introdução ao dimensionamento de lajes de betão armado

83 Pages·2004·1.52 MB·Portuguese

Betão Armado e Pré-Esforçado I
MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limites últimos
de elementos com esforço axial desprezável (vigas)

1. Idealização das propriedades dos materiais

1.1. RELAÇÕES TENSÃO-EXTENSÃO PARA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS E.L. ÚLTIMOS

1.1.1. Betão

Diagrama parábola rectângulo
σc
fck f
f = ck , γ = 1.5
cd γ c
c
σc = 1000εc (250εc - 1) 0.85 fcd
0.85 fcd
−2‰ −3.5‰ εc
Nota: σ está limitado a 0.85 f por forma a ter em conta a possível diminuição da
c cd
tensão de rotura do betão quando este está sujeito a tensões elevadas de longa
duração.

1.1.2. Aço

σs
f
f = yk , γ = 1.15
yd γ s
fyk s

fyd

f f ε
Classe yk yd yd
Es = 200 GPa [MPa] [MPa] [×10-3]
A235 235 205 1.025
-3.5‰
A400 400 348 1.74
εyd 10‰ εs
A500 500 435 2.175
fyd
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axial desprezável (vigas)
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2. Flexão Simples

2.1. ANÁLISE DA SECÇÃO

Hipóteses adoptadas:
- Hipótese de Bernoulli
- ε- = 3.5‰ (Deformação máxima de encurtamento no betão)
c
- ε = 10‰ (Deformação máxima de alongamento nas armaduras)
s
- σ = 0 se ε > 0 ⇔ o betão não resiste à tracção
c c

εc ≤ 3.5‰
Fc
(-)
x
LN
M
z Rd
(+)
εs ≤ 10‰ Fs

Equações de Equilíbrio
• Equilíbrio axial: Fs = Fc
• Equilíbrio de momentos: MRd = Fs × z

2.2. MÉTODO DO DIAGRAMA RECTANGULAR

Este método permite simular, de forma simples, a resultante das tensões de
compressão no betão.

ε
c 0.85 fcd 0.85 fcd σc
(-) x ≅ 0.8x 0.85 fcd
−0.7‰ −3.5‰ εc

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Deste modo,
ε
c 0.85 fcd
Fc 0.4x
x (-) 0.8x
LN
d
z = d - 0.4x
(+)
ε Fs
s

2.2.1. Cálculo de M
Rd

Dados: geometria da secção, quantidade de armadura, f , f
cd yd

i) Admitir que σ = f (ε ≥ ε ), ou seja, que as armaduras estão em cedência
s yd s yd

ii) Determinar posição da linha neutra
Por equilíbrio axial, F = F ⇔ 0.85 f A (x) = A f ⇒ x = ?
c s cd c s yd

iii) Calcular o momento resistente
Por equilíbrio de momentos, M = A f (d – 0.4x)
Rd s yd

iv) Verificar hipótese inicialmente admitida: ε ≥ ε
s yd
εc = 3.5‰
Rotura convencional: ε = 3.5‰ ou ε = 10‰
c s (-) x
A partir da posição da linha neutra anteriormente
calculada, e admitindo que a rotura se dá pelo betão,
obtém-se a extensão ao nível da armadura. (+)
ε
s

• Se ε ≥ ε ⇒ a hipótese considerada inicialmente está correcta
s yd
• Se ε < ε ⇒ F < A f (ao contrário do que foi admitido), pelo que a posição da LN não
s yd s s yd
está correcta. Esta situação não é desejável e, caso se verifique, deverão adoptar-se
procedimentos que conduzam a que as armaduras estejam em cedência (ε ≥ ε ). Este
s yd
assunto será retomado posteriormente.
Caso se aceitasse esta situação, como, por condição de equilíbrio F = F , há que diminuir a
c s
força de compressão e aumentar a força de tracção
∴ É necessário subir a posição da LN (o problema resolve-se por iterações até F = F ).
c s
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Através da posição da linha neutra é possível saber se a rotura convencional se dá
pelo betão ou pela armadura:

(cid:137) Posição da LN para εc = 3.5‰ e εs = 10‰
εc = 3.5‰
x d
=
(-) x 3.5 13.5
⇒ x = 0.26 d
d

(esta situação corresponde ao máximo aproveitamento
(+)
εs=10‰ da capacidade dos materiais)

Deste modo,
ε < 3.5‰
c
se x < 0.26 d ⇒  (rotura pela armadura)
ε = 10‰
s
ε = 3.5‰
c
se x > 0.26 d ⇒  (rotura pelo betão)
ε < 10‰
s

(cid:137) Posição da LN para εc = 3.5 ‰ e εs = εyd (início da cedência do aço)
c = 3.5‰
A400 : ε = 1.74 ‰
yd
x d
(-) = ⇒ x = 0.67 d
x 3.5 3.5 + 1.74
d

A500 : ε = 2.175 ‰
yd
(+)
x d
= ⇒ x = 0.62 d
ε ε 3.5 3.5 + 2.175
s= yd

Deste modo, se x ≤ 0.67 d no caso de se utilizar aço A400, ou se x ≤ 0.62 d no
caso de se utilizar aço A500 ⇒ o aço está em cedência

Deverá garantir-se que as armaduras se encontram em cedência na situação de
rotura, por duas razões fundamentais.
A primeira pode considerar-se como sendo essencialmente de ordem económica: a
armadura utilizada deve ser integralmente aproveitada e, portanto, mobilizada
integralmente a sua capacidade resistente.
Por outro lado, a peça deve apresentar ductilidade disponível em situação de rotura:
deve poder evidenciar deformações apreciáveis por cedência das armaduras, sem
perda de capacidade resistente.
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MRd
As4 (x4;εs4;menor ductilidade)
As3 (x3;εs3)
As2 (x2;εs2) εcx = -3.5‰
(1) (2) As1 (x1;εs1;maior ductilidade) 1 (-) x
R
(+)
As εs
(1 /R )y (1 /R )u 1/R 1 ε
= - cx
R x
(1) εs=εyd
(2) Rotura da secção por esmagamento do betão comprimido
(εc ≈ 3.5‰) ou deformação da armadura (εs ≈ 10‰)
Para garantir um nível mínimo de ductilidade disponível deve procurar garantir-se que
x ≤ 0.5 d.

2.2.2. Dimensionamento das armaduras

Dados: geometria da secção, f , f , M
cd yd sd
0.85 fcd
Fc
x 0.8x
LN
d
z Msd
As Fs
b

i) Admitir que σ = f (ε ≥ ε ), ou seja, que as armaduras estão em cedência
s yd s yd

ii) Determinar posição da linha neutra
Por equilíbrio de momentos, M = F × z = 0.85 f b 0.8x (d – 0.4x) ⇔ x = ... ⇒ F = ...
sd c cd c

iii) Calcular a área de armadura necessária
Por equilíbrio axial, F = F ⇔ 0.85 f b 0.8x = A f ⇒ A = ?
c s cd s yd s

iv) Verificar hipótese inicialmente admitida: ε ≥ ε
s yd
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EXERCÍCIO 2

Considere a viga representada na figura seguinte e adopte γ = γ = 1.5
G Q

q
0.55
3φ20
0.30
5.00

Materiais: C25/30 (f = 16.7MPa)
cd
A400 (f = 348MPa)
yd
Calcule a máxima sobrecarga q que pode actuar com segurança sobre a viga.

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2

Método do diagrama rectangular simplificado
0.85 fcd
Fc 0.4x
x 0.8x
LN
d
z MRd
Fs

1. Cálculo do M
Rd

(cid:137) Equações de equilíbrio (flexão simples)
ΣF = 0 ⇔ F = F (1)
c s
ΣM = 0 ⇔ M = F × z = F × (d - 0.4x) (2)
Rd s s

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F = 0.8x × b × 0.85 f = 0.8x × 0.30 × 0.85 × 16.7×103 = 3406.8x
c cd
F = A × f = 9.42×10-4 × 348×103 = 327.8kN (A (3φ20) = 9.42cm2)
s s yd s
327.8
(1) F = F ⇔ x = = 0.096m ⇒ z = d – 0.4x = 0.55 – 0.4 × 0.096 = 0.51m
c s 3406.8
(2) M = F × z = 327.8 × 0.51 = 167.2kNm
Rd s

(cid:137) Verificação da hipótese de cedência do aço (εs ≥ εyd)

c = 3.5‰ εs = 3.5‰ ⇒ ε = 16.6‰
0.454 0.096 s
(-) 0.096
Como εmáx = 10‰ ⇒ ε = 10‰ e ε < 3.5‰
0.55 s s c
0.454
10‰ ε
(+) = c ⇒ ε = 2.11‰
ε 0.454 0.096 c
s

Comportamento dúctil: ε > ε (critério mínimo; é desejável que ε > 4‰ a 5‰ )
s yd s
f 348
ε = yd = = 1.74‰
yd ε 200×103
s
x 0.096 εc < 3.5‰
= = 0.175 < 0.26 ⇒  ⇒ rotura pela armadura
d 0.55 ε = 10‰
s

3. Cálculo da sobrecarga máxima (M ≤ M )
sd Rd

p × L2 8 × 167.7
M = sd ≤ 167.7kNm ⇒ p ≤ = 53.7kN/m
sd 8 sd 52
53.7
p = 1.5 (g + q) ⇒ q = - 0.30 × 0.60 × 25 = 31.3kN/m
sd 1.5

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EXERCÍCIO 3 (CONT.)

Considere a estrutura da figura seguinte:

Materiais: C25/30, A400
4.00 4.00 4.00 4.00

Acções:
Peso próprio
Revestimento=2.0 kN/m2
Sobrecarga = 3.0 kN/m2

S2
10.00 Coeficientes de majoração:
γ = γ = 1.5
G Q

Coeficientes de combinação:
S1 ψ1 = 0.4 ; ψ2 = 0.2

Secção da viga: 0.30×0.85 m2
3.00

Espessura da laje: 0.15m

c) Determine as armaduras necessárias para garantir o Estado Limite Último de flexão
da viga (Secções S1 e S2)
c.1) utilizando o método do diagrama rectangular simplificado
c.2) F × z
s
c.3) com recurso a tabelas
c.4) pormenorize as armaduras de flexão

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RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 3 (CONT.)

ALÍNEA C)

1. Modelo de cálculo:

g, q
0.85
S2 S1
10.00 3.00
0.30
2. Envolvente do diagrama de esforços
272.0
DMF
[kNm]
S2 (-)
S1
(+)
660.2

ALÍNEA C.1)

(cid:137) Secção S2 (M+ = 660.2 kNm)
sd
0.85 fcd
Fc
x 0.8x
LN
0.80
z Msd
As Fs
0.30

F = 0.85 f × 0.8x × b = 0.85 × 16.7×103 × 0.8x × 0.3 = 3406.8x
c cd
F = A × f = A × 348×103
s s yd s

Equilíbrio de momentos:
ΣM = M ⇔ 3406.8x × (0.8 – 0.4x) = 660.2 ⇔ x = 0.282 m
AS sd
⇒ F = 3406.8 × 0.282 = 960.7 kN
c
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Equilíbrio de forças
960.7
F = F ⇔ A × 348×103 = 960.7 ⇔ A = × 104 = 27.6cm2
s c s s 348×103

Verificação da hipótese de cedência do aço
εc = 3.5‰ Admitindo que ε = 3.5‰
c
(-) 0.282
ε = 3.5‰ 0.282
c =
ε 0.518
s
0.518 ⇒ ε = 6.43‰ > ε = 1.74‰
s yd
(+)
ε
s

∴ A armadura está em cedência (a secção tem comportamento dúctil)

(cid:137) Secção S1 (M- = 272.0 kNm)
sd
0.30
As Fs
z
0.80 Msd
LN
x Fc
0.8x
0.85 fcd

Equilíbrio de momentos:
ΣM = M ⇔ 3406.8x × (0.8 – 0.4x) = 272.0 ⇔ x = 0.105m ⇒ F = 357.7kN
AS sd c

Equilíbrio de forças
357.7
F = F ⇔ A × 348 × 103 = 357.7 ⇔ A = ×104 = 10.28cm2
s c s s 348×103

Verificação da hipótese de cedência do aço
ε 0.695
Admitindo que ε = 3.5‰ , s = ⇒ ε = 23.2‰ > 10‰
c 3.5‰ 0.105 s
⇒ ε = 10‰ ⇒ ε = 1.51‰
s c

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