne
l‘apprentissage de la factorisation dans deux pays : la France et le Liban.
La factorisation est un objet de savoir fixé par les programmes : en France, le contenu
est fixé en Troisième (A9) alors qu‘au Liban il est fixé en EB8 (Quatrième). Notre
approche a concerné l‘activité de quatre enseignants, sans négliger l‘élève dans son
apprentissage. La définition de la factorisation donnée par les manuels de Troisième
(A9) en France ne parle de la factorisation qu‘en termes formels : « Factoriser une
expression algébrique, c‘est l’écrire sous la forme d‘un produit de facteurs », les
définitions données par les manuels de EB7 (Cinquième) au Liban nomment la
transformation par l‘opposition somme/produit : « Factoriser : transformer une
expression de la forme d‘une somme à la forme d‘un produit ». Elles portent aussi sur la
description formelle de l‘expression algébrique, notion en usage dans les manuels
français mais qui n‘est pas définie. Ceci nous conduit à supposer que le rapport des
élèves à la factorisation est dépourvu de sens algébrique, puisque les méthodes de
factorisation qui leur sont présentées semblent applicables sur toutes les expressions
algébriques sans que les élèves ne sachent qu‘est ce qu‘une expression algébrique
autrement que par la consigne qui les désigne : « factorise (ou, développe, réduit)
l‘expression algébrique ».

1 Nous indiquerons, avec le nom traditionnel des classes du secondaire français (Troisième), l'année
d'études entre parenthèses (A9), et pour l'enseignement libanais, avec le nom traditionnel (EB8 pour
Enseignement de Base Huitième année) l'équivalent français entre parenthèses (Quatrième).
2 Au Liban la factorisation est au niveau de la classe de EB 8 (Quatrième).
3 Etude faite en France dans des collèges lyonnais
7
Nos recherches précédentes (Abou Raad, 2003, 2004) montrent que les erreurs
des élèves des deux pays, à savoir le Liban et la France, sont les mêmes. Nous en avons
donc déduit notre deuxième hypothèse de travail : du point de vue des élèves, le
problème dans les deux pays est le même. Cela signifie, soit que l‘enseignement de
l‘algèbre est le même, soit qu'il y a là un obstacle conceptuel universel. Les deux
questions peuvent d'ailleurs être liées. La thèse selon laquelle l‘enseignement serait
absolument semblable nous intéresse parce que les programmes libanais semblent
ressembler trait pour trait aux programmes français d‘il y a quelques années. Nous
avons ainsi la possibilité de montrer que les dernières réformes françaises visant à
« donner du sens » au travail algébrique n‘ont rien changé à la situation, tout au moins
du point de vue des élèves.

Pour valider nos thèses, nous allons ainsi chercher à montrer que les élèves des
deux pays se trouvent face à un même problème. Nous commencerons par comparer
l‘enseignement des deux pays autour des questions suivantes : 1) Comment les
professeurs de ces deux pays abordent-ils les objets mathématiques algébriques ? 2)
Quelles sont les techniques utilisées dans un travail algébrique et plus spécifiquement
dans un travail de factorisation ? 3) Que disent les professeurs sur la factorisation 4)
Quelles connaissances font vivre les enseignants en classe dans leurs discours ? Puis
nous rechercherons à partir des erreurs, les connaissances que font vivre les élèves dans
un travail de factorisation, et à partir des questions qu‘ils posent comment ils
transforment ce qu‘ils pensent. Nous pensons arriver à identifier un problème venu de la
manière dont le travail algébrique est enseigné et appris, pour rejeter l'hypothèse selon
laquelle les difficultés des élèves relèveraient d'un obstacle épistémologique.

Les objets impliqués dans un travail algébrique

Le symbolisme occupe une part très importante dans le travail mathématique et
en particulier dans le travail algébrique. Plusieurs études de différentes disciplines4 ont
abordé la fonction symbolique, son évolution à travers l‘histoire, et sa relation avec les
sciences. Nous fonderons notre propre travail sur l'ouvrage de Serfati (2005), qui étudie
l'invention du symbolisme algébrique par Descartes et son étude systématique par
Leibnitz. Nous renoncerons ainsi à produire un travail épistémologique autonome, à
partir d'observations didactiques, ce qui n'est pas le choix de la plupart des études
didactiques que nous avons consultées. Ainsi Sfard (1991) souligne que dans une
activité mathématique deux conceptions s‘articulent pour une expression algébrique :
procédurale (opérationnelle) et structurale. Elle montre que par exemple, l‘expression
5x + 3 est soit un processus opératoire qui consiste à prendre un nombre le multiplier
par 5 et lui ajouter 3, soit un objet considéré comme un tout, ce processus peut être
interprété soit comme l‘image de x par une certaine fonction, soit comme un nombre
congru à 3 modulo 5, etc. La question du statut des expressions algébriques a été aussi
abordée par Nicaud (1994), qui a développé le logiciel APLUSIX pour les tâches de
factorisation et qui s‘appuie sur trois niveaux de traitement sémantique des expressions
algébriques. Il considère qu‘un travail algébrique s‘effectue lorsque l‘organisation de ce
calcul se fait à l‘aide d‘un raisonnement stratégique qui porte sur la forme des
expressions traitées.
Radford (2002) conçoit qu‘il est important pour l‘apprentissage des mathématiques de
représenter un objet mathématique par un symbole qui émerge de l‘objet lui-même. A

4 Psychologique, philosophique, sociologique, linguistique..
8
travers une approche sémiotique, il a étudié le rapport des élèves au symbolisme, qui se
sont basés sur les deictics5 pour organiser leur travail à travers les symboles et les lettres
qui ont un sens indicatif « indexical meaning ». Arzarello (2001) a analysé le sens des
écritures symboliques en algèbre, comme étant un outil pour décrire des processus
algébriques. Il a trouvé dans ses recherches que le sens sous-jacent des expressions
algébriques constituait une grande difficulté pour les élèves. Gray et Tall (1994) ont
montré que la dimension processus du procept domine dans les écritures symboliques ;
pour les élèves l‘expression « 3 + 2 » n‘est pas une représentation symbolique d‘un
nombre, elle n‘est qu‘une injonction de calcul. Saenz-Ludlow et walgamuth (1998) ont
étudié les conceptions des enfants du CE1 (Grade III) relatives au signe d‘égalité. Ce
symbole évoque chez les élèves une action, il annonce un résultat. Les élèves restent à
un stade « opérationnel » de l‘interprétation, du fait qu‘ils accordent au signe d‘égalité
le statut « d‘annonce de résultat d‘opération ». Son étude a montré que les conceptions
opérationnelles devancent généralement les conceptions structurales. Schliemann,
Carraher & al (2003) ont montré que les élèves résolvent les problèmes dans une voie
arithmétique sans se référer aux méthodes de l‘algèbre et à leurs symboles. Enfin,
l‘épistémologie du symbolisme algébrique a été utilisée par Bardini (2003) dans une
étude didactique fondée sur l‘étude de Serfati. Elle a analysé le rapport des élèves au
symbolisme algébrique en partant du fait que les symboles jouent un rôle important
dans la constitution des mathématiques et elle en a déduit que le rapport des élèves aux
symboles est fragile, particulièrement concernant les parenthèses.

L‘arithmétique utilise un ensemble d‘outils sémiotiques, très peu nombreux,
dont le rôle est de coder les calculs à effectuer : il s‘agit de la représentation des
nombres entiers et décimaux, qui elle même est récente. Par contamination progressive
avec le travail algébrique, elle utilise aussi les symboles comme les signes opératoires,
le signe « = » pour indiquer le résultat d‘un calcul, les parenthèses pour gérer les
priorités opératoires qui sont empruntés à l‘algèbre. Mais l'usage arithmétique de ces
notations leur fait perdre certaines de leurs propriétés initiales. Le signe « = » devient
pour les élèves l'indicateur d'un calcul effectué, ce qui en ferait l'équivalent de la touche
« ENTER » ou « ANSWER » des calculatrices comme dans 17 + 5 = 22 + 4 = 26.

L‘algèbre est aussi un domaine où nous codons les calculs, mais c'est pour
travailler ce codage sans qu'il soit nécessaire d'effectuer ces calculs. De plus, elle fournit
un moyen puissant de modélisation, lié à l‘usage des lettres pour désigner les constantes
et les variables. Elle permet encore d‘exprimer des relations entre le connu et l‘inconnu,
qui sont ensuite traitées à l‘aide de procédures spécifiques pour trouver une expression
de l'inconnu, par usage des symboles et des signes déjà connus. Le changement de
questions lié au passage de l'arithmétique à l'algébrique est souvent traité dans une
continuité illusoire dont nous pensons qu'elle fait problème plus qu'elle ne viabilise le
chemin.

Pour travailler ces questions d'un point de vue didactique, et observer ce qu'il en
est dans les classes, nous avons décidé d'utiliser un système de description qui nous
permet de nous libérer des mots mêmes des institutions que nous observons tout autant
que des termes mathématiques. Nous pensons en effet, à l'image de Serfati qui a inventé
un lexique particulier pour décrire le travail d'étude du symbolisme algébrique par
Leibniz, considérant par lui-même que le symbolisme algébrique ne donnait pas les

5 Radford appelle dectics les termes dont la fonction est de pointer une forme visuelle, ils sont des
référentiels mécaniques, comme « top row », « bottom row », « that », « this », etc. (Radford, 2002, p17).
9
moyens de sa description, que les mathématiques ne sont pas un outil pertinent pour
décrire les pratiques d'étude des mathématiques.
Dans le cas des mathématiques il y manque la langue naturelle bien sûr, et les gestes qui
accompagnent le travail et permettent la communication entre élèves et professeur. Les
notions d'ostensif et de non ostensif associé sont particulièrement utiles à ce propos.
Dans le cas du symbolisme algébrique nous utiliserons donc les outils proposés par
Serfati lorsque nous chercherons à traiter des manipulations formelles et les outils
proposés par Bosch et Chevallard (1999), lorsque nous chercherons à traiter de leur sens
mathématique. « La fonction sémiotique des ostensifs, leur capacité à produire du sens,
ne peut en effet être séparée de leur fonction instrumentale, de leur capacité à s‘intégrer
dans les manipulations techniques, technologiques, théoriques, […]. L‘ostensivité d‘un
objet lui permet en effet de fonctionner comme signe ou plutôt comme signifiant » (p 95
et p 109). Bosch et Chevallard ont montré encore que tout objet ostensif est un
« ingrédient » nécessaire au fonctionnement cognitif d‘une activité mathématique. Il a
une valence instrumentale qui existe dans les symboles écrits, dans les mots dits, et
aussi dans les gestes faits, et une valence sémiotique dans un fonctionnement comme
signe d’autres objets. Tout ostensif ne peut pas vivre sans son non ostensif, sinon
chacun sera dépourvu de sens. Par exemple, la recherche d‘un facteur commun pour la
factorisation de l‘expression algébrique 4x – 16, suppose la manipulation d‘ostensifs
gestuels sonores « quatre et seize sont divisibles par quatre (et cela suppose que l'on
pointe du doigt 4 et 16), alors je prends 4 en facteur (et l'on écrit 4(.....) et le facteur
est….». Ces ostensifs évoquent deux objets non ostensifs : « la division » qui
correspond à l‘idée de partage égal et la « multiplication » qui correspond à l‘idée de
l‘addition répétée. Alors l‘écriture 4x - 16 = 4(x – 4) est vue comme un travail de
transformation réglé par un système d‘ostensifs. Les auteurs ont montré la co-activation
de ces deux types d‘objets dans toute activité mathématique et que l‘ensemble
fonctionne comme éléments implicites des savoirs mathématiques de l‘institution.
Ainsi, parmi les systèmes d‘ostensifs, il en est qui sont reconnus en mathématique,
comme le système de notation en algèbre ; mais tous sont des dispositifs qui règlent
l‘action. Ce sont des techniques de pensée sous le contrôle d‘une théorie qui en validera
la pertinence. La création didactique d'ostensifs répond aux besoins de l‘enseignement
de toute matière mathématique (on se rappelle par exemple les arbres de calcul de
l'école élémentaire) et on en trouve dans le cas de la factorisation où ils sont supposés
aider à l‘application des méthodes enseignées. Mais les ostensifs inventés à usage
didactique n'auront jamais un statut mathématique et cela comporte un risque : ces
ostensifs ne peuvent relever que des règles d‘action, ce qui enferme l‘élève dans un
monde d‘interprétations personnelles sans contrôle. L‘usage des ostensifs dans
l‘enseignement dirige l‘action de l‘élève qui les reproduit sans y penser : « L‘élève n‘a
qu‘à vérifier l‘exécution des gestes partiels d‘une liste à cocher fournie par
l‘enseignant » (Mercier 1995a). Ainsi la « factorisation », telle qu‘elle fonctionne dans
l‘enseignement de l‘algèbre ne peut guère se ramener à une notion mathématique stricto
sensu6.
Tonnelle a montré, dans le développement des produits de deux sommes et des identités
remarquables que le rapport au travail algébrique se réduit souvent à un rapport à des
ostensifs non pertinents d'un point de vue mathématique, ce qui nous conduira à
prolonger notre description par une analyse de ce que Serfati appelle le registre
« combinatoire » qu'il lie au registre « signifiant », pour que l‘écriture mathématique
soit le moyen de construire des preuves et de créer des objets. Les signes comme les

6 Le passage d‘un contenu de savoir précis à une version didactique de cet objet peut être appelé
justement « transposition didactique stricto sensu » Chevallard 1991
10