Introducción a la teoría de números

202 Pages·2014·1.904 MB·Spanish

by  Felipe Zaldivar

Nacida de la necesidad primaria del hombre de contar y medir, R Introducción a la teoría
A
la aritmética, al igual que la geometría, tiene su origen en los tiempos V de números
Otros títulos sobre el tema prehistóricos. Las grandes civilizaciones antiguas desarrollaron Í
D
un sistema propio de numeración y operaciones básicas, pero el creado L
A
Fundamentos de álgebra en la India se impuso por su aparente sencillez: la utilización del cero Z FELIPE ZALD Í VAR FELIPE ZALDÍVAR

Felipe Zaldívar y de la notación con valor numérico posicional. Desde entonces obtuvo su licenciatura y maestría en

s
comenzó el desarrollo de la teoría de números. o matemáticas en la unam y su doctorado en
r
Introducción a la teoría de las funciones algebraicas e la University of Western Ontario, en Canadá.
Este libro es una introducción elemental a la teoría de números m
Gabriel Daniel Villa Salvador ú Actualmente es profesor de matemáticas en
o aritmética superior: comienza con un análisis de la noción de divisibilidad
n la Universidad Autónoma Metropolitana. Sus

e introduce las propiedades elementales de las congruencias, e
Introducción a la teoría d áreas de interés en matemáticas son la teoría

las congruencias cuánticas y las raíces primitivas, para concluir a de números y la geometría algebraica.
de la probabilidad í
r
con el estudio de algunas ecuaciones diofantinas de segundo o
Miguel Ángel García Álvarez e
t
y tercer grado. El capítulo final es una introducción elemental
a
l
Introducción al análisis funcional a la aritmética de curvas elípticas. Una novedad del libro a

n
José Ángel Canavati Ayub es la inclusión de algunas aplicaciones de interés actual, tales
ó
i
como el intercambio de claves Diffie-Hellman y los criptosistemas c
c
u
Introducción analítica a las geometrías
de clave pública RSA, ElGamal y de Rabin. d
o
Javier Bracho
r
t
n
I
El último teorema de Fermat. El secreto
de un antiguo problema matemático
Amir D. Aczel
¿Qué son las matemáticas? Conceptos
y métodos fundamentales
m
Richard Courant y Herbert Robbins o C I E N C I A
c
a.
mic Y T E C N O L O G Í A
o
Historia de las matemáticas n
o
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Eric Temple Bell ra
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FELIPE ZALDÍVAR
obtuvo su licenciatura y maestría en
matemáticas en la unam y su doctorado en
la University of Western Ontario, en Canadá.
Actualmente es profesor de matemáticas en
la Universidad Autónoma Metropolitana. Sus
áreas de interés en matemáticas son la teoría
de números y la geometría algebraica.
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SeccióndeObrasdeCienciayTecnología
INTRODUCCIÓNALATEORÍADENÚMEROS
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“Zaldívar:Teoríadenúmeros” — planas — 2011/12/23 — 15:39 — pág. 4 — #4
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Comitédeseleccióndeobras
Dr. Antonio Alonso
Dr. Francisco Bolívar Zapata
Dr. Javier Bracho
Dr. Juan Luis Cifuentes
Dra.Rosalinda Contreras
Dra.Julieta Fierro
Dr. Jorge Flores Valdés
Dr. Juan Ramón de la Fuente
Dr. Leopoldo García-Colín Scherer
Dr. Adolfo Guzmán Arenas
Dr. Gonzalo Halffter
Dr. Jaime Martuscelli
Dra.Isaura Meza
Dr. José Luis Morán-López
Dr. Héctor Nava Jaimes
Dr. Manuel Peimbert
Dr. José Antonio de la Peña
Dr. Ruy Pérez Tamayo
Dr. Julio Rubio Oca
Dr. José Sarukhán
Dr. Guillermo Soberón
Dr. Elías Trabulse
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FELIPE ZALDÍVAR
Introducción
a la teoría de números
FONDODECULTURAECONÓMICA
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Primera edición, 2012
Primera edición electrónica, 2014
Diseño de portada: Laura Esponda Aguilar
D. R. © 2006, Fondo de Cultura Económica
Carretera Picacho-Ajusco, 227; 14738 México, D. F.
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nidos que se incluyen tales como características tipográfi cas y de diagramación, textos, gráfi cos,
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están protegidos por las leyes mexicana e internacionales del copyright o derecho de autor.
ISBN 978-607-16-1881-8 (PDF)
Hecho en México • Made in Mexico
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ÍNDICEGENERAL
Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Matemáticoscuyostrabajossehancitadoenellibro . . . . . . . 12
Listadesímbolosmásusados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
I. Elteoremafundamentaldelaaritmética . . . . . . . . . 15
I.1 Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
I.1.1 Elalgoritmodeladivisión . . . . . . . . . . . . 17
I.1.2 Máximocomúndivisor . . . . . . . . . . . . . . 18
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
I.2 Primosyfactorizaciónúnica . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
I.2.1 Factorizaciónúnica . . . . . . . . . . . . . . . . 24
I.2.2 LacribadeEratóstenes . . . . . . . . . . . . . . 25
I.2.3 Infinituddelconjuntodeprimos . . . . . . . . . 26
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
I.3 ElalgoritmodeEuclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
I.3.1 Elmínimocomúnmúltiplo . . . . . . . . . . . . 30
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
I.4 Ecuacionesdiofantinaslineales . . . . . . . . . . . . . . . 32
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
II. Congruenciasycriptografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
II.1 Congruenciasyaritméticamodular . . . . . . . . . . . . 38
II.1.1 Congruenciaslineales . . . . . . . . . . . . . . . 42
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
II.2 LosteoremasdeFermatyEuler . . . . . . . . . . . . . . . 50
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
II.3 Criptografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
II.3.1 Cifradoresdesubstitución . . . . . . . . . . . . 56
II.3.2 Criptoanálisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
II.4 ElcriptosistemaRSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
II.4.1 Unalgoritmoparacalcularpotenciasyraíces . 65
II.4.2 Un algoritmo para escribir un decimal en bi-
nario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7
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8 ÍNDICEGENERAL
II.4.3 Eficienciadealgunosalgoritmos . . . . . . . . . 67
II.4.4 EficienciadelalgoritmodeEuclides . . . . . . . 67
II.4.5 Eficiencia del cálculo de potencias y raíces mó-
dulon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
II.4.6 Firmasdigitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
III. Númerosperfectosyfuncionesmultiplicativas . . . . . . 73
III.1 PrimosdeMersenneynúmerosperfectos . . . . . . . . . 73
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
III.2 Funcionesmultiplicativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
III.2.1 DivisoresylafunciónφdeEuler . . . . . . . . . 77
III.2.2 Elnúmerodedivisoresdeunentero . . . . . . . 79
III.2.3 Lafunción µdeMöbius . . . . . . . . . . . . . . 79
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
IV. Raícesprimitivasylogaritmosdiscretos . . . . . . . . . . 84
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
IV.1 Raícesprimitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
IV.1.1 Raícesprimitivasparaprimos . . . . . . . . . . 88
ElexponentedeU(Z/n) . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
IV.1.2 Raícesprimitivasparapotenciasdeprimos . . . 90
Raícesprimitivasparapotenciasde2 . . . . . . . . . 92
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
IV.1.3 Raícesprimitivasenelcasogeneral . . . . . . . 93
Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
IV.2 Logaritmosdiscretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
IV.3 ElintercambiodeclavesdeDiffie-Hellman . . . . . . . . 96
IV.4 ElcriptosistemadeElGamal . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
IV.4.1 FirmasdigitalesusandoElGamal . . . . . . . . 100
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
V. Residuoscuadráticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
V.1 Residuoscuadráticosyraícesprimitivasmódulo p . . . . 104
V.1.1 ¿Cuándoes −1un RCmódulo p? . . . . . . . . 106
V.1.2 ¿Cuándoes2unRCmódulo p? . . . . . . . . . 109
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ÍNDICEGENERAL 9
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
V.2 Laleydereciprocidadcuadrática . . . . . . . . . . . . . . 113
V.2.1 Congruenciascuadráticasengeneral . . . . . . 119
V.2.2 Primosdelaformaak+b . . . . . . . . . . . . 122
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
V.3 ElsímbolodeJacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
V.4 ElcriptosistemadeRabin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
VI. Sumasdepotencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
VI.1 TernasPitagóricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
VI.1.1 Unaexcursiónporlageometría . . . . . . . . . 138
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
VI.2 LaconjeturadeFermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
VI.3 Sumasdedoscuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
VI.4 Sumasdecuatrocuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
VI.4.1 Sumasdetrescuadrados . . . . . . . . . . . . . 150
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
VI.4.2 Unpocodehistoria . . . . . . . . . . . . . . . . 151
VII. LaecuacióndePellyaproximacionesdiofantinas . . . . 154
VII.1 LaecuacióndePell:uncasoparticular . . . . . . . . . . . 155
VII.1.1 ElproblemadelganadodeArquímedes . . . . . 156
VII.1.2 ElcasoparticulardelaecuacióndePell . . . . . 160
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
VII.2 LaecuacióndePell:elcasogeneral . . . . . . . . . . . . . 164
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
VII.3 AproximacióndiofantinaylaecuacióndePell . . . . . . 167
VII.3.1 La existencia de soluciones de la ecuación de
Pell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
VIII. Númeroscongruentesycurvaselípticas . . . . . . . . . . . 177
VIII.1 Númeroscongruentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
VIII.1.1 Puntosracionalesenciertascúbicas . . . . . . . 181
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
VIII.2 Curvaselípticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
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